Encontre o termo independente de x (termo constante) na expansão de \left(x^{2}-\frac{1}{x}\right)^{9}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos o termo independente de x (termo constante) na expansão de \left(x^{2}-\frac{1}{x}\right)^{9}. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\left(x^{2}-\frac{1}{x}\right)^{9} é um binômio elevado a 9 e a expansão deve ser feita somando termos da forma produtos das potências de x^{2} e de -\frac{1}{x}. Queremos o termo cuja potência de x seja 0 (ou seja, que não contenha x).

Passo 2

Vamos usar a fórmula geral da expansão binomial (aqui explicada com calma). Para um inteiro não negativo n e números a e b,
(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{\,n-k}b^{\,k}.
Nessa fórmula:
  • \binom{n}{k} (lido “n escolhe k”) é o coeficiente binomial e vale \displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}, onde n! (fatorial) significa n!=n\cdot(n-1)\cdots1.
  • O índice k indica quantas vezes escolhemos o segundo termo b na multiplicação ao expandir.
    Exemplo curto para fixar: (a+b)^2=\binom{2}{0}a^2+\binom{2}{1}a b+\binom{2}{2}b^2=a^2+2ab+b^2.

Passo 3

Aplique a fórmula ao nosso binômio com n=9, a=x^{2} e b=-\dfrac{1}{x}. O termo geral (o k-ésimo) da expansão é
T_k=\binom{9}{k}\bigl(x^{2}\bigr)^{9-k}\left(-\frac{1}{x}\right)^{k}.
Agora vamos simplificar a potência de x e o sinal nesse termo.

Passo 4

Simplificando as potências de x em T_k: \bigl(x^{2}\bigr)^{9-k}=x^{2(9-k)}=x^{18-2k} e \left(-\dfrac{1}{x}\right)^{k}=(-1)^{k}x^{-k}. Multiplicando as potências:
T_k=\binom{9}{k}(-1)^{k}x^{18-2k-k}=\binom{9}{k}(-1)^{k}x^{18-3k}.
Para que T_k seja termo independente de x, precisamos que a potência de x seja zero. Então resolvemos
18-3k=0.

Passo 5

Resolvendo a equação do passo anterior:
18-3k=0 \Longrightarrow 3k=18 \Longrightarrow k=6.
Isso mostra que apenas o termo com k=6 pode ser constante; não há outro k inteiro entre 0 e 9 que satisfaça isso.

Passo 6

Agora vamos calcular o coeficiente (numérico) do termo para k=6. Substituindo em T_k:
T_6=\binom{9}{6}(-1)^{6}x^{18-3\cdot6}=\binom{9}{6}\cdot 1\cdot x^{0}=\binom{9}{6}.
Usando simetria dos coeficientes binomiais \binom{9}{6}=\binom{9}{3} e calculando:
\binom{9}{3}=\frac{9\cdot8\cdot7}{3\cdot2\cdot1}=\frac{504}{6}=84.
Portanto o termo independente é 84.

Resposta

84

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