Mostre a dedução da equação de Euler-Lagrange usando o cálculo variacional. Disserte sobre a resolução do Problema da Braquistócrona (p.243). (Ref. Cap. 11 - Mecânica, João Barcelos Neto, p.237-245).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas distintas, relacionadas entre si:
Deduzir a equação de Euler-Lagrange a partir da ideia de variar uma curva que extremiza um funcional do tipo \displaystyle J[y]=\int_{x_1}^{x_2} F\bigl(x,y(x),y'(x)\bigr)\,dx, com extremidade fixa em x=x_1 e x=x_2.
Dissertar sobre a resolução do problema da braquistócrona (tempo mínimo de descida entre dois pontos sob gravidade), cuja solução clássica é a cicloide; explicar o procedimento que leva à cicloide e como usar a equação de Euler-Lagrange (ou uma integral primeira) nesse caso.
Informações dadas e hipóteses usuais que vamos assumir (essas são as “entradas” do problema que serão usadas na dedução):
Considera-se funções y(x) suficientemente suaves em [x_1,x_2] e fixas nos extremos: y(x_1)=y_1 e y(x_2)=y_2.
O funcional é da forma \displaystyle J[y]=\int_{x_1}^{x_2} F\bigl(x,y,y'\bigr)\,dx, onde y'=\dfrac{dy}{dx}.
No problema da braquistócrona: escolher coordenadas cartesianas x horizontal e y vertical para baixo (ou para cima, mas deve-se ser consistente). A partícula desliza sem atrito sob aceleração constante g, parte do repouso no ponto inicial; a quantidade a minimizar é o tempo de percurso T.
Para usar argumentos físicos, usaremos conservação de energia para obter a velocidade v em função de y.
A partir daqui passo a passo vamos deduzir a Euler-Lagrange e aplicar ao problema da braquistócrona.
Passo 2
Definição de variação e do que significa extremizar J. Vamos explicar o conceito básico com calma.
Seja y(x) uma curva admissível (cumpre as condições de contorno). Considere variações \eta(x) tais que \eta(x_1)=\eta(x_2)=0 e \eta é suficientemente suave. Para qualquer pequeno parâmetro real \varepsilon definimos a família de curvas
y_\varepsilon(x)=y(x)+\varepsilon\,\eta(x).
A função y é um extremo de J se a função escalar \Phi(\varepsilon):=J[y_\varepsilon] tem derivada nula em \varepsilon=0, isto é \Phi'(0)=0. Isso é a condição “primeira variação nula”.
Vamos calcular \Phi'(\varepsilon) e avaliar em \varepsilon=0. Isso corresponde ao chamado “primeiro variação” \delta J.
Passo 3
Cálculo da primeira variação \delta J. Este é o passo técnico central da dedução.
Aqui \dfrac{\partial F}{\partial y} e \dfrac{\partial F}{\partial y'} são as derivadas parciais de F(x,y,y') tratadas como função de três variáveis; explicitamente: \dfrac{\partial F}{\partial y}(x,y,y')=\left.\dfrac{\partial F}{\partial y}\right|_{(x,y,y')}, idem para \partial F/\partial y'.
Passo 4
Integração por partes para eliminar \eta'(x). Este é um truque padrão para expressar \delta J em termos de \eta apenas.
Use integração por partes na segunda parcela, lembrando que \eta(x_1)=\eta(x_2)=0:
Condição de estacionaridade levando à equação diferencial: a Euler-Lagrange.
A função arbitrária \eta(x) aparece multiplicando o integrando. Se \delta J=0 para todo \eta(x) suave com \eta(x_1)=\eta(x_2)=0, então o integrando deve ser identicamente zero (por um lema fundamental do cálculo das variações / lema da integral nula).
Comentário didático: essa é uma condição necessária para y ser um extremante de J. Em muitos problemas físicos e geométricos, resolver essa equação (com as condições de contorno) fornece as curvas que tornam J estacionário (mínimo ou máximo).
Passo 6
Observação sobre integrais primeiras: caso especial quando F não depende explicitamente de x. Explicação e fórmula útil.
Se F=F(y,y') (isto é, não depende de x explicitamente), existe uma integral primeira conhecida (identidade de Beltrami). Derivemos rapidamente:
Considere a quantidade
H := F - y'\frac{\partial F}{\partial y'}.
Calculando \dfrac{dH}{dx} usando Euler-Lagrange mostra que \dfrac{dH}{dx}= -\dfrac{\partial F}{\partial x}. Portanto, quando \dfrac{\partial F}{\partial x}=0, concluímos que H é constante ao longo da curva:
Em termos práticos isso reduz o problema a uma equação algébrica entre y e y' que muitas vezes é muito mais fácil de integrar do que a Euler-Lagrange original.
