9 Sabendo que a potência média dissipada por um amortecedor é:

P=\frac{1}{2} c \omega^{2} X^{2}
Use os dados:
m=5 \mathrm{~kg}, \quad c=10 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~s} / \mathrm{m}, \quad k=200 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, \quad F_{0}=20 \mathrm{~N}, \quad \omega=12 \mathrm{rad} / \mathrm{s}
Calcule:
a. A amplitude X.
b. A potência média dissipada.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados:
m=5\\ \mathrm{kg},\qquad c=10\\ \mathrm{N\cdot s/m},\qquad k=200\\ \mathrm{N/m}, \qquad F_{0}=20\\ \mathrm{N},\qquad \omega=12\\ \mathrm{rad/s}.
O enunciado pede:
a. Calcular a amplitude X do regime estacionário (resposta em regime forçado senoidal).
b. Calcular a potência média dissipada no amortecedor, usando
P=\frac{1}{2}\,c\,\omega^{2}\,X^{2}.

Passo 2

Explicação física e escolha do método (sem pular passos).
Quando um sistema massa-mola-amortecedor é forçado por uma força senoidal F(t)=F_{0}\cos(\omega t), a equação do movimento é
m\ddot{x}+c\dot{x}+k x=F_{0}\cos(\omega t).
No regime estacionário (após desaparecerem transientes), a resposta é também senoidal com a mesma frequência, escrita como
x(t)=X\cos(\omega t-\varphi),
onde X é a amplitude a encontrar e \varphi o defasamento. A ideia é substituir x(t) na equação e igualar os coeficientes de \cos(\omega t) e \sin(\omega t) para obter equações que determinem X e \varphi. Isso é um procedimento padrão e direto para esse tipo de problema; eu vou desenvolvê-lo passo a passo.

Passo 3

Derivação algébrica da fórmula da amplitude.
Partimos de
x(t)=X\cos(\omega t-\varphi).
As derivadas são
\dot{x}(t)=-X\omega\sin(\omega t-\varphi), \qquad \ddot{x}(t)=-X\omega^{2}\cos(\omega t-\varphi).
Substituindo na equação do movimento:
m\bigl(-X\omega^{2}\cos(\omega t-\varphi)\bigr)+c\bigl(-X\omega\sin(\omega t-\varphi)\bigr)+k\bigl(X\cos(\omega t-\varphi)\bigr)=F_{0}\cos(\omega t).
Fatorando X:
X\Big[(k-m\omega^{2})\cos(\omega t-\varphi)-c\omega\sin(\omega t-\varphi)\Big]=F_{0}\cos(\omega t).
Agora usamos as identidades angulares
\cos(\omega t-\varphi)=\cos\omega t\cos\varphi+\sin\omega t\sin\varphi,
\sin(\omega t-\varphi)=\sin\omega t\cos\varphi-\cos\omega t\sin\varphi.
Substituindo e agrupando os termos em \cos\omega t e \sin\omega t obtemos duas equações (coeficiente de \cos\omega t e coeficiente de \sin\omega t):
X\big[(k-m\omega^{2})\cos\varphi + c\omega\sin\varphi\big]=F_{0},
X\big[(k-m\omega^{2})\sin\varphi - c\omega\cos\varphi\big]=0.
Da segunda equação segue (se X\neq0)
\tan\varphi=\frac{c\omega}{k-m\omega^{2}}.
Quadrando as duas equações e somando (estratégia clássica para eliminar \varphi) dá
X^{2}\Big[(k-m\omega^{2})^{2}+(c\omega)^{2}\Big]=F_{0}^{2}.
Portanto a fórmula para a amplitude é
X=\frac{F_{0}}{\sqrt{(k-m\omega^{2})^{2}+(c\omega)^{2}}}.
Explicação das variáveis nessa fórmula:
  • F_{0} é a amplitude da força aplicada (em N).
  • k é a rigidez da mola (N/m).
  • m é a massa (kg).
  • c é o coeficiente de amortecimento (N·s/m).
  • \omega é a frequência angular da excitação (rad/s).
    A raíz no denominador combina a contribuição elástica (k-m\omega^{2}) e a contribuição dissipativa c\omega.

Passo 4

Aplicar a fórmula com os números dados — cálculo da amplitude X.
Calcule primeiro os termos no denominador:
m\omega^{2}=5\cdot(12)^{2}=5\cdot144=720.
k-m\omega^{2}=200-720=-520.
c\omega=10\cdot12=120.
Agora o quadrado da norma:
(k-m\omega^{2})^{2}+(c\omega)^{2}=(-520)^{2}+120^{2}=270400+14400=284800.
Extraindo raiz:
\sqrt{284800}=\sqrt{100\cdot2848}=10\sqrt{2848}=10\sqrt{16\cdot178}=40\sqrt{178}.
Logo
X=\frac{F_{0}}{40\sqrt{178}}=\frac{20}{40\sqrt{178}}=\frac{1}{2\sqrt{178}}.
Valor numérico (aproximado):
\sqrt{178}\approx13,3417\quad\Rightarrow\quad X\approx\frac{1}{2\cdot13,3417}\approx0,03748\\ \mathrm{m}.
Ou seja X\approx0,0375\\ \mathrm{m} (aproximadamente 3,75 cm).

Passo 5

Cálculo da potência média dissipada P usando a fórmula dada.
A fórmula fornecida é
P=\frac{1}{2}\,c\,\omega^{2}\,X^{2}.
Já temos X^{2} exatamente porque X=\dfrac{1}{2\sqrt{178}}, então
X^{2}=\frac{1}{4\cdot178}=\frac{1}{712}.
Substituindo:
P=\frac{1}{2}\cdot c\cdot\omega^{2}\cdot X^{2} =\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 144\cdot\frac{1}{712}.
Simplificando passo a passo:
\frac{1}{2}\cdot 10=5,\qquad 5\cdot144=720,
logo
P=\frac{720}{712}=\frac{90}{89}\\ \mathrm{W}.
Valor numérico:
\frac{90}{89}\approx1,011235955\\ \mathrm{W}\approx1,01\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Resumo numérico e pequena interpretação motivadora.
  • A amplitude X dá cerca de 0,0375 m, i.e. umas 3{,}75 cm — pequena vibração, faz sentido porque a frequência escolhida está longe de ressonância do sistema (note que m\omega^{2}=720 é maior que k=200, então o termo (k-m\omega^{2}) domina).
  • A potência média dissipada pelo amortecedor é aproximadamente 1{,}01 W — ou seja, o amortecedor converte em calor cerca de 1 watt nessa excitação senoidal.
Força extra: você mandou bem pedindo passo a passo — isso costuma ajudar muito na prova. Continua assim!

Resposta

a. X=\dfrac{1}{2\sqrt{178}}\\ \mathrm{m}\approx0,03748\\ \mathrm{m}
b. P=\dfrac{90}{89}\\ \mathrm{W}\approx1,01\\ \mathrm{W}

Exercícios relacionados