Questão 2 ( \mathbf{1 , 0} ponto): Sabendo que L=50 \mathrm{~mm}, determine o menor valor de f para que o núcleo central da seção transversal mostrada fique inteiramente dentro do furo da seção. Obs.: para a seção, A=L^{2}-f^{2} e I_{x}=I_{y}=\left(L^{4}-f^{4}\right) / 12. Dica: L^{4}-f^{4}=\left(L^{2}-f^{2}\right)\left(L^{2}+f^{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá:
  • L=50\\ \mathrm{mm}.
  • Área da seção (com furo central quadrado de lado f): \;A=L^{2}-f^{2}.
  • Momentos de inércia: \;I_{x}=I_{y}=\dfrac{L^{4}-f^{4}}{12}.
O que se pede:
  • Determinar o menor valor de f para que o núcleo central (núcleo/kern) da seção transversal fique inteiramente dentro do furo central (ou seja, o furo deve conter todo o núcleo).

Passo 2

Entendendo o que é necessário — condição física do núcleo:
  • O “núcleo central” é a região central onde, se a força axial compressiva N atuar, a tensão em toda a seção permanece compressiva (sem tração).
  • Para uma excêntrica e em relação ao centróide, surge um momento M=N e que causa variação linear de tensões. A tensão na fibra mais distante (distância \,y_{\max}\,) é
\sigma_{\min}=\frac{N}{A}-\frac{M\,y_{\max}}{I}=\frac{N}{A}-\frac{N e\,y_{\max}}{I}.
  • Para não haver tração precisamos de \sigma_{\min}\ge 0. Dividindo por N>0:
\frac{1}{A}-\frac{e\,y_{\max}}{I}\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad e\le \frac{I}{A\,y_{\max}}.
  • Assim, o maior valor admissível da excentricidade ao longo de um eixo é
e_{\max}=\frac{I}{A\,y_{\max}}.
Aqui explicitei cada símbolo: N é a força axial (compressiva), A a área da seção, M=N e o momento resultante da excentricidade e, I o momento de inércia em torno do eixo considerado e y_{\max} a distância do centróide até a fibra mais distante nesse eixo.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso simétrico (quadrado externo com furo quadrado centrado):
  • A seção é simétrica em x e y, e os momentos de inércia em ambos os eixos são iguais ( I_x=I_y=I).
  • A distância até a fibra mais distante em qualquer direção axial é \;y_{\max}=\dfrac{L}{2}.
  • Portanto
e_{\max}=\frac{I}{A\,(L/2)}=\frac{2I}{A\,L}.
  • O núcleo é, então, um quadrado central cujo semi-lado (metade do lado do núcleo) é e_{\max}.

Passo 4

Condição para o furo conter o núcleo:
  • O furo é um quadrado de lado f, seu semi-lado é \dfrac{f}{2}.
  • Para que o núcleo (semi-lado e_{\max}) esteja inteiramente dentro do furo precisamos de
\frac{f}{2}\ge e_{\max}=\frac{2I}{A\,L}.
  • Reescrevendo:
f \ge \frac{4I}{A\,L}.
Agora substituímos A e I que dependem de f:
A=L^{2}-f^{2},\qquad I=\frac{L^{4}-f^{4}}{12}.
Substituindo em f=\dfrac{4I}{A\,L} (vamos tomar a igualdade para obter o menor f):
f=\frac{4}{L}\cdot\frac{1}{12}\cdot\frac{L^{4}-f^{4}}{L^{2}-f^{2}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{L^{4}-f^{4}}{L\,(L^{2}-f^{2})}.
Usando a dica \;L^{4}-f^{4}=(L^{2}-f^{2})(L^{2}+f^{2}), simplifica:
f=\frac{1}{3}\cdot\frac{(L^{2}-f^{2})(L^{2}+f^{2})}{L\,(L^{2}-f^{2})}=\frac{1}{3}\cdot\frac{L^{2}+f^{2}}{L}.

Passo 5

Resolver a equação resultante:
  • Multiplicando ambos os lados por 3L:
3L f = L^{2} + f^{2}.
  • Colocando em forma quadrática:
f^{2}-3L f + L^{2}=0.
  • Solução pela fórmula quadrática:
f=\frac{3L\pm\sqrt{(3L)^{2}-4L^{2}}}{2}=\frac{3L\pm L\sqrt{9-4}}{2}=\frac{L(3\pm\sqrt{5})}{2}.
  • Duas raízes: \dfrac{L(3+\sqrt{5})}{2} e \dfrac{L(3-\sqrt{5})}{2}.
    A primeira é maior que L (inválida fisicamente para o lado do furo), então tomamos a segunda:
f_{\min}=\frac{L(3-\sqrt{5})}{2}.

Passo 6

Substituindo L=50\\ \mathrm{mm} e calculando numericamente:
f_{\min}=50\cdot\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 50\cdot 0{,}38196601125\approx 19{,}10\\ \mathrm{mm}.

Resposta

f_{\min}=19{,}10\\ \mathrm{mm}

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