Questão 2 (
ponto): Sabendo que
, determine o menor valor de
para que o núcleo central da seção transversal mostrada fique inteiramente dentro do furo da seção. Obs.: para a seção,
e
. Dica:
.
Passo 1
O enunciado dá:
-
. - Área da seção (com furo central quadrado de lado
): - Momentos de inércia:
O que se pede:
- Determinar o menor valor de
para que o núcleo central (núcleo/kern) da seção transversal fique inteiramente dentro do furo central (ou seja, o furo deve conter todo o núcleo).
Passo 2
Entendendo o que é necessário — condição física do núcleo:
- O “núcleo central” é a região central onde, se a força axial compressiva
atuar, a tensão em toda a seção permanece compressiva (sem tração). - Para uma excêntrica
em relação ao centróide, surge um momento que causa variação linear de tensões. A tensão na fibra mais distante (distância ) é
- Para não haver tração precisamos de
. Dividindo por :
- Assim, o maior valor admissível da excentricidade ao longo de um eixo é
Aqui explicitei cada símbolo:
é a força axial (compressiva),
a área da seção,
o momento resultante da excentricidade
,
o momento de inércia em torno do eixo considerado e
a distância do centróide até a fibra mais distante nesse eixo.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso simétrico (quadrado externo com furo quadrado centrado):
- A seção é simétrica em
e , e os momentos de inércia em ambos os eixos são iguais ( ). - A distância até a fibra mais distante em qualquer direção axial é
- Portanto
- O núcleo é, então, um quadrado central cujo semi-lado (metade do lado do núcleo) é
.
Passo 4
Condição para o furo conter o núcleo:
- O furo é um quadrado de lado
, seu semi-lado é . - Para que o núcleo (semi-lado
) esteja inteiramente dentro do furo precisamos de
- Reescrevendo:
Agora substituímos
e
que dependem de
:
Substituindo em
(vamos tomar a igualdade para obter o menor
):
Usando a dica
, simplifica:
Passo 5
Resolver a equação resultante:
- Multiplicando ambos os lados por
:
- Colocando em forma quadrática:
- Solução pela fórmula quadrática:
- Duas raízes:
e .
A primeira é maior que(inválida fisicamente para o lado do furo), então tomamos a segunda:
Passo 6
Substituindo
e calculando numericamente: