Obtenha a velocidade, como função do tempo, de uma esfera de raio
que se move através de um fluido viscoso, supondo que o movimento seja retilíneo e que a força externa aplicada na esfera seja constante.
Passo 1
O enunciado pede: obter a velocidade, como função do tempo, de uma esfera de raio
que se move retilineamente através de um fluido viscoso, quando sobre a esfera age uma força externa constante.
Informações/quantidades relevantes fornecidas ou que precisamos definir para modelar o problema:
Informações/quantidades relevantes fornecidas ou que precisamos definir para modelar o problema:
- O raio da esfera é
. - Há uma força externa constante, que vamos chamar de
. - A esfera tem massa
. (O enunciado não dá , então manteremos simbólico.) - O fluido é viscoso; vamos usar a viscosidade dinâmica do fluido
. - Movimento retilíneo unidimensional (podemos tomar eixo
ao longo do movimento) e queremos . - Condição inicial: a velocidade inicial não foi especificada pelo enunciado; portanto introduzimos
e consideramos também o caso particular se quisermos a solução típica usada em exercícios.
Observação: nos próximos passos eu vou modelar a força de arrasto pelo regime de Stokes (arrasto proporcional à velocidade), que é a hipótese padrão para uma esfera pequena movendo-se lentamente em fluido viscoso (baixo número de Reynolds).
Passo 2
Apresentar a lei física básica que usamos: a segunda lei de Newton (resultante das forças = massa × aceleração). Em notação escalar para movimento unidimensional:
As forças aqui são:
- a força externa constante
(positiva no sentido do movimento); - a força de arrasto viscosa
oposta ao movimento. No regime de Stokes (fluido viscoso, esfera pequena, movimento lento) a força de arrasto é proporcional à velocidade e dada por
onde
é a viscosidade dinâmica do fluido e
é o raio da esfera. (Essa expressão é a famosa lei de Stokes para uma esfera.)
Sendo assim, a equação do movimento fica:
Passo 3
Para simplificar a escrita, definimos o coeficiente de arrasto linear
que tem dimensão de força/velocidade (ou seja,
no SI). Substituindo esse
na equação, obtemos uma equação diferencial linear de primeira ordem para
:
Dividindo por
,
Esta é uma equação linear no formato padrão
, com
e
.
Passo 4
Resolver a equação diferencial linear de primeira ordem. Vou resolver com o método do fator integrante (integrating factor) passo a passo, explicando cada parte para você conseguir repetir na prova.
- Identificamos o coeficiente multiplicador de
: . O fator integrante é
- Multiplicando a equação inteira por
obtemos:
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. Portanto:
- Integramos em
:
onde
é a constante de integração. A integral do lado direito é direta:
Logo
- Isolando
:
- Determinamos a constante
usando a condição inicial :
Portanto a solução geral é
Passo 5
Voltemos aos símbolos originais: lembrando que
, podemos escrever a solução substituindo
:
Interpretação física (útil para a prova):
- A velocidade terminal, quando
, é
ou seja, o arrasto equilibra exatamente a força constante.
- A constante de tempo do decaimento/excursão exponencial é
que mede quanto tempo a velocidade leva para se aproximar de
.
Caso inicial comum (se a esfera parte do repouso, ), a expressão simplifica para
Caso inicial comum (se a esfera parte do repouso,