Passo 7
Aplicando ao problema da braquistócrona: construção do funcional tempo. Primeiro, a física básica (energia) explicada com calma.
Definição do problema: dado dois pontos A=(x_A,y_A) e B=(x_B,y_B) com y medido para baixo e y_B>y_A (ou seja, B abaixo de A), determinar a curva y(x) que minimiza o tempo de descida de A a B para uma partícula que desliza sem atrito sob gravidade g e parte do repouso em A.
Energia mecânica: se a partícula parte do repouso em A, ao atingir uma posição (x,y) a conservação de energia dá
\frac{1}{2}m v^2 = mg(y - y_A),
ou seja
v(x)=\sqrt{2g\bigl(y(x)-y_A\bigr)}.
(Escolheu-se y para baixo, então y-y_A\ge 0 ao descer.)
O tempo elementar para percorrer um trecho ds da curva é dt = \dfrac{ds}{v}. O elemento de arco é ds=\sqrt{1+(y')^2}\,dx. Portanto o tempo total é
Escolhemos o sinal de acordo com a geometria (a curva que desce de A para B normalmente tem y' positivo em trechos adequados); vamos trabalhar com o sinal que dá avanço positivo em x.
Para clareza, defina Y:=y-y_A (a queda vertical desde o ponto inicial). Então
\frac{dx}{dY}=\frac{\sqrt{Y}}{\sqrt{a-Y}}.
Passo 10
Integração por substituição trigonométrica para obter a forma paramétrica. Este passo é o clássico que dá a cicloide.
Use a substituição conveniente
Y = a\frac{1-\cos\theta}{2} = \frac{a}{2}\bigl(1-\cos\theta\bigr),
com \theta como parâmetro. (Esta escolha é motivada por conhecer a identidade \sin^2(\theta/2)=(1-\cos\theta)/2, e pela experiência de que a cicloide aparece com essas combinações.)
Calcule dY:
dY = \frac{a}{2}\sin\theta\,d\theta.
Calcule as raízes que aparecem na expressão de dx/dY:
onde R=\dfrac{a}{2} e x_0,y_0 são constantes de integração que fixam a posição inicial (por exemplo x_0=x_A e y_0=y_A se se ajustar a origem do parâmetro \theta de modo apropriado). Essas são exatamente as equações paramétricas de uma cicloide gerada por um ponto na circunferência de raio R que é rolada sem deslize sobre uma linha horizontal.
A constante R está ligada à constante k da integral primeira por R=\dfrac{1}{2k^2}. Ela é ajustada para que a cicloide passe pelos pontos A e B (isto é, para satisfazer as condições de contorno).
Passo 12
Comentários finais sobre minimalidade, existência e sentidos físicos.
Mostramos que a cicloide torna a primeira variação nula, isto é, é uma curva estacionária para o tempo. Para afirmar que ela realmente minimiza o tempo (e não apenas é um extremo de outra natureza) é necessário analisar a segunda variação ou usar argumentos mais avançados (por exemplo, comparações físicas ou a construção de variações de teste). Historicamente Bernoulli demonstrou que a cicloide é a curva de menor tempo.
Observação física intuitiva: a cicloide é mais “íngreme” no início que a reta, permitindo ganhar velocidade mais rapidamente, e depois “suaviza” para alcançar o destino; esse balanço é o que reduz o tempo total em relação a uma descentralização direta.
Nota sobre coordenadas: foi importante medir y de modo que a energia nos dê v=\sqrt{2g(y-y_A)}. Se outra convenção fosse adotada, apareceria apenas sinais e constantes que devem ser tratados com coerência.
Passo 13
Resumo prático de como proceder numa prova quando pedirem derivar Euler-Lagrange e resolver braquistócrona.
Para deduzir Euler-Lagrange: escreva a família y_\varepsilon=y+\varepsilon\eta, compute \delta J=\dfrac{d}{d\varepsilon}J[y_\varepsilon]\big|_{\varepsilon=0}, integre por partes o termo com \eta' e use que \eta é arbitrária para concluir que o integrando é zero. Apresente a equação
Para a braquistócrona: monte o funcional tempo usando dt=ds/v e v pela conservação de energia; observe que F não depende de x explicitamente; use a integral primeira F-y'F_{y'}= const para obter uma relação entre y e y'; separe as variáveis e faça a substituição trigonométrica \displaystyle y-y_A=\frac{a}{2}(1-\cos\theta) para integrar e reconhecer a cicloide.