O coeficiente de Joule-Thomson ( \mu_{J T} ) é importante quando se discute a passagem de um gás numa membrana semipermeável. Nessa condição, é assumido que a entalpia se mantém constante. A variação de temperatura nesse processo é dada por esse coeficiente que corresponde a \left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_{H}. a) Mediante o algoritmo 1, encontre uma expressão para \mu_{J T}. b) Para o C O_{2}(g), o coeficiente de Joule-Thomson corresponde a 0,6375 \mathrm{~K} / \mathrm{atm}. Determine a temperatura final do C O_{2}, inicialmente em \theta=100^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{p}=20 \mathrm{~atm}, que passou por uma barreira até atingir pressão de 1 atm .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) derivar uma expressão para o coeficiente de Joule–Thomson \mu_{JT}=\left(\dfrac{\partial T}{\partial p}\right)_{H} usando o chamado “algoritmo 1” (isto é, trabalhar com diferenciais de entalpia e relações termodinâmicas); (b) para \mathrm{CO}_2(g) com \mu_{JT}=0,6375\\ \mathrm{K}/\mathrm{atm}, calcular a temperatura final quando o gás parte de \theta=100^\circ\mathrm{C} e p=20\\ \mathrm{atm} e sofre uma queda de pressão até 1\\ \mathrm{atm}.\n\nInformações dadas e relevantes: \n- Valor de \mu_{JT} para o \mathrm{CO}_2: 0,6375\\ \mathrm{K}/\mathrm{atm}. \n- Estado inicial: \theta_i=100^\circ\mathrm{C} (ou seja, T_i em kelvin); p_i=20\\ \mathrm{atm}. \n- Estado final: p_f=1\\ \mathrm{atm}; processo a entalpia constante ( H= const.).\n\nNão começarei a resolver aqui; só identifiquei o que foi pedido e os dados úteis.

Passo 2

Vamos começar do básico: definição de entalpia e diferencial. A entalpia é \displaystyle H=U+PV, onde \displaystyle U é energia interna, P é pressão e V é volume. Diferenciando:
dH = dU + P\,dV + V\,dP.
Pela primeira lei da termodinâmica para um sistema fechado (sem trabalho além do PdV) e pela definição de temperatura e entropia, temos
dU = T\,dS - P\,dV,
onde T é temperatura e S entropia. Substituindo em dH:
dH = (T\,dS - P\,dV) + P\,dV + V\,dP.
Os termos -P\,dV e +P\,dV cancelam, ficando a identidade importante
dH = T\,dS + V\,dP.
Aqui expliquei cada variável: dH é variação infinitesimal da entalpia, T temperatura absoluta, dS variação de entropia, V volume e dP variação de pressão. Esta relação é o ponto de partida para relacionar variações de T e p a entalpia constante.

Passo 3

Queremos expressar dS em termos de dT e dP. Para isso usamos identidade termodinâmica e coeficiente de calor a pressão constante. Sabemos que a capacidade térmica molar (ou por massa) a pressão constante é
C_p = T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_p.
Também usamos a relação de Maxwell (obtida via energia livre de Gibbs G) que dá
\left(\frac{\partial S}{\partial p}\right)_T = -\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p.
Com essas duas derivadas, a diferencial total de S(T,p) é
dS = \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_p dT + \left(\frac{\partial S}{\partial p}\right)_T dp.
Substituindo as expressões anteriores:
dS = \frac{C_p}{T}\,dT - \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p dp.
Multiplicando por T (porque em dH aparece T\,dS) obtemos
T\,dS = C_p\,dT - T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p dp.
Expliquei: \left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_p é a variação do volume com a temperatura a pressão constante (relacionada ao coeficiente de expansão térmica).

Passo 4

Voltando para a identidade dH = T\,dS + V\,dP, substituímos T\,dS obtido no passo anterior:
dH = C_p\,dT - T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p dp + V\,dp.
Agrupando os termos em dp:
dH = C_p\,dT + \Bigl[V - T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p\Bigr] dp.
Esta fórmula é muito prática: ela escreve a variação de entalpia em função de variações de T e p. Note o significado de cada termo: C_p\,dT é a contribuição de variação de temperatura; o termo entre colchetes multiplica dp e reúne efeitos de compressibilidade e expansão térmica.

Passo 5

No processo de Joule–Thomson a entalpia é constante, isto é dH=0. Então, impondo dH=0 na expressão anterior:
0 = C_p\,dT + \Bigl[V - T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p\Bigr] dp.
Isolando \left(\dfrac{\partial T}{\partial p}\right)_H:
\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_H = -\frac{V - T\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_p}{C_p}.
Reescrevendo de maneira mais usual (trocando sinal):
\mu_{JT}=\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_H = \frac{1}{C_p}\left[\,T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p - V\,\right].
Explicação prática: \mu_{JT} dá quanto a temperatura muda por unidade de pressão no processo isotérmico de entalpia constante. Uma forma alternativa útil usando o coeficiente de expansão volumétrica \alpha definido por \alpha=\dfrac{1}{V}\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_p é
\mu_{JT}=\frac{V}{C_p}\left(T\alpha - 1\right).
Dica de prova: para gás ideal \alpha=1/T, então T\alpha-1=0 e \mu_{JT}=0 — ou seja, gás ideal não troca temperatura no estrangulamento.

Passo 6

Agora a parte numérica (item b). Dados: \mu_{JT}=0,6375\\ \mathrm{K}/\mathrm{atm}. Temperatura inicial \theta_i=100^\circ\mathrm{C}, que em kelvin é
T_i = 100 + 273,15 = 373,15\\ \mathrm{K}.
Pressão inicial p_i=20\\ \mathrm{atm}, final p_f=1\\ \mathrm{atm}. Vamos assumir que \mu_{JT} é aproximadamente constante no caminho (isso é o procedimento usual quando nos dão um valor numérico único). Como \mu_{JT}=\left(\dfrac{\partial T}{\partial p}\right)_H e assumindo constante, integramos:
\Delta T = T_f - T_i = \mu_{JT}\,\Delta p,
onde \Delta p = p_f - p_i = 1 - 20 = -19\\ \mathrm{atm}. Então
\Delta T = 0,6375\\ \mathrm{K}/\mathrm{atm} \times (-19\\ \mathrm{atm}) = -12,1125\\ \mathrm{K}.
Logo a temperatura final em kelvin é
T_f = T_i + \Delta T = 373,15 - 12,1125 = 361,0375\\ \mathrm{K}.
Convertendo para graus Celsius:
\theta_f = T_f - 273,15 = 87,8875^\circ\mathrm{C}.
Arredondando sensatamente (duas casas decimais):
T_f \approx 361,04\\ \mathrm{K}\quad\text{(ou)}\quad \theta_f \approx 87,89^\circ\mathrm{C}.

Resposta

\displaystyle \mu_{JT}=\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_H=\frac{1}{C_p}\Bigl[T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p - V\Bigr]\n
\displaystyle T_f \approx 361,04\\ \mathrm{K}\quad(\theta_f\approx 87,89^\circ\mathrm{C})

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