Questão 8-3 (Vasos de Pressão - Cilíndrico) “Um tanque de ar comprimido é sustentado por dois berços. O tanque é cilíndrico, tem diâmetro externo de 800 mm e espessura de parede de 10 mm . Se o tanque for pressurizado a 2 MPa , determine as tensões longitudinal e circunferencial no material.”
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- diâmetro externo do cilindro:
; - espessura da parede:
; - pressão interna:
.
- diâmetro externo do cilindro:
-
O que o enunciado pede:
- determinar a tensão circunferencial (também chamada de tensão hoop ou tangencial) no material;
- determinar a tensão longitudinal (axial) no material.
Passo 2
Calcular o diâmetro interno e o raio interno — são necessários nas fórmulas.
O diâmetro interno é o diâmetro externo menos duas vezes a espessura:
O raio interno é metade do diâmetro interno:
Passo 3
Verificar se podemos usar a aproximação de casca fina (thin-walled), que simplifica as fórmulas.
Critério usual: casca fina se
. Aqui
portanto a aproximação de casca fina é válida. Assim podemos usar as fórmulas simples:
- tensão circunferencial
; - tensão longitudinal
.
Antes de aplicá-las, vou explicar de onde vêm essas fórmulas (muita gente erra isso na hora da prova).
Passo 4
Derivação física e interpretação da tensão circunferencial
(aula rápida e concreta).
Imagine cortar o cilindro por um plano que passa ao longo do eixo (um corte longitudinal). A pressão interna tende a abrir esse “sanduíche” separando as duas metades. A força resultante da pressão sobre a superfície projetada de uma metade (comprimento
) é
pois a área projetada da metade é
. Essa força é equilibrada pela resistência das duas paredes cortadas: cada lado tem área de seção
, então a força resistente é
Igualando forças para equilíbrio:
Ou seja: a tensão circunferencial é proporcional à pressão e ao raio, e inversamente proporcional à espessura.
Passo 5
Aplicar a fórmula da tensão circunferencial e calcular numericamente.
Usando
,
e
:
Observação prática: como usei
para
e
e
para
, o resultado já saiu em
— isso facilita na prova.
Passo 6
Derivação física e interpretação da tensão longitudinal
(aula rápida e concreta).
A pressão interna exerce uma força para empurrar a tampa (ou o fundo) do cilindro para fora, igual a
onde
é a área do corte transversal. Essa força é resistida pela parede cilíndrica, cuja área axial de seção que sustenta a tampa é a área da parede vista de cima: perímetro vezes espessura
. A tensão axial
é a força dividida por essa área:
Esse fator
aparece porque a parede distribui a carga do tampão ao longo da circunferência.
Passo 7
Calcular numericamente a tensão longitudinal.
Usando os mesmos valores:
Passo 8
Interpretação final rápida e dica de prova.
- Ambas as tensões são tensões de tração (tendência de puxar o material), não de compressão, pois a pressão interna “empurra” o casco para fora.
- Regra prática para decorar:
para um cilindro de extremidades fechadas em aproximação de casca fina — assim, se lembrar de uma, lembra a outra. - Conferência rápida de ordem de grandeza: 78\ MPa e 39\ MPa são coerentes para 2\ MPa com razão
.