Uma corrente quaternária de 100 \mathrm{kmol} / \mathrm{h}, cuja composição e volatilidades relativas dos componentes estão na tabela seguinte, é destilada, de modo a recuperar 99 \% do componente 2 no destilado e deixando 98 \% do componente 3 no resíduo. Calcule:
a) O número mínimo de andares teóricos.
b) A razão de refluxo mínima se a alimentação for um líquido à temperatura do seu ponto de bolha.
c) O número de andares teóricos para uma razão de refluxo 1,3 vezes superior ao valor mínimo.
Componentes Alimentação (% mol) \boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{i}}=\boldsymbol{K}_{\boldsymbol{i}} / \boldsymbol{K}_{\boldsymbol{r} \boldsymbol{e}}
1 5 2,1
2 42 1,7
3 46 1,0
4 7 0,65

Passo 1

O enunciado nos dá uma alimentação de F=100\\ \mathrm{kmol/h} com as frações molares e volatilidades relativas abaixo:
\begin{array}{lcl} \text{Componente 1:} & z_1=0{,}05 & \alpha_1=2{,}1\\[2mm] \text{Componente 2:} & z_2=0{,}42 & \alpha_2=1{,}7\\[2mm] \text{Componente 3:} & z_3=0{,}46 & \alpha_3=1{,}0\\[2mm] \text{Componente 4:} & z_4=0{,}07 & \alpha_4=0{,}65 \end{array}
As recuperações pedidas são:
99\% \text{ do componente }2\text{ vai para o destilado,}
98\% \text{ do componente }3\text{ fica no resíduo.}í
Perguntas:
a) Calcular o número mínimo de andares teóricos ( N_{\min}) para essa separação (caso de refluxo total).
b) Calcular a razão de refluxo mínima ( R_{\min}) considerando que a alimentação é líquido saturado (alimentação ao ponto de bolha).
c) Calcular o número de andares teóricos quando a razão de refluxo é R=1{,}3\,R_{\min}.
Observações sobre os dados úteis que vamos usar: os componentes-chave são o light key (LK) = componente 2 e o heavy key (HK) = componente 3, porque a especificação fala em recuperar o 2 no destilado e deixar 3 no resíduo. Não há informações de como os componentes não-chave (1 e 4) se distribuem; é prática comum (e válida para problemas de projeto simplificados) assumir que componentes mais voláteis que o LK vão praticamente todo ao destilado e componentes menos voláteis que o HK vão praticamente todo ao resíduo. Assim vou assumir que o componente 1 vai essencialmente todo para o destilado e o componente 4 vai todo para o resíduo — vou explicitar isso quando for usado.]

Passo 2

Conceito e fórmula do número mínimo de andares (equação de Fenske).
Explicação didática: a equação de Fenske dá o número mínimo de pratos teóricos para alcançar uma dada razão de composição entre destilado e resíduo quando se opera em refluxo total (refluxo infinito). Ela usa apenas as volatilidades relativas e as composições dos componentes-chave no destilado e no resíduo. A fórmula (para duas chaves LK e HK) é:
N_{\min}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{(x_D^{\mathrm{LK}}/x_D^{\mathrm{HK}})}{(x_B^{\mathrm{LK}}/x_B^{\mathrm{HK}})}\right)}{\ln\!\left(\alpha_{\mathrm{LK/HK}}\right)}
onde:
  • x_D^{\mathrm{LK}} e x_D^{\mathrm{HK}} são as frações molares do LK e do HK no destilado,
  • x_B^{\mathrm{LK}} e x_B^{\mathrm{HK}} são as frações molares do LK e do HK no resíduo (bottoms),
  • \alpha_{\mathrm{LK/HK}}=\dfrac{\alpha_{\mathrm{LK}}}{\alpha_{\mathrm{HK}}} é a volatilidade relativa do LK em relação ao HK,
  • o ln é o logaritmo natural.
Importante: a razão x_D^{\mathrm{LK}}/x_D^{\mathrm{HK}} pode ser obtida diretamente a partir das recuperações, porque
\frac{x_D^{\mathrm{LK}}}{x_D^{\mathrm{HK}}}=\frac{\text{mols de LK no destilado}}{\text{mols de HK no destilado}}
e as mols no destilado são as recuperações vezes as mols alimentadas; o fator comum F cancela-se.

