Se o coeficiente de atrito estático dos pneus de um carro numa rodovia é 0,25 , com que velocidade máxima um carro pode fazer uma curva plana de 45 m de raio, sem derrapar?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a velocidade máxima que um carro pode fazer uma curva plana de raio 45\\ \text{m} sem derrapar, dado que o coeficiente de atrito estático entre pneus e pista é 0,25. Dados fornecidos:
\mu_s = 0,25,\qquad r = 45\\ \text{m}.
A incógnita é a velocidade máxima v_{\text{max}} (em m/s, e opcionalmente em km/h) para que o carro não derrape na curva.

Passo 2

Entendendo a física por trás (de forma simples e prática):
  • Num carro fazendo curva plana sem inclinação, a força que faz o carro mudar de direção (força centrípeta) é horizontal e deve ser fornecida pela força de atrito estático entre pneus e chão.
  • A força de atrito estático máxima que pode aparecer antes de começar a derrapar é
F_{\text{atrito, max}} = \mu_s N,
onde N é a força normal (a força vertical da pista sobre o carro).
  • Numa superfície plana, a força normal equilibra o peso, então
N = mg,
em que m é a massa do carro e g é a aceleração da gravidade (usaremos g=9,8\\ \text{m/s}^2).
  • A força centrípeta necessária para manter o carro em curva com velocidade v e raio r é
F_{\text{centrip}} = \frac{m v^2}{r}.
  • Para não derrapar, a força centrípeta exigida não pode exceder a força de atrito disponível:
\frac{m v^2}{r} \le \mu_s m g.

Passo 3

Resolvendo a desigualdade para achar a velocidade máxima: primeiro simplificamos dividindo ambos os lados por m (a massa do carro cancela, por isso a velocidade máxima não depende da massa):
\frac{v^2}{r} \le \mu_s g.
Multiplicando por r e isolando v:
v^2 \le \mu_s g r,
v \le \sqrt{\mu_s g r}.
Portanto a velocidade máxima é
v_{\text{max}} = \sqrt{\mu_s g r}.
Agora substituímos os valores: \mu_s=0,25, g=9,8\\ \text{m/s}^2, r=45\\ \text{m}. Calculamos o produto dentro da raiz:
\mu_s g r = 0,25 \times 9,8 \times 45.
Fazendo as contas passo a passo: 9,8\times 45 = 441 e 0,25\times 441 = 110,25. Logo
v_{\text{max}} = \sqrt{110,25} = 10,5\\ \text{m/s}.

Passo 4

Interpretando e convertendo para uma unidade mais familiar: para transformar metros por segundo em quilômetros por hora multiplicamos por 3,6:
v_{\text{max}} = 10,5\\ \text{m/s} \times 3,6 = 37,8\\ \text{km/h}.
Comentário final curto e motivador: deu um valor relativamente baixo — faz sentido, porque coeficiente de atrito 0,25 é pequeno (piso escorregadio ou pneus ruins). Boa! Você descreveu o equilíbrio de forças e fez as contas direitinho.

Resposta

10,5\\ \text{m/s}\\ (\approx 37,8\\ \text{km/h})

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