A coluna W 250 \times 67 de aço suporta uma carga axial de 300 kN , além de uma carga excêntrica \mathbf{P}. Determine o valor máximo admissível de \mathbf{P} com base nas equações AISC da Seção 13.6 e na Equação 13.30. Considere que, no plano x-z, K_{x}=1,0, e no plano y-z, K_{y}=2,0 . E_{\mathrm{aqo}}=200 \mathrm{GPa}, \sigma_{\mathrm{e}}=350 \mathrm{MPa}.

Passo 1

O enunciado (do jeito que veio) pede: determinar o valor máximo admissível da carga excêntrica \mathbf{P} para uma coluna W 250\times67, sabendo que ela já suporta uma carga axial de 300\\ \text{kN}. Foram fornecidos os seguintes dados:
  • Carga axial existente: 300\\ \text{kN}.
  • Coluna: W 250\times67 (seção padrão, não foram fornecidas áreas e momentos).
  • Fatores de comprimento eficaz: \;K_x=1{,}0 (plano x\!-\!z) e \;K_y=2{,}0 (plano y\!-\!z).
  • Módulo de elasticidade: \;E_{\text{aço}}=200\\ \text{GPa}ç.
  • Tensão de escoamento (ou tensão de projeto indicada): \;\sigma_e=350\\ \text{MPa}.
O que o enunciado realmente pede:
  • Calcular P_{\max}, a carga excêntrica máxima admissível, usando as equações da AISC (Seção 13.6) e a Equação 13.30 (ou seja, usar a teoria AISC para colunas com flambagem e a interação carga-momento).
Informações que NÃO foram dadas explicitamente no enunciado e que são relevantes:
  • Comprimento da coluna L (ou comprimentos não engastados em cada direção) — necessário para calcular K L/r.
  • Excentricidade e associada à carga \mathbf{P} (ou seja, o braço de momento M=P e) — sem e não dá para transformar P em momento.
  • A(s) propriedade(s) geométrica(s) da seção W 250\times67: área A, momentos de inércia I_x,I_y ou raios de giração r_x,r_y, e módulo resistentes S_x,S_y. Essas propriedades são obtidas em tabelas de perfis (manuais/normas) e são necessárias para calcular K L/r, F_{cr}, P_n, e M_n.
  • Qual eixo domina a flexão causada por \mathbf{P} (flexão em torno de x ou de y) — isto depende da direção da excentricidade/força lateral.
Conclusão do Passo 1: com os dados fornecidos até aqui não é possível obter um valor numérico de P_{\max}. A seguir eu explico, passo a passo e didaticamente, o procedimento AISC que deve ser seguido assim que esses dados faltantes (especialmente L, e e as propriedades da seção) forem conhecidos — e mostro a fórmula final para P_{\max} em função desses parâmetros. Também explico por que cada dado é necessário.

Passo 2

Conceitos básicos e fórmulas que a AISC usa para colunas (aula rápida, em linguagem simples).
  1. Flambagem elástica (Euler) — tensão crítica elástica:
F_e=\frac{\pi^2 E}{(K L / r)^2}.
  • E é o módulo de elasticidade do aço (aqui 200\\ \text{GPa}).
  • K é o fator de comprimento eficaz (fornecido: K_x e K_y para cada plano).
  • L é o comprimento não engastado da coluna no sentido considerado.
  • r é o raio de giração da seção naquele eixo: r=\sqrt{I/A}, em que I é o momento de inércia e A a área.
  1. Lei prática AISC para resistência à compressão de colunas (curva coluna) — ideia:
  • A AISC utiliza a tensão crítica F_e para definir a resistência compressiva efetiva F_{cr}. Uma forma prática (muito usada na AISC) é:
F_{cr} = 0{,}658^{\frac{F_y}{F_e}}\,F_y,
onde F_y é a tensão de escoamento (aqui \sigma_e). (Observação: esta é a forma usual da expressão da curva de coluna da AISC; ela mistura o comportamento inelástico e elástico. Em problemas de prova use exatamente a expressão que a sua apostila/professor indicar — aqui eu mostro a forma padrão.)
  • O esforço nominal de compressão é
P_n = A\,F_{cr}.
  • Em projeto verificação com fatores de segurança: dependendo do método (ASD, LRFD) haveria fatores \Omega ou \varphi. Aqui, como o enunciado pede “com base nas equações AISC da Seção 13.6 e Eq.13.30”, assumimos que vamos usar a relação de interação indicada na AISC (forma simplificada a seguir) e os F_{cr} calculados.
  1. Interação carga-momento (idéia): quando existe uma carga axial combinada com um momento (porque a carga é excêntrica), a AISC usa uma interação entre P e M. Uma forma simples e didática dessa interação (forma linearizada muito usada em exercícios) é:
\frac{P}{P_n}+\frac{M}{M_n}\le 1,
onde
  • M é o momento aplicado (no caso de uma força excêntrica: M=P e).
  • M_n é o momento nominal resistente da seção (por exemplo M_n = F_y S, usando o módulo resistente S e F_y). (Dependendo da situação e da AISC específica, pode-se usar M_n = F_{cr} S em certos regimes; ver observação abaixo.)
    Essa relação corresponde ao que tipicamente aparece em formulários e é análoga à Equação de interação (possivelmente a Eq.13.30 mencionada no enunciado). Sempre verifique qual forma exata da interação seu professor pediu (a AISC tem variações e curvas mais detalhadas), mas a forma acima é suficiente para entender e aplicar em provas.
Observações importantes (para não errar na prova):
  • Para colunas delgadas, F_{cr} (baseado em F_e) será menor que F_y e o fenômeno de flambagem controla.
  • Para colunas curtas (robustas), a resistência axial pode ser limitada por escoamento F_y.
  • Ao combinar axial e flexão, deve-se usar os módulos resistentes e o eixo correto (flexão forte ou fraca), e usar o F_{cr} apropriado quando a flambagem influenciar o momento resistente (dependendo do regime). Em muitos exercícios acadêmicos usa-se M_n=F_y S (capacidade plástica/baseline) no termo de momento da interação e P_n=A F_{cr} no termo axial.

Passo 3

Procedimento passo a passo (o que fazer numericamente, assim que os dados que faltam forem conhecidos). Vou descrever cada passo, explicando o porquê e o que cada variável significa.
  1. Obter as propriedades da seção W 250\times67 na tabela:
  • Área: A (em \text{mm}^2 ou \text{cm}^2 — usar unidades coerentes).
  • Momentos de inércia: I_x e I_y.
  • Raios de giração: r_x=\sqrt{I_x/A} e r_y=\sqrt{I_y/A}.
  • Módulos resistentes: S_x e S_y.
Por que: sem A não dá para relacionar tensões com forças; sem I (ou r) não dá para calcular F_e; e sem S não dá para relacionar momentos resistentes com tensões.
  1. Calcular os comprimentos eficazes:
  • Para cada plano calcula-se (K L / r):
\left(\frac{K L}{r}\right)_x = \frac{K_x L}{r_x},\qquad \left(\frac{K L}{r}\right)_y = \frac{K_y L}{r_y}.
Escolhe-se o maior desses valores para determinar onde a flambagem é mais crítica (na prática o menor F_e = mais crítica). Contudo, para encontrar F_{cr} calcula-se F_{e,x} e F_{e,y} e toma-se o menor F_{cr} resultante.
  1. Calcular tensões de Euler em cada plano:
F_{e,x}=\frac{\pi^2 E}{\left( \dfrac{K_x L}{r_x}\right)^2},\qquad F_{e,y}=\frac{\pi^2 E}{\left( \dfrac{K_y L}{r_y}\right)^2}.
  1. Para cada plano aplicar a fórmula AISC da curva de coluna para obter F_{cr,x} e F_{cr,y}. Usando a forma padrão:
F_{cr,i}=0{,}658^{\frac{F_y}{F_{e,i}}}\,F_y,\qquad i=x,y,
onde F_y=\sigma_e=350\\ \text{MPa}. (Se F_{e,i} for muito grande comparado a F_y, a expressão tende para F_{cr}\approx F_y.)
  1. Determinar a tensão crítica de projeto a ser usada axialmente:
F_{cr} = \min(F_{cr,x},F_{cr,y}).
E o esforço axial nominal:
P_n = A\,F_{cr}.
Isto é a capacidade axial considerando flambagem.
  1. Determinar o momento causado por \mathbf{P}: se a excentricidade for e, o momento devido a \mathbf{P} é
M = P\,e.
Aqui é crucial saber em que plano a força causa momento (se é em torno do eixo x ou y), porque o módulo resistente S correspondente muda ( S_x ou S_y).
  1. Aplicar a equação de interação (forma linear usada em muitos problemas e compatível com a Eq.13.30 que o enunciado menciona). A forma que usaremos é:
\frac{P}{P_n} + \frac{M}{M_n} \le 1.
Substituindo M=P e e M_n = F_y S (módulo resistente vezes tensão de escoamento), temos:
\frac{P}{A F_{cr}} + \frac{P e}{F_y S} \le 1.
Esta é uma inequação linear em P. Passando P em evidência:
P\left(\frac{1}{A F_{cr}} + \frac{e}{F_y S}\right) \le 1.
Portanto, isolando P:
\boxed{P_{\max}=\frac{1}{\dfrac{1}{A F_{cr}} + \dfrac{e}{F_y S}}.}
Explicando cada termo:
  • A área da seção.
  • F_{cr} tensão crítica de compressão (controlada pela flambagem e calculada acima).
  • e excentricidade da força \mathbf{P} (braço de momento).
  • F_y tensão de escoamento (aqui \sigma_e=350\\ \text{MPa}).
  • S módulo resistente no eixo de flexão correspondente ( S_x ou S_y).
Observação: se o enunciado/professor pedir outra forma de interação (por exemplo, usar M_n = F_{cr} S em vez de F_y S ou uma curva não linear), substitua conforme indicado. A forma acima é a mais usada em exercícios acadêmicos quando se mistura flambagem (no termo axial) e escoamento (no termo de momento).

