Ao colocar um sólido finamente dividido em contato com um gás ocorre uma diminuição progressiva da pressão parcial do gás e um aumento do peso do sólido. Este fenômeno, denominado adsorção, resulta de interações físicas ou químicas entre as moléculas do gás e os átomos da superfície do sólido. Realizou-se um experimento utilizando-se o método BET, onde se mediu o volume adsorvido de um sólido em função de valores crescentes de pressão de gás nitrogênio até atingir a saturação ( \mathrm{P} / \mathrm{P}_{\mathrm{o}}=1 ), quando todo o gás é condensado, onde P é a pressão de equilíbrio e \mathrm{P}_{\mathrm{o}} a pressão de saturação do gás. Os valores obtidos deste experimento são mostrados na Tabela I:
Com os dados obtidos na Tabela I calcule a área específica do sólido ( \mathrm{S}_{\mathrm{BET}} ).
Table 1: Tabela I: Valores de pressão relativa, pressão ( mmHg ) e volume adsorvido ( \mathrm{cm}^{3} ) do sólido.
\captionsetup{labelformat=empty}
Pressão relativa \mathrm{P} / \mathrm{P}_{\mathrm{o}} Pressão (mmHg) Volume Adsorvido ( \mathrm{cm}^{3} )
0,0674 46,906 15,5375
0,0904 62,885 16,4619
0,1136 79,021 17,2847
0,1367 95,104 18,0082
0,1598 111,187 18,7004
0,1804 125,461 19,2838
0,2197 152,818 20,3469
0,2691 187,208 21,6611
0,3190 221,909 22,9877
0,3689 256,610 24,2924
0,4660 324,150 26,9661
0,5647 392,775 30,1681
0,6622 460,626 34,7163
0,7468 519,425 42,6958
0,8031 558,625 53,3064
0,8426 586,086 64,4156
0,8751 608,634 77,2565
0,9045 629,061 90,5608
0,9275 645,041 102,1302
0,9442 656,677 112,6939
0,9578 666,089 123,0064
0,9687 673,640 133,4427
0,9764 679,018 143,4780
0,9825 683,259 153,5142
0,9879 686,982 164,5831
0,9932 690,654 175,9688
0,9954 692,102 190,6677
0,9792 680,880 183,5644
0,9674 672,657 176,2689
0,9562 664,848 167,9056
0,9469 658,332 161,6910
0,9345 649,696 155,1025
0,9218 640,852 149,3015
0,9036 628,234 142,4063
0,8781 610,496 132,4077
0,8436 586,448 118,0990
0,8024 557,85 99,3097
0,7452 518,081 73,4771
0,6489 451,110 43,2162
0,5121 356,006 30,6587
0,4003 278,279 25,0125
0,3287 228,529 23,0267
0,2427 168,746 20,6803
0,1410 98,00 17,7542

Passo 1

O que o problema pede e que dados temos.
O enunciado pede para calcular a área específica do sólido determinada pelo método BET, ou seja, calcular \mathrm{S}_{\mathrm{BET}}.
Dados relevantes (retirados da Tabela I):
  • Pares de valores de pressão relativa \; \dfrac{P}{P_{0}}\; e volume adsorvido em \mathrm{cm}^{3} (presume‑se que o volume está em \mathrm{cm}^{3} STP por grama de amostra, como é usual em isotermas BET): os pontos escolhidos para a análise linear (veja Passo 3) são
\begin{array}{l l} \left(\dfrac{P}{P_0},\; v\right)= & (0,0674,\;15,5375),\;(0,0904,\;16,4619),\;(0,1136,\;17,2847),\\\ & (0,1367,\;18,0082),\;(0,1598,\;18,7004),\;(0,1804,\;19,2838),\\\ & (0,2197,\;20,3469),\;(0,2691,\;21,6611). \end{array}
Constantes físicas que usarei (valores padrão para nitrogênio a STP):
N_A = 6,022\times 10^{23}\\ \mathrm{mol}^{-1}, \qquad V_{\text{molar}} = 22414\\ \mathrm{cm}^{3}\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-1},
área de seção transversal da molécula de \mathrm{N_2}:
\sigma = 0{,}162\\ \mathrm{nm}^{2} = 0{,}162\times 10^{-18}\\ \mathrm{m}^{2} = 1{,}62\times 10^{-19}\\ \mathrm{m}^{2}.
Vou assumir que os volumes da tabela são volumes adsorvidos por grama de amostra (unidade \mathrm{cm}^{3} STP g ^{-1}), pois isto é o formato padrão para a análise BET.

