Uma coluna de destilação com condensador total e refervedor parcial é alimentada com uma mistura de álcoois. A alimentação é composta por 19 \% metanol, 31 \% etanol, 27 \% npropanol e 23 \% de n-butanol. Metanol é o mais volátil e n-butanol o menos volátil. A vazão da alimentação é 12000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}. Deseja-se recuperar 97,8% de etanol no destilado e 99,4% de n-propanol no fundo. Estime as vazões de topo e fundo e as composições mássicas dos componentes nas correntes.

Passo 1

O enunciado pede que estimemos as vazões de topo e fundo e as composições mássicas dos componentes nas correntes de um destilador alimentado com F=12000\\ \mathrm{kg/h}. A alimentação tem as frações mássicas:
\begin{aligned} &\text{metanol: }19\%,\\\ &\text{etanol: }31\%,\\\ &\text{n-propanol: }27\%,\\\ &\text{n-butanol: }23\%. \end{aligned}
Também é fornecido que se deseja recuperar 97{,}8\% do etanol no destilado e 99{,}4\% do n-propanol no fundo. Foi dito que metanol é o mais volátil e n-butanol o menos volátil.
Informações relevantes listadas:
  • Vazão de alimentação: F=12000\\ \mathrm{kg/h}.
  • Composição mássica da alimentação: 19\% MeOH, 31\% EtOH, 27\% PrOH, 23\% BuOH.
  • Recuperação de etanol no destilado: 97{,}8\%.
  • Recuperação de n-propanol no fundo: 99{,}4\%.
  • Metanol é o mais volátil (tende ao topo) e n-butanol o menos volátil (tende ao fundo).
    O que nos pedem: estimar D e B (vazões de topo e fundo) e as composições mássicas de cada componente em D e B.

Passo 2

Princípio usado: balanço de massa global e balanços de massa por componente. Definimos:
F = D + B,
onde F é conhecida. Para cada componente i (MeOH, EtOH, PrOH, BuOH) vale:
F_i = D\,x_{D,i} + B\,x_{B,i},
onde F_i é a massa do componente i na alimentação, x_{D,i} e x_{B,i} são as frações mássicas do componente i no destilado e no fundo, respectivamente. Além disso:
  • Recuperação de etanol no destilado:
D\,x_{D,\text{Et}} = 0{,}978\,F_{\text{Et}}.
  • Recuperação de n-propanol no fundo:
B\,x_{B,\text{Pr}} = 0{,}994\,F_{\text{Pr}}.
Essas equações nos dão as massas de etanol no destilado e de n-propanol no fundo. Para completar o problema precisamos decidir como tratar metanol e n-butanol — o enunciado nos diz suas volatilitades extremas, então adotamos a aproximação prática de que metanol praticamente vai todo para o topo e n-butanol praticamente todo para o fundo (aproximação razoável quando um componente é muito mais volátil ou muito menos volátil que os demais). Vou explicar e aplicar isso nos passos seguintes.

Passo 3

Calculamos as massas dos componentes na alimentação ( F_i):
\begin{aligned} &F_{\text{Me}} = 0{,}19\cdot 12000 = 2280\\ \mathrm{kg/h},\\\ &F_{\text{Et}} = 0{,}31\cdot 12000 = 3720\\ \mathrm{kg/h},\\\ &F_{\text{Pr}} = 0{,}27\cdot 12000 = 3240\\ \mathrm{kg/h},\\\ &F_{\text{Bu}} = 0{,}23\cdot 12000 = 2760\\ \mathrm{kg/h}. \end{aligned}

Passo 4

Usamos as recuperações dadas para obter as massas de EtOH no destilado e de PrOH no fundo:
\begin{aligned} &D\,x_{D,\text{Et}} = 0{,}978\cdot F_{\text{Et}} = 0{,}978\cdot 3720 = 3638{,}16\\ \mathrm{kg/h},\\\ &B\,x_{B,\text{Pr}} = 0{,}994\cdot F_{\text{Pr}} = 0{,}994\cdot 3240 = 3220{,}56\\ \mathrm{kg/h}. \end{aligned}
Com isso já sabemos quanto de etanol sai pelo topo e quanto de n-propanol sai pelo fundo. Também podemos calcular as massas restantes desses componentes nas correntes opostas:
\begin{aligned} &\text{EtOH no fundo: } z_{\text{Et}} = F_{\text{Et}} - 3638{,}16 = 81{,}84\\ \mathrm{kg/h},\\\ &\text{PrOH no topo: } y_{\text{Pr}} = F_{\text{Pr}} - 3220{,}56 = 19{,}44\\ \mathrm{kg/h}. \end{aligned}