Passo 4

Como usar essa fórmula na prática — lista de passos numéricos a executar (quando os dados faltantes forem fornecidos):
  1. Pegar da tabela o A, I_x, I_y, S_x, S_y.
  2. Calcular r_x=\sqrt{I_x/A} e r_y=\sqrt{I_y/A}.
  3. Calcular \left(KL/r\right)_x e \left(KL/r\right)_y usando K_x e K_y e o comprimento L.
  4. Calcular F_{e,x} e F_{e,y} com a fórmula de Euler.
  5. Calcular F_{cr,x} e F_{cr,y} usando a expressão AISC (ou a forma exata que o professor solicitou). Tomar F_{cr}=\min(F_{cr,x},F_{cr,y}).
  6. Calcular P_n=A F_{cr}.
  7. Usar S do eixo de flexão (se a carga excêntrica produz momento no plano x então use S_x; se no plano y, use S_y).
  8. Colocar tudo na fórmula:
P_{\max}=\frac{1}{\dfrac{1}{A F_{cr}} + \dfrac{e}{F_y S}}.
  1. Verificar unidades coerentes (por exemplo, usar N e mm, converter MPa= N/mm^2, etc.). O resultado dará P na mesma unidade de força (N ou kN).

Passo 5

Exemplos rápidos (numérico simbólico) para fixar a ideia — sem números reais da seção porque estes não foram dados:
Suponha hipoteticamente que da tabela você pegou:
  • A = \underline{A} (por exemplo A= \, \text{(valor)}\\ \text{mm}^2),
  • S = \underline{S} (por exemplo S_x=\text{(valor)}\\ \text{mm}^3),
  • e que a excentricidade seja e.
Então, depois de calcular F_{cr} conforme os passos anteriores, calcule
P_{\max}=\frac{1}{\dfrac{1}{\underline{A} \, F_{cr}} + \dfrac{e}{350\\ \text{MPa}\cdot \underline{S}}}
(e lembre-se de que 350\\ \text{MPa}=350\\ \text{N/mm}^2 se A estiver em \text{mm}^2 e S em \text{mm}^3). Isso te dá P_{\max} em N (divida por 1000 para kN).

Passo 6

Resumo do que está faltando (lista curta e objetiva) — isto é o que você precisa me passar (ou consultar na tabela) para eu calcular o número agora:
  • Comprimento da coluna L (m ou mm).
  • Excentricidade e da carga \mathbf{P} (mm ou m) e indicar em que plano ela atua (x-z ou y-z).
  • Propriedades da seção W 250\times67 (tabela): A,\\ I_x,\\ I_y,\\ S_x,\\ S_y (ou ao menos A, r_x, r_y, S).
Se você me passar esses valores eu aplico exatamente os passos acima e calculo P_{\max} numericamente, mostrando todas as contas.

Resposta

Não é possível determinar numericamente P_{\max} porque faltam dados essenciais: comprimento da coluna L, excentricidade e (e o plano de atuação), e as propriedades da seção W 250\times67 (área A, momentos de inércia/raios de giração I_x,I_y ou r_x,r_y, e módulos resistentes S_x,S_y). Forneça esses valores que eu cálculo imediatamente P_{\max} usando as equações AISC indicadas.

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