Qual é o coeficiente de
na expansão de
?
Passo 1
O enunciado pede: “Qual é o coeficiente de
na expansão de
?”.
Informações dadas: a expressão a expandir é . Queremos apenas o número que multiplica
quando essa potência for expandida.
Informações dadas: a expressão a expandir é
Passo 2
Vamos usar o Teorema do Binômio, que dá a fórmula geral para expandir
. A fórmula é:
Aqui
é o coeficiente binomial, que significa “n escolhe k” e vale
onde
(fatorial de
) é o produto de todos os inteiros de
até
. Essa fórmula nos dá cada termo da expansão com o seu coeficiente.
Passo 3
Identificamos os parâmetros na nossa expressão
: tome
,
e
. Pelo Teorema do Binômio, o termo geral é
com
.
Passo 4
Queremos o termo cujo expoente de
é
. Na expressão acima o expoente de
é
. Então resolvemos
Portanto o termo que contém
é o termo com
, que é
Passo 5
Agora calculamos cada parte do coeficiente. Primeiro o coeficiente binomial:
Explicando a simplificação: cancelamos
em cima e embaixo, sobrando
no numerador;
no denominador. Calculando:
Passo 6
Calculamos também
:
Multiplicando para obter o coeficiente que multiplica
: