O coeficiente de Joule-Thomson (
) é importante quando se discute a passagem de um gás numa membrana semipermeável. Nessa condição, é assumido que a entalpia se mantém constante. A variação de temperatura nesse processo é dada por esse coeficiente que corresponde a
. a) Mediante o algoritmo 1, encontre uma expressão para
. b) Para o
, o coeficiente de Joule-Thomson corresponde a
. Determine a temperatura final do
, inicialmente em
e
, que passou por uma barreira até atingir pressão de 1 atm .
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) derivar uma expressão para o coeficiente de Joule–Thomson
usando o chamado “algoritmo 1” (isto é, trabalhar com diferenciais de entalpia e relações termodinâmicas); (b) para
com
, calcular a temperatura final quando o gás parte de
e
e sofre uma queda de pressão até
.\n\nInformações dadas e relevantes: \n- Valor de
para o
:
. \n- Estado inicial:
(ou seja,
em kelvin);
. \n- Estado final:
; processo a entalpia constante (
const.).\n\nNão começarei a resolver aqui; só identifiquei o que foi pedido e os dados úteis.
Passo 2
Vamos começar do básico: definição de entalpia e diferencial. A entalpia é
, onde
é energia interna,
é pressão e
é volume. Diferenciando:
Pela primeira lei da termodinâmica para um sistema fechado (sem trabalho além do PdV) e pela definição de temperatura e entropia, temos
onde
é temperatura e
entropia. Substituindo em
:
Os termos
e
cancelam, ficando a identidade importante
Aqui expliquei cada variável:
é variação infinitesimal da entalpia,
temperatura absoluta,
variação de entropia,
volume e
variação de pressão. Esta relação é o ponto de partida para relacionar variações de
e
a entalpia constante.
Passo 3
Queremos expressar
em termos de
e
. Para isso usamos identidade termodinâmica e coeficiente de calor a pressão constante. Sabemos que a capacidade térmica molar (ou por massa) a pressão constante é
Também usamos a relação de Maxwell (obtida via energia livre de Gibbs
) que dá
Com essas duas derivadas, a diferencial total de
é
Substituindo as expressões anteriores:
Multiplicando por
(porque em
aparece
) obtemos
Expliquei:
é a variação do volume com a temperatura a pressão constante (relacionada ao coeficiente de expansão térmica).
Passo 4
Voltando para a identidade
, substituímos
obtido no passo anterior:
Agrupando os termos em
:
Esta fórmula é muito prática: ela escreve a variação de entalpia em função de variações de
e
. Note o significado de cada termo:
é a contribuição de variação de temperatura; o termo entre colchetes multiplica
e reúne efeitos de compressibilidade e expansão térmica.
Passo 5
No processo de Joule–Thomson a entalpia é constante, isto é
. Então, impondo
na expressão anterior:
Isolando
:
Reescrevendo de maneira mais usual (trocando sinal):
Explicação prática:
dá quanto a temperatura muda por unidade de pressão no processo isotérmico de entalpia constante. Uma forma alternativa útil usando o coeficiente de expansão volumétrica
definido por
é
Dica de prova: para gás ideal
, então
e
— ou seja, gás ideal não troca temperatura no estrangulamento.
Passo 6
Agora a parte numérica (item b). Dados:
. Temperatura inicial
, que em kelvin é
Pressão inicial
, final
. Vamos assumir que
é aproximadamente constante no caminho (isso é o procedimento usual quando nos dão um valor numérico único). Como
e assumindo constante, integramos:
onde
. Então
Logo a temperatura final em kelvin é
Convertendo para graus Celsius:
Arredondando sensatamente (duas casas decimais):