Encontre o termo independente de
(termo constante) na expansão de
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos o termo independente de
(termo constante) na expansão de
. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
é um binômio elevado a
e a expansão deve ser feita somando termos da forma produtos das potências de
e de
. Queremos o termo cuja potência de
seja
(ou seja, que não contenha
).
Passo 2
Vamos usar a fórmula geral da expansão binomial (aqui explicada com calma). Para um inteiro não negativo
e números
e
,
Nessa fórmula:
-
(lido “n escolhe k”) é o coeficiente binomial e vale , onde (fatorial) significa . - O índice
indica quantas vezes escolhemos o segundo termo na multiplicação ao expandir.
Exemplo curto para fixar:.
Passo 3
Aplique a fórmula ao nosso binômio com
,
e
. O termo geral (o
-ésimo) da expansão é
Agora vamos simplificar a potência de
e o sinal nesse termo.
Passo 4
Simplificando as potências de
em
:
e
. Multiplicando as potências:
Para que
seja termo independente de
, precisamos que a potência de
seja zero. Então resolvemos
Passo 5
Resolvendo a equação do passo anterior:
Isso mostra que apenas o termo com
pode ser constante; não há outro
inteiro entre
e
que satisfaça isso.
Passo 6
Agora vamos calcular o coeficiente (numérico) do termo para
. Substituindo em
:
Usando simetria dos coeficientes binomiais
e calculando:
Portanto o termo independente é
.
Resposta
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