2- (Pts. 2,5) Para a viga anterior determine: a) as equações da inclinação e da linha elástica; b) o ponto e o valor da máxima deflexão. Deixe as respostas em função da rigidez à flexão (EI)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para “a viga anterior”:\n
  1. As equações da inclinação e da linha elástica (ou seja, \theta(x)=v'(x) e v(x)) em função da rigidez à flexão EI.\n
  2. O ponto onde ocorre a máxima deflexão e o valor dessa máxima deflexão, também em função de EI.\n
    Informações relevantes que o enunciado deveria fornecer (mas que não estão aqui): o diagrama da viga (comprimento L), o tipo de apoios (engastada, simplesmente apoiada, livre, etc.), a posição e o tipo das cargas (força concentrada P, carga distribuída q, momento concentrado, posições dos carregamentos) e quaisquer dimensões necessárias.\n
    Observação importante: o enunciado refere‑se à “viga anterior” e depende do diagrama/dados dessa viga. Esse diagrama/dados não foram fornecidos aqui. Sem essa figura ou os dados completos da viga não há como escrever as expressões específicas de M(x), nem, portanto, integrar e encontrar \theta(x) e v(x) para o caso pedido.

Passo 2

Por que não dá para resolver numericamente/explicitamente sem o diagrama?\n
A equação diferencial para a linha elástica usa o momento fletor M(x):\n
EI\,\frac{d^{2}v}{dx^{2}} = M(x).\n
Para obter M(x) você precisa das reações de apoio (que dependem do tipo e posição dos apoios) e do posicionamento das cargas. Diferentes apoios/forças produzem funções M(x) totalmente diferentes. Logo, sem o diagrama não existe uma única função M(x) para integrar, e não dá para obter as equações pedidas.

Passo 3

O procedimento geral (passo a passo) que você deve aplicar assim que tiver o diagrama — explicação didática e mastigada para você poder aplicar na prova:\n
  1. Definir o eixo x: escolha a origem (normalmente numa extremidade da viga) e a direção positiva.\n
  2. Reações de apoio: escreva as equações de equilíbrio estático (∑F = 0, ∑M = 0, e ∑V = 0 quando necessário) para encontrar as reações em apoios (forças e momentos de reação). Esses valores entram em M(x).\n
  3. Escrever M(x) por trechos: se houver carregamentos concentrados ou mudanças nos apoios, divida a viga em trechos onde M(x) tem expressão contínua (por exemplo: 0\le x<a,\; a<x<b,\; b<x\le L). Em cada trecho escreva M(x) usando as reações e cargas que atuam à esquerda (ou à direita) de x.\n
  4. Equação diferencial: use\n
EI\,v''(x)=M(x),\n
onde v(x) é a deflexão vertical (positiva para cima, escolha o sinal consistentemente), v'(x)=\theta(x) é a inclinação, E é o módulo de elasticidade e I é o momento de inércia da seção.\n
5) Integração: integre duas vezes para obter \theta(x) e v(x):\n
EI\,v''(x)=M(x) \quad\Rightarrow\quad EI\,v'(x)=\int M(x)\,dx + C_1 \quad\Rightarrow\quad EI\,v(x)=\int\left(\int M(x)\,dx\right)dx + C_1 x + C_2.\n
Expliquei cada símbolo: C_1 e C_2 são constantes de integração (diferentes por trecho se você integrar por trechos), x é a coordenada ao longo da viga.\n
6) Condições de contorno: determine C_1,C_2 usando as condições de contorno impostas pelos apoios (por exemplo, em apoio simples v=0; em engaste v=0 e v'=0; em extremidade livre o momento e o esforço cortante podem ser nulos, etc.) e condições de continuidade entre trechos (continuidade de v e de v' nas junções se não houver singularidades que causem saltos).\n
7) Máxima deflexão: a máxima deflexão interna geralmente ocorre onde a inclinação se anula, ou seja, onde v'(x)=0. Então resolva v'(x)=0 para achar os candidatos x. Compare valores de v(x) nesses pontos e nas extremidades para encontrar a deflexão máxima (menor valor se estiver usando convenção positiva para cima e cargas para baixo).\n
8) Expressar resultados em função de EI: como você integrou dividindo por EI, as expressões finais para \theta(x) e v(x) aparecerão com fatores 1/EI. Mantenha EI simbólico até o final para obter respostas em função de EI.

Passo 4

Dicas práticas e armadilhas comuns — o que seu professor provavelmente espera que você lembre na prova:\n
  • Sempre balanceie forças e momentos primeiro para achar reações; sem reações corretas você terá M(x) errado.\n
  • Use funções por partes (ou funções de Macaulay / singularidade) se tiver muitas cargas concentradas; isso organiza o trabalho e evita erros de sinais.\n
  • Verifique a continuidade de v e v' nas junções. Em pontos de carga concentrada o esforço cortante tem salto e o momento tem mudança na inclinação da curva de M(x), mas v e v' permanecem contínuos (se não houver apoio ou rótula interna que cause deslocamento relativo).\n
  • Sempre cheque unidades (consistência de P, L, E, I).\n
  • Ao encontrar candidatos para máximo, verifique se é máximo (por exemplo, segundo derivada v'' é relacionada ao momento; mas bastar comparar valores de v muitas vezes é o suficiente).