Passo 5

Aplicamos a aproximação física mencionada: como metanol é o mais volátil, aproximamos que todo o metanol vai para o destilado; como n-butanol é o menos volátil, aproximamos que todo o n-butanol vai para o fundo. Em fórmulas:
\begin{aligned} &y_{\text{Me}} = D\,x_{D,\text{Me}} \approx F_{\text{Me}} = 2280\\ \mathrm{kg/h},\\\ &z_{\text{Bu}} = B\,x_{B,\text{Bu}} \approx F_{\text{Bu}} = 2760\\ \mathrm{kg/h}. \end{aligned}
Essa hipótese tira duas incógnitas (a partição de Me e Bu) e é coerente com a informação dada sobre volatilitades extremas. Com essas massas conhecidas, podemos somar as massas que efetivamente vão ao destilado e ao fundo para obter D e B.

Passo 6

Calculemos a vazão de destilado D somando as massas dos componentes que vão ao topo:
\begin{aligned} D &= y_{\text{Me}} + y_{\text{Et}} + y_{\text{Pr}} + y_{\text{Bu}}\\\ &\approx 2280 + 3638{,}16 + 19{,}44 + 0 \\\ &= 5937{,}60\\ \mathrm{kg/h}. \end{aligned}
A vazão de fundo segue de B = F - D:
B = 12000 - 5937{,}60 = 6062{,}40\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 7

Agora obtemos as massas de cada componente em D e B (já calculadas implicitamente; resumo):
\begin{aligned} &\text{No destilado (massas):}\\\ &\quad \text{MeOH}: 2280{,}00\\ \mathrm{kg/h},\\\ &\quad \text{EtOH}: 3638{,}16\\ \mathrm{kg/h},\\\ &\quad \text{PrOH}: 19{,}44\\ \mathrm{kg/h},\\\ &\quad \text{BuOH}: 0{,}00\\ \mathrm{kg/h}.\\[4pt] &\text{No fundo (massas):}\\\ &\quad \text{MeOH}: 0{,}00\\ \mathrm{kg/h},\\\ &\quad \text{EtOH}: 81{,}84\\ \mathrm{kg/h},\\\ &\quad \text{PrOH}: 3220{,}56\\ \mathrm{kg/h},\\\ &\quad \text{BuOH}: 2760{,}00\\ \mathrm{kg/h}. \end{aligned}]

Passo 8

Calculamos as composições mássicas (%) em cada corrente dividindo as massas pelo fluxo da corrente e multiplicando por 100. Para o destilado:
\begin{aligned} &x_{D,\text{Me}} = \frac{2280}{5937{,}60}=0{,}38404\Rightarrow 38{,}40\%,\\\ &x_{D,\text{Et}} = \frac{3638{,}16}{5937{,}60}=0{,}61330\Rightarrow 61{,}33\%,\\\ &x_{D,\text{Pr}} = \frac{19{,}44}{5937{,}60}=0{,}00327\Rightarrow 0{,}33\%,\\\ &x_{D,\text{Bu}} = 0\Rightarrow 0{,}00\%. \end{aligned}
Para o fundo:
\begin{aligned} &x_{B,\text{Me}} = 0\Rightarrow 0{,}00\%,\\\ &x_{B,\text{Et}} = \frac{81{,}84}{6062{,}40}=0{,}01349\Rightarrow 1{,}35\%,\\\ &x_{B,\text{Pr}} = \frac{3220{,}56}{6062{,}40}=0{,}53128\Rightarrow 53{,}13\%,\\\ &x_{B,\text{Bu}} = \frac{2760}{6062{,}40}=0{,}45523\Rightarrow 45{,}52\%. \end{aligned}

Passo 9

Sanity-checks e comentários finais:
  • As somas das percentagens aproximadas em cada corrente dão cerca de 100\% (pequenas diferenças por arredondamento).
  • As suposições usadas (todo metanol para o topo e todo n-butanol para o fundo) são aproximações úteis quando esses componentes são extremos em volatilidade; se precisarmos de maior precisão, seria necessário mais informação (por ex. curvas de equilíbrio, pressões, número de pratos) e resolver balanços com frações reais.
  • Resultados fornecem uma estimativa consistente com os dados de recuperação pedidos.

Resposta

Vazão do topo (D): 5937{,}60\\ \mathrm{kg/h}
Vazão do fundo (B): 6062{,}40\\ \mathrm{kg/h}
Composição mássica do topo (destilado): metanol 38{,}40\%, etanol 61{,}33\%, n-propanol 0{,}33\%, n-butanol 0{,}00\%
Composição mássica do fundo: metanol 0{,}00\%, etanol 1{,}35\%, n-propanol 53{,}13\%, n-butanol 45{,}52\%

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