9 Sabendo que a potência média dissipada por um amortecedor é:
Use os dados:
Calcule:
a. A amplitude
.
b. A potência média dissipada.
a. A amplitude
b. A potência média dissipada.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados:
O enunciado pede:
a. Calcular a amplitude do regime estacionário (resposta em regime forçado senoidal).
b. Calcular a potência média dissipada no amortecedor, usando
a. Calcular a amplitude
b. Calcular a potência média dissipada no amortecedor, usando
Passo 2
Explicação física e escolha do método (sem pular passos).
Quando um sistema massa-mola-amortecedor é forçado por uma força senoidal
, a equação do movimento é
No regime estacionário (após desaparecerem transientes), a resposta é também senoidal com a mesma frequência, escrita como
onde
é a amplitude a encontrar e
o defasamento. A ideia é substituir
na equação e igualar os coeficientes de
e
para obter equações que determinem
e
. Isso é um procedimento padrão e direto para esse tipo de problema; eu vou desenvolvê-lo passo a passo.
Passo 3
Derivação algébrica da fórmula da amplitude.
Partimos de
As derivadas são
Substituindo na equação do movimento:
Fatorando
:
Agora usamos as identidades angulares
Substituindo e agrupando os termos em
e
obtemos duas equações (coeficiente de
e coeficiente de
):
Da segunda equação segue (se
)
Quadrando as duas equações e somando (estratégia clássica para eliminar
) dá
Portanto a fórmula para a amplitude é
Explicação das variáveis nessa fórmula:
-
é a amplitude da força aplicada (em N). -
é a rigidez da mola (N/m). -
é a massa (kg). -
é o coeficiente de amortecimento (N·s/m). -
é a frequência angular da excitação (rad/s).
A raíz no denominador combina a contribuição elásticae a contribuição dissipativa .
Passo 4
Aplicar a fórmula com os números dados — cálculo da amplitude
.
Calcule primeiro os termos no denominador:
Agora o quadrado da norma:
Extraindo raiz:
Logo
Valor numérico (aproximado):
Ou seja
(aproximadamente
cm).
Passo 5
Cálculo da potência média dissipada
usando a fórmula dada.
A fórmula fornecida é
Já temos
exatamente porque
, então
Substituindo:
Simplificando passo a passo:
logo
Valor numérico:
Passo 6
Resumo numérico e pequena interpretação motivadora.
- A amplitude
dá cerca de m, i.e. umas cm — pequena vibração, faz sentido porque a frequência escolhida está longe de ressonância do sistema (note que é maior que , então o termo domina). - A potência média dissipada pelo amortecedor é aproximadamente
W — ou seja, o amortecedor converte em calor cerca de watt nessa excitação senoidal.
Força extra: você mandou bem pedindo passo a passo — isso costuma ajudar muito na prova. Continua assim!
Resposta
a.
b.