Passo 5

Exemplo completamente resolvido (modelo didático) — para você ver o método aplicado passo a passo: viga simplesmente apoiada de comprimento L com uma carga concentrada P no centro ( x=L/2). Isso é só um exemplo ilustrativo: não é a “viga anterior” do enunciado, mas mostra exatamente o tipo de cálculo que você deve fazer.\n
  1. Definir: apoios simples em x=0 e x=L; força P em x=L/2. Reações simétricas: R_A=R_B=\dfrac{P}{2} (obtido por equilíbrio: ∑M em um apoio).\n
  2. Momento fletor por trechos (peguei os dados do diagrama do exemplo):\n
Para 0\le x\le L/2:\n M(x)=R_A\,x=\frac{P}{2}\,x.\n
Para L/2\le x\le L:\n M(x)=R_B\,(L-x)=\frac{P}{2}\,(L-x).\n
  1. Use a equação diferencial em 0\le x\le L/2 (pelo simetria o outro trecho é análogo):\n EI\,v''(x)=\frac{P}{2}x.\n
Integre uma vez:\n EI\,v'(x)=\frac{P}{4}x^{2}+C_{1}.\n
Integre de novo:\n EI\,v(x)=\frac{P}{12}x^{3}+C_{1}x+C_{2}.\n
  1. Condições apropriadas para o trecho esquerdo: v(0)=0 (apoio em x=0) e simetria em x=L/2 v'(L/2)=0 (a inclinação no meio é zero). Aplicando v(0)=0 temos C_{2}=0. Aplicando v'(L/2)=0:\n EI\,v'(L/2)=\frac{P}{4}\left(\frac{L}{2}\right)^{2}+C_{1}=0 \quad\Rightarrow\quad C_{1}=-\frac{P L^{2}}{16}.\n
  2. Portanto, para 0\le x\le L/2:\n EI\,v'(x)=\frac{P}{4}x^{2}-\frac{P L^{2}}{16},\n EI\,v(x)=\frac{P}{12}x^{3}-\frac{P L^{2}}{16}x.\n
  3. Máxima deflexão: procurar v'(x)=0. Já sabemos por simetria que x=L/2 é tal ponto. Calcule v(L/2):\n EI\,v\!\left(\frac{L}{2}\right)=\frac{P}{12}\left(\frac{L}{2}\right)^{3}-\frac{P L^{2}}{16}\left(\frac{L}{2}\right).\n
Calcule os termos:\n \frac{P}{12}\left(\frac{L^{3}}{8}\right)=\frac{P L^{3}}{96}, \qquad \frac{P L^{2}}{16}\cdot\frac{L}{2}=\frac{P L^{3}}{32}.\n
Subtraindo:\n EI\,v\!\left(\frac{L}{2}\right)=\frac{P L^{3}}{96}-\frac{P L^{3}}{32}=\!-\frac{P L^{3}}{48}.\n
Logo a deflexão máxima (módulo) é\n \left|v_{\max}\right|=\frac{P L^{3}}{48\,EI},\nocorre em x=\dfrac{L}{2}.\n
  1. Também temos a expressão da inclinação (no trecho esquerdo):\n \theta(x)=v'(x)=\frac{1}{EI}\left(\frac{P}{4}x^{2}-\frac{P L^{2}}{16}\right).\n
Resumo do exemplo (para fixar):\n- Equação da linha elástica no trecho 0\le x\le L/2:\n v(x)=\frac{1}{EI}\left(\frac{P}{12}x^{3}-\frac{P L^{2}}{16}x\right).\n- Equação da inclinação:\n \theta(x)=v'(x)=\frac{1}{EI}\left(\frac{P}{4}x^{2}-\frac{P L^{2}}{16}\right).\n- Máxima deflexão: x=L/2 com \displaystyle v_{\max}=-\frac{P L^{3}}{48\,EI} (sinal negativo indicando deslocamento para baixo). \n\nEsse exemplo mostra exatamente as etapas que você deve reproduzir para a viga do seu enunciado: encontrar M(x), integrar duas vezes, aplicar condições para obter constantes e então localizar o máximo.

Passo 6

O que faço agora por você: não vou inventar a “viga anterior” porque isso seria arriscado e provavelmente diferente do que seu professor pediu. Se você me enviar o diagrama (ou descrever completamente: tipo de apoios, comprimento L, cargas e suas posições), eu aplico rigorosamente os passos acima e te entrego as equações passo a passo e a máxima deflexão em função de EI, do jeitinho que você pediu — sem pular etapas e com explicações didáticas.

Resposta

Não é possível determinar as equações e a máxima deflexão porque o enunciado refere‑se a uma “viga anterior” cujo diagrama/dados (apoios, comprimento, posição e tipos de cargas) não foram fornecidos.

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