Questão 8-3 (Vasos de Pressão - Cilíndrico) “Um tanque de ar comprimido é sustentado por dois berços. O tanque é cilíndrico, tem diâmetro externo de 800 mm e espessura de parede de 10 mm . Se o tanque for pressurizado a 2 MPa , determine as tensões longitudinal e circunferencial no material.”

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • diâmetro externo do cilindro: \,D_{\text{ext}}=800\\ \text{mm};
    • espessura da parede: \,t=10\\ \text{mm};
    • pressão interna: \,p=2\\ \text{MPa}.
  • O que o enunciado pede:
    • determinar a tensão circunferencial (também chamada de tensão hoop ou tangencial) no material;
    • determinar a tensão longitudinal (axial) no material.

Passo 2

Calcular o diâmetro interno e o raio interno — são necessários nas fórmulas.
O diâmetro interno é o diâmetro externo menos duas vezes a espessura:
D_{\text{int}}=D_{\text{ext}}-2t=800-2\cdot10=780\\ \text{mm}.
O raio interno é metade do diâmetro interno:
r=\frac{D_{\text{int}}}{2}=\frac{780}{2}=390\\ \text{mm}.

Passo 3

Verificar se podemos usar a aproximação de casca fina (thin-walled), que simplifica as fórmulas.
Critério usual: casca fina se \dfrac{t}{r}\le 0,1. Aqui
\frac{t}{r}=\frac{10}{390}\approx0,0256<0,1,
portanto a aproximação de casca fina é válida. Assim podemos usar as fórmulas simples:
  • tensão circunferencial \sigma_{\theta}=\dfrac{p\,r}{t};
  • tensão longitudinal \sigma_{\ell}=\dfrac{p\,r}{2t}.
Antes de aplicá-las, vou explicar de onde vêm essas fórmulas (muita gente erra isso na hora da prova).

Passo 4

Derivação física e interpretação da tensão circunferencial \sigma_{\theta} (aula rápida e concreta).
Imagine cortar o cilindro por um plano que passa ao longo do eixo (um corte longitudinal). A pressão interna tende a abrir esse “sanduíche” separando as duas metades. A força resultante da pressão sobre a superfície projetada de uma metade (comprimento L) é
F_{\text{pressão}}=p\cdot(2rL),ã
pois a área projetada da metade é 2rL. Essa força é equilibrada pela resistência das duas paredes cortadas: cada lado tem área de seção tL, então a força resistente é
F_{\text{parede}}=2\cdot(tL)\cdot\sigma_{\theta}.
Igualando forças para equilíbrio:
p\cdot(2rL)=2tL\,\sigma_{\theta}\quad\Rightarrow\quad \sigma_{\theta}=\frac{p\,r}{t}.
Ou seja: a tensão circunferencial é proporcional à pressão e ao raio, e inversamente proporcional à espessura.

Passo 5

Aplicar a fórmula da tensão circunferencial e calcular numericamente.
Usando \,p=2\\ \text{MPa}, \,r=390\\ \text{mm} e \,t=10\\ \text{mm}:
\sigma_{\theta}=\frac{p\,r}{t}=2\cdot\frac{390}{10}=2\cdot39=78\\ \text{MPa}.
Observação prática: como usei \text{mm} para r e t e \text{MPa} para p, o resultado já saiu em \text{MPa} — isso facilita na prova.

Passo 6

Derivação física e interpretação da tensão longitudinal \sigma_{\ell} (aula rápida e concreta).
A pressão interna exerce uma força para empurrar a tampa (ou o fundo) do cilindro para fora, igual a
F_{\text{pressão}}=p\cdot(\pi r^{2}),ã
onde \pi r^{2} é a área do corte transversal. Essa força é resistida pela parede cilíndrica, cuja área axial de seção que sustenta a tampa é a área da parede vista de cima: perímetro vezes espessura =2\pi r\cdot t. A tensão axial \sigma_{\ell} é a força dividida por essa área:
\sigma_{\ell}=\frac{p\pi r^{2}}{2\pi r t}=\frac{p\,r}{2t}.
Esse fator 1/2 aparece porque a parede distribui a carga do tampão ao longo da circunferência.

Passo 7

Calcular numericamente a tensão longitudinal.
Usando os mesmos valores:
\sigma_{\ell}=\frac{p\,r}{2t}= \frac{2\cdot390}{2\cdot10}= \frac{780}{20}=39\\ \text{MPa}.

Passo 8

Interpretação final rápida e dica de prova.
  • Ambas as tensões são tensões de tração (tendência de puxar o material), não de compressão, pois a pressão interna “empurra” o casco para fora.
  • Regra prática para decorar: \sigma_{\theta}=2\,\sigma_{\ell} para um cilindro de extremidades fechadas em aproximação de casca fina — assim, se lembrar de uma, lembra a outra.
  • Conferência rápida de ordem de grandeza: 78\ MPa e 39\ MPa são coerentes para 2\ MPa com razão r/t=39.

Resposta

\sigma_{\theta}=78\\ \text{MPa}
\sigma_{\ell}=39\\ \text{MPa}

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