Passo 2

Apresentação da equação BET e do procedimento para extrair v_{\mathrm{m}} e depois \mathrm{S}_{\mathrm{BET}}.
A equação BET na sua forma linear é
\frac{1}{v\left(\dfrac{P_{0}}{P}-1\right)} = \frac{c-1}{v_{\mathrm{m}}\,c}\cdot\frac{P}{P_{0}} + \frac{1}{v_{\mathrm{m}}\,c},
onde:
  • \;v\; é o volume adsorvido (em \mathrm{cm}^{3} STP por grama) no equilíbrio \dfrac{P}{P_0},
  • \;v_{\mathrm{m}}\; é o volume de monolayer (o que queremos para calcular a área),
  • \;c\; é a constante BET (não necessária para a área, mas aparece na regressão),
  • \dfrac{P}{P_0} é a pressão relativa.
Para facilitar os cálculos vou reescrever a quantidade do lado esquerdo em função de x=\dfrac{P}{P_0}. Observando que \dfrac{P_0}{P}-1=\dfrac{1-x}{x}, obtemos a expressão prática:
y \equiv \frac{1}{v\left(\dfrac{P_{0}}{P}-1\right)} = \frac{x}{v(1-x)}.
Plotando y em função de x (ou fazendo regressão linear y= s\,x + i) obtemos:
s = \frac{c-1}{v_{\mathrm{m}} c},\qquad i = \frac{1}{v_{\mathrm{m}} c}.
Daí \;s+i = \dfrac{1}{v_{\mathrm{m}}}\; e portanto
v_{\mathrm{m}} = \frac{1}{s+i}.
Tendo v_{\mathrm{m}} (em \mathrm{cm}^{3} STP g ^{-1}) a área específica é
\mathrm{S}_{\mathrm{BET}} = \frac{v_{\mathrm{m}}}{V_{\text{molar}}}\,N_A\,\sigma.
Como constante prática essa relação vale aproximadamente
\mathrm{S}_{\mathrm{BET}}\;(\mathrm{m}^2\!\cdot\!\mathrm{g}^{-1}) \;=\; \left(\frac{N_A\,\sigma}{V_{\text{molar}}}\right)\;v_{\mathrm{m}} \;\approx\;4{,}355\;v_{\mathrm{m}},
onde o fator 4{,}355 resulta da substituição numérica de N_A,\sigma,V_{\text{molar}} nas unidades indicadas (mostrarei a conta no Passo 7).

Passo 3

Escolha da região linear e cálculo dos pontos x e y.
Região usada: tipicamente usa‑se a faixa \;0{,}05 \le \dfrac{P}{P_{0}} \le 0{,}30\;. Dos dados da tabela escolhi os pontos com \dfrac{P}{P_0} até 0{,}2691 (o último menor que 0{,}30). Listei abaixo x e v (ambos vindos da Tabela I) e calculei
y = \frac{x}{v(1-x)}.
Cálculo de exemplo (um ponto) para fixar a fórmula: para x=0{,}0674 e v=15{,}5375:
1-x=0{,}9326,\qquad v(1-x)=15{,}5375\cdot 0{,}9326 = 14{,}4903,
y = \frac{0{,}0674}{14{,}4903} = 0{,}00465.
Fiz isso para todos os 8 pontos; os valores obtidos (aproximações úteis para regressão) são:
\begin{array}{c c c} x=\dfrac{P}{P_0} & v\\ (\mathrm{cm}^3\\ \text{STP}\!\cdot\!\mathrm{g}^{-1}) & y=\dfrac{x}{v(1-x)}\\[4pt] 0{,}0674 & 15{,}5375 & 0{,}00465\\\\ 0{,}0904 & 16{,}4619 & 0{,}00604\\\\ 0{,}1136 & 17{,}2847 & 0{,}00742\\\\ 0{,}1367 & 18{,}0082 & 0{,}00880\\\\ 0{,}1598 & 18{,}7004 & 0{,}01018\\\\ 0{,}1804 & 19{,}2838 & 0{,}01142\\\\ 0{,}2197 & 20{,}3469 & 0{,}01384\\\\ 0{,}2691 & 21{,}6611 & 0{,}01699 \end{array}]

