Obtenha a velocidade, como função do tempo, de uma esfera de raio r que se move através de um fluido viscoso, supondo que o movimento seja retilíneo e que a força externa aplicada na esfera seja constante.

Passo 1

O enunciado pede: obter a velocidade, como função do tempo, de uma esfera de raio \,r\, que se move retilineamente através de um fluido viscoso, quando sobre a esfera age uma força externa constante.
Informações/quantidades relevantes fornecidas ou que precisamos definir para modelar o problema:
  • O raio da esfera é \,r\,.
  • Há uma força externa constante, que vamos chamar de \,F\,.
  • A esfera tem massa \,m\,. (O enunciado não dá \,m\,, então manteremos \,m\, simbólico.)
  • O fluido é viscoso; vamos usar a viscosidade dinâmica do fluido \,\eta\,.
  • Movimento retilíneo unidimensional (podemos tomar eixo x ao longo do movimento) e queremos \,v(t)\,.
  • Condição inicial: a velocidade inicial não foi especificada pelo enunciado; portanto introduzimos \,v(0)=v_0\, e consideramos também o caso particular \,v_0=0\, se quisermos a solução típica usada em exercícios.
Observação: nos próximos passos eu vou modelar a força de arrasto pelo regime de Stokes (arrasto proporcional à velocidade), que é a hipótese padrão para uma esfera pequena movendo-se lentamente em fluido viscoso (baixo número de Reynolds).

Passo 2

Apresentar a lei física básica que usamos: a segunda lei de Newton (resultante das forças = massa × aceleração). Em notação escalar para movimento unidimensional:
m\frac{dv}{dt} = \text{(força total resultante)}.ç
As forças aqui são:
  • a força externa constante \,F\, (positiva no sentido do movimento);
  • a força de arrasto viscosa F_d oposta ao movimento. No regime de Stokes (fluido viscoso, esfera pequena, movimento lento) a força de arrasto é proporcional à velocidade e dada por
F_d = 6\pi \eta r\, v,
onde \,\eta\, é a viscosidade dinâmica do fluido e \,r\, é o raio da esfera. (Essa expressão é a famosa lei de Stokes para uma esfera.)
Sendo assim, a equação do movimento fica:
m\frac{dv}{dt} = F - 6\pi\eta r\, v.

Passo 3

Para simplificar a escrita, definimos o coeficiente de arrasto linear
b := 6\pi\eta r,
que tem dimensão de força/velocidade (ou seja, [\text{massa}]/[\text{tempo}] no SI). Substituindo esse b na equação, obtemos uma equação diferencial linear de primeira ordem para \,v(t)\,:
m\frac{dv}{dt} = F - b v.
Dividindo por m,
\frac{dv}{dt} + \frac{b}{m}\,v = \frac{F}{m}.
Esta é uma equação linear no formato padrão \,v'(t)+a v(t)=c, com a=\dfrac{b}{m} e c=\dfrac{F}{m}.

Passo 4

Resolver a equação diferencial linear de primeira ordem. Vou resolver com o método do fator integrante (integrating factor) passo a passo, explicando cada parte para você conseguir repetir na prova.
  1. Identificamos o coeficiente multiplicador de v: \dfrac{b}{m}. O fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\left(\int \frac{b}{m}\,dt\right)=\exp\!\left(\frac{b}{m}t\right).
  1. Multiplicando a equação inteira por \mu(t) obtemos:
\exp\!\left(\frac{b}{m}t\right)\frac{dv}{dt} + \frac{b}{m}\exp\!\left(\frac{b}{m}t\right)v = \frac{F}{m}\exp\!\left(\frac{b}{m}t\right).
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \dfrac{d}{dt}\!\left(\exp\!\left(\frac{b}{m}t\right) v\right). Portanto:
\frac{d}{dt}\!\left(\exp\!\left(\frac{b}{m}t\right) v(t)\right) = \frac{F}{m}\exp\!\left(\frac{b}{m}t\right).
  1. Integramos em t:
\exp\!\left(\frac{b}{m}t\right) v(t) = \int \frac{F}{m}\exp\!\left(\frac{b}{m}t\right)\,dt + C,
onde C é a constante de integração. A integral do lado direito é direta:
\int \frac{F}{m}\exp\!\left(\frac{b}{m}t\right)\,dt = \frac{F}{m}\cdot \frac{m}{b}\exp\!\left(\frac{b}{m}t\right) = \frac{F}{b}\exp\!\left(\frac{b}{m}t\right).
Logo
\exp\!\left(\frac{b}{m}t\right) v(t) = \frac{F}{b}\exp\!\left(\frac{b}{m}t\right) + C.
  1. Isolando v(t):
v(t) = \frac{F}{b} + C\exp\!\left(-\frac{b}{m}t\right).
  1. Determinamos a constante C usando a condição inicial v(0)=v_0:
v(0) = \frac{F}{b} + C \quad\Rightarrow\quad C = v_0 - \frac{F}{b}.
Portanto a solução geral é
v(t) = \frac{F}{b} + \left(v_0 - \frac{F}{b}\right) \exp\!\left(-\frac{b}{m}t\right).

Passo 5

Voltemos aos símbolos originais: lembrando que \,b=6\pi\eta r\,, podemos escrever a solução substituindo b:
v(t) = \frac{F}{6\pi\eta r} + \left(v_0 - \frac{F}{6\pi\eta r}\right)\exp\!\left(-\frac{6\pi\eta r}{m}t\right).
Interpretação física (útil para a prova):
  • A velocidade terminal, quando t\to\infty, é
v_\infty = \frac{F}{b} = \frac{F}{6\pi\eta r},
ou seja, o arrasto equilibra exatamente a força constante.
  • A constante de tempo do decaimento/excursão exponencial é
\tau = \frac{m}{b} = \frac{m}{6\pi\eta r},
que mede quanto tempo a velocidade leva para se aproximar de v_\infty.
Caso inicial comum (se a esfera parte do repouso, v_0=0), a expressão simplifica para
v(t) = \frac{F}{6\pi\eta r}\left(1 - \exp\!\left(-\frac{6\pi\eta r}{m}t\right)\right).

Resposta

v(t)=\frac{F}{6\pi\eta r}+\left(v_0-\frac{F}{6\pi\eta r}\right)\exp\!\left(-\frac{6\pi\eta r}{m}t\right)
\text{Caso }v_0=0:\quad v(t)=\frac{F}{6\pi\eta r}\left(1-\exp\!\left(-\frac{6\pi\eta r}{m}t\right)\right)

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