Qual é o coeficiente de x^{7} na expansão de (x+2)^{10} ?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual é o coeficiente de x^{7} na expansão de (x+2)^{10} ?”.
Informações dadas: a expressão a expandir é (x+2)^{10}. Queremos apenas o número que multiplica x^{7} quando essa potência for expandida.

Passo 2

Vamos usar o Teorema do Binômio, que dá a fórmula geral para expandir (a+b)^{n}. A fórmula é:
(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{\,n-k}b^{\,k}.
Aqui \binom{n}{k} é o coeficiente binomial, que significa “n escolhe k” e vale
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) é o produto de todos os inteiros de 1 até n. Essa fórmula nos dá cada termo da expansão com o seu coeficiente.

Passo 3

Identificamos os parâmetros na nossa expressão (x+2)^{10}: tome a=x, b=2 e n=10. Pelo Teorema do Binômio, o termo geral é
\binom{10}{k}x^{\,10-k}2^{\,k},
com k=0,1,\dots,10.

Passo 4

Queremos o termo cujo expoente de x é 7. Na expressão acima o expoente de x é 10-k. Então resolvemos
10-k=7 \implies k=3.
Portanto o termo que contém x^{7} é o termo com k=3, que é
\binom{10}{3}x^{7}2^{3}.

Passo 5

Agora calculamos cada parte do coeficiente. Primeiro o coeficiente binomial:
\binom{10}{3}=\frac{10!}{3!\,7!}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}.
Explicando a simplificação: cancelamos 7! em cima e embaixo, sobrando 10\cdot9\cdot8 no numerador; 3!=3\cdot2\cdot1 no denominador. Calculando:
\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=\frac{720}{6}=120.

Passo 6

Calculamos também 2^{3}:
2^{3}=8.
Multiplicando para obter o coeficiente que multiplica x^{7}:
120\cdot8=960.

Resposta

\,960\,

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