Passo 4

Cálculo dos somatórios necessários para a regressão linear.
Para n=8 pontos calculei:
\sum x = 1{,}2371,\qquad \sum y = 0{,}079328,
\sum x^{2} = 0{,}223046,\qquad \sum x y = 0{,}014204.
(esses somatórios vêm da soma das colunas do Passo 3; arredondei as parcelas intermediárias para manter clareza e sigo com precisão suficiente para o resultado final).

Passo 5

Cálculo dos coeficientes da reta (slope e intercept) por regressão linear simples.
As fórmulas da regressão linear (mínimos quadrados) são
s = \frac{n\sum x y - (\sum x)(\sum y)}{n\sum x^{2} - (\sum x)^{2}}, \qquad i = \frac{\sum y - s\sum x}{n}.
Substituindo os somatórios:
s = \frac{8\cdot 0{,}014204 - 1{,}2371\cdot 0{,}079328}{8\cdot 0{,}223046 - (1{,}2371)^{2}} = \frac{0{,}11363 - 0{,}09814}{1{,}78437 - 1{,}53041} = \frac{0{,}01549}{0{,}25396} \approx 0{,}06103,
i = \frac{0{,}079328 - 0{,}06103\cdot 1{,}2371}{8} = \frac{0{,}079328 - 0{,}07550}{8} = \frac{0{,}003828}{8} \approx 0{,}0004785.

Passo 6

Cálculo de v_{\mathrm{m}} a partir de s e i.
Lembrando que v_{\mathrm{m}} = 1/(s+i), temos
s+i = 0{,}06103 + 0{,}0004785 = 0{,}0615085,
v_{\mathrm{m}} = \frac{1}{0{,}0615085} \approx 16{,}257\\ \mathrm{cm}^{3}\\ \text{STP}\!\cdot\!\mathrm{g}^{-1}.
Portanto o volume de monocamada é aproximadamente \;v_{\mathrm{m}} = 16{,}26\\ \mathrm{cm}^{3}\\ \mathrm{g}^{-1} (arredondando convenientemente).

Passo 7

Cálculo da área específica \mathrm{S}_{\mathrm{BET}}.
A fórmula exata:
\mathrm{S}_{\mathrm{BET}} = \frac{v_{\mathrm{m}}}{V_{\text{molar}}}\;N_A\;\sigma.
Substituindo numericamente (com v_{\mathrm{m}}=16{,}257\\ \mathrm{cm}^{3}\!\cdot\!\mathrm{g}^{-1}):
\mathrm{S}_{\mathrm{BET}} = \frac{16{,}257}{22414}\times (6{,}022\times 10^{23})\times(1{,}62\times 10^{-19})\\ \mathrm{m}^{2}\!\cdot\!\mathrm{g}^{-1}.
Calculemos o fator constante primeiro:
\frac{N_A\,\sigma}{V_{\text{molar}}} = \frac{6{,}022\times 10^{23}\times 1{,}62\times 10^{-19}}{22414} \approx 4{,}355\\ \frac{\mathrm{m}^{2}}{\mathrm{cm}^{3}\\ \text{(STP)}}.
Assim
\mathrm{S}_{\mathrm{BET}} \approx 4{,}355\cdot v_{\mathrm{m}} = 4{,}355\cdot 16{,}257 \approx 70{,}80\\ \mathrm{m}^{2}\!\cdot\!\mathrm{g}^{-1}.

Passo 8

Interpretação e arredondamento final.
O valor calculado para a área específica pelo método BET, usando a faixa linear \;0{,}0674\le P/P_{0}\le 0{,}2691\; e os procedimentos descritos, é aproximadamente \;70{,}8\\ \mathrm{m}^{2}\!\cdot\!\mathrm{g}^{-1}.

Resposta

\mathrm{S}_{\mathrm{BET}} = 70{,}8\\ \mathrm{m}^{2}\!\cdot\!\mathrm{g}^{-1}

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