2- (Pts. 2,5) Para a viga anterior determine: a) as equações da inclinação e da linha elástica; b) o ponto e o valor da máxima deflexão. Deixe as respostas em função da rigidez à flexão (EI)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para “a viga anterior”:\n
- As equações da inclinação e da linha elástica (ou seja,
e ) em função da rigidez à flexão .\n - O ponto onde ocorre a máxima deflexão e o valor dessa máxima deflexão, também em função de
.\n
Informações relevantes que o enunciado deveria fornecer (mas que não estão aqui): o diagrama da viga (comprimento), o tipo de apoios (engastada, simplesmente apoiada, livre, etc.), a posição e o tipo das cargas (força concentrada , carga distribuída , momento concentrado, posições dos carregamentos) e quaisquer dimensões necessárias.\n
Observação importante: o enunciado refere‑se à “viga anterior” e depende do diagrama/dados dessa viga. Esse diagrama/dados não foram fornecidos aqui. Sem essa figura ou os dados completos da viga não há como escrever as expressões específicas de, nem, portanto, integrar e encontrar e para o caso pedido.
Passo 2
Por que não dá para resolver numericamente/explicitamente sem o diagrama?\n
A equação diferencial para a linha elástica usa o momento fletor :\n
A equação diferencial para a linha elástica usa o momento fletor
Para obter
você precisa das reações de apoio (que dependem do tipo e posição dos apoios) e do posicionamento das cargas. Diferentes apoios/forças produzem funções
totalmente diferentes. Logo, sem o diagrama não existe uma única função
para integrar, e não dá para obter as equações pedidas.
Passo 3
O procedimento geral (passo a passo) que você deve aplicar assim que tiver o diagrama — explicação didática e mastigada para você poder aplicar na prova:\n
- Definir o eixo
: escolha a origem (normalmente numa extremidade da viga) e a direção positiva.\n - Reações de apoio: escreva as equações de equilíbrio estático (∑F = 0, ∑M = 0, e ∑V = 0 quando necessário) para encontrar as reações em apoios (forças e momentos de reação). Esses valores entram em
.\n - Escrever
por trechos: se houver carregamentos concentrados ou mudanças nos apoios, divida a viga em trechos onde tem expressão contínua (por exemplo: ). Em cada trecho escreva usando as reações e cargas que atuam à esquerda (ou à direita) de .\n - Equação diferencial: use\n
onde
é a deflexão vertical (positiva para cima, escolha o sinal consistentemente),
é a inclinação,
é o módulo de elasticidade e
é o momento de inércia da seção.\n
5) Integração: integre duas vezes para obter e
:\n
5) Integração: integre duas vezes para obter
Expliquei cada símbolo:
e
são constantes de integração (diferentes por trecho se você integrar por trechos),
é a coordenada ao longo da viga.\n
6) Condições de contorno: determine usando as condições de contorno impostas pelos apoios (por exemplo, em apoio simples
; em engaste
e
; em extremidade livre o momento e o esforço cortante podem ser nulos, etc.) e condições de continuidade entre trechos (continuidade de
e de
nas junções se não houver singularidades que causem saltos).\n
7) Máxima deflexão: a máxima deflexão interna geralmente ocorre onde a inclinação se anula, ou seja, onde . Então resolva
para achar os candidatos
. Compare valores de
nesses pontos e nas extremidades para encontrar a deflexão máxima (menor valor se estiver usando convenção positiva para cima e cargas para baixo).\n
8) Expressar resultados em função de : como você integrou dividindo por
, as expressões finais para
e
aparecerão com fatores
. Mantenha
simbólico até o final para obter respostas em função de
.
6) Condições de contorno: determine
7) Máxima deflexão: a máxima deflexão interna geralmente ocorre onde a inclinação se anula, ou seja, onde
8) Expressar resultados em função de
Passo 4
Dicas práticas e armadilhas comuns — o que seu professor provavelmente espera que você lembre na prova:\n
- Sempre balanceie forças e momentos primeiro para achar reações; sem reações corretas você terá
errado.\n - Use funções por partes (ou funções de Macaulay / singularidade) se tiver muitas cargas concentradas; isso organiza o trabalho e evita erros de sinais.\n
- Verifique a continuidade de
e nas junções. Em pontos de carga concentrada o esforço cortante tem salto e o momento tem mudança na inclinação da curva de , mas e permanecem contínuos (se não houver apoio ou rótula interna que cause deslocamento relativo).\n - Sempre cheque unidades (consistência de
, , , ).\n - Ao encontrar candidatos para máximo, verifique se é máximo (por exemplo, segundo derivada
é relacionada ao momento; mas bastar comparar valores de muitas vezes é o suficiente).
Passo 5
Exemplo completamente resolvido (modelo didático) — para você ver o método aplicado passo a passo: viga simplesmente apoiada de comprimento
com uma carga concentrada
no centro (
). Isso é só um exemplo ilustrativo: não é a “viga anterior” do enunciado, mas mostra exatamente o tipo de cálculo que você deve fazer.\n
- Definir: apoios simples em
e ; força em . Reações simétricas: (obtido por equilíbrio: ∑M em um apoio).\n - Momento fletor por trechos (peguei os dados do diagrama do exemplo):\n
Para
:\n
\n
Para
:\n
\n
- Use a equação diferencial em
(pelo simetria o outro trecho é análogo):\n \n
Integre uma vez:\n
\n
Integre de novo:\n
\n
- Condições apropriadas para o trecho esquerdo:
(apoio em ) e simetria em dá (a inclinação no meio é zero). Aplicando temos . Aplicando :\n \n - Portanto, para
:\n \n \n - Máxima deflexão: procurar
. Já sabemos por simetria que é tal ponto. Calcule :\n \n
Calcule os termos:\n
\n
Subtraindo:\n
\n
Logo a deflexão máxima (módulo) é\n
\nocorre em
.\n
- Também temos a expressão da inclinação (no trecho esquerdo):\n
\n
Resumo do exemplo (para fixar):\n- Equação da linha elástica no trecho
:\n
\n- Equação da inclinação:\n
\n- Máxima deflexão:
com
(sinal negativo indicando deslocamento para baixo). \n\nEsse exemplo mostra exatamente as etapas que você deve reproduzir para a viga do seu enunciado: encontrar
, integrar duas vezes, aplicar condições para obter constantes e então localizar o máximo.
Passo 6
O que faço agora por você: não vou inventar a “viga anterior” porque isso seria arriscado e provavelmente diferente do que seu professor pediu. Se você me enviar o diagrama (ou descrever completamente: tipo de apoios, comprimento
, cargas e suas posições), eu aplico rigorosamente os passos acima e te entrego as equações passo a passo e a máxima deflexão em função de
, do jeitinho que você pediu — sem pular etapas e com explicações didáticas.
Resposta
Não é possível determinar as equações e a máxima deflexão porque o enunciado refere‑se a uma “viga anterior” cujo diagrama/dados (apoios, comprimento, posição e tipos de cargas) não foram fornecidos.