Passo 3

Cálculo dos cocientes de chaves a partir das recuperações (usar recuperações dadas).
Mols de componente 2 no destilado =0{,}99\cdot F\cdot z_2.
Mols de componente 3 no destilado =0{,}02\cdot F\cdot z_3.
Logo
\frac{x_D^{2}}{x_D^{3}}=\frac{0{,}99\,z_2}{0{,}02\,z_3} =\frac{0{,}99\cdot 0{,}42}{0{,}02\cdot 0{,}46}.
Calculemos numericamente:
\frac{x_D^{2}}{x_D^{3}}=\frac{0{,}4158}{0{,}0092}=45{,}195652\ldots
Para o resíduo (bottoms):
Mols de 2 no resíduo =0{,}01\cdot F\cdot z_2.
Mols de 3 no resíduo =0{,}98\cdot F\cdot z_3.
Logo
\frac{x_B^{2}}{x_B^{3}}=\frac{0{,}01\,z_2}{0{,}98\,z_3} =\frac{0{,}0042}{0{,}4508}=0{,}009318201\ldots

Passo 4

Cálculo de \alpha_{\mathrm{LK/HK}} e aplicação da equação de Fenske.
\alpha_{\mathrm{LK/HK}}=\frac{\alpha_2}{\alpha_3}=\frac{1{,}7}{1{,}0}=1{,}7.
Agora a razão dentro do log da Fenske:
\frac{(x_D^{2}/x_D^{3})}{(x_B^{2}/x_B^{3})} =\frac{45{,}195652}{0{,}009318201}=4850{,}056\ldots
Aplicando Fenske:
N_{\min}=\frac{\ln(4850{,}056)}{\ln(1{,}7)}.
Calculemos os ln:
\ln(4850{,}056)\approx 8{,}48599,\qquad \ln(1{,}7)\approx 0{,}530628.
Portanto
N_{\min}\approx \frac{8{,}48599}{0{,}530628}\approx 16{,}00.
Interpretação: o número mínimo de andares teóricos (em refluxo total) é aproximadamente 16 andares.

Passo 5

Preparação para cálculo da razão de refluxo mínima ( R_{\min}): Underwood.
Conceito: para encontrar R_{\min} com alimentação saturada líquida (alimentação ao ponto de bolha, o que significa q=1) usamos a equação de Underwood para encontrar um parâmetro \theta. A equação de Underwood (para q=1) é:
\sum_{i=1}^{n}\frac{z_i\,\alpha_i}{\alpha_i-\theta}=1.
Explicação das variáveis:
  • z_i = fração molar do componente i na alimentação,
  • \alpha_i = volatilidade relativa do componente i (já dadas),
  • \theta é uma incógnita que deve ser resolvida (há várias raízes matemáticas; a raiz adequada é aquela entre \alpha_{\mathrm{HK}} e \alpha_{\mathrm{LK}} — vou mostrar a busca numérica).
Uma vez encontrado \theta, a razão de refluxo mínima é dada por:
R_{\min}=\sum_{i=1}^{n}\frac{\alpha_i\,x_{D,i}}{\alpha_i-\theta}-1,
onde x_{D,i} são as frações molares dos componentes no destilado (devemos obtê-las). Vou então calcular x_{D,i} e resolver Underwood para \theta.

Passo 6

Determinar as composições do destilado e do resíduo necessárias para Underwood.
Como expliquei no Passo 1, adoto a simplificação comum:
  • componente 1 (mais volátil que o LK) vai essencialmente todo para o destilado;
  • componente 4 (menos volátil que o HK) vai essencialmente todo para o resíduo.
Com isso, usando as recuperações já dadas para 2 e 3, calculamos as mols em destilado e em resíduo (por unidade de alimentação, i.e., por F=1 fração total para facilitar):
Mols no destilado (por F=1):
\begin{array}{l} \text{comp 1: } 0{,}05\\\ \text{comp 2: } 0{,}99\cdot 0{,}42 = 0{,}4158\\\ \text{comp 3: } 0{,}02\cdot 0{,}46 = 0{,}0092\\\ \text{comp 4: } 0 \end{array}
Soma total no destilado:
D = 0{,}05 + 0{,}4158 + 0{,}0092 = 0{,}4750\quad(\text{fração de }F).çã
Assim as frações molares no destilado são:
x_{D,1}=\frac{0{,}05}{0{,}475}=0{,}105263,\quad x_{D,2}=\frac{0{,}4158}{0{,}475}=0{,}875789,
x_{D,3}=\frac{0{,}0092}{0{,}475}=0{,}019368,\quad x_{D,4}=0.
(Obs.: se alguém perguntar, os valores foram obtidos dividindo as mols de cada componente no destilado pela soma total no destilado 0{,}475, que corresponde a 47{,}5\\ \mathrm{kmol/h} quando F=100\\ \mathrm{kmol/h}.)

Passo 7

Resolver a equação de Underwood para \theta.
A equação a resolver é
f(\theta)=\sum_{i=1}^{4}\frac{z_i\,\alpha_i}{\alpha_i-\theta}-1=0,
com z_1=0{,}05,z_2=0{,}42,z_3=0{,}46,z_4=0{,}07 e \alpha conhecidos.
Expliquei antes que há várias raízes matemáticas; a raiz que nos interessa está entre \alpha_{\mathrm{HK}}=1{,}0 e \alpha_{\mathrm{LK}}=1{,}7. Faço uma busca numérica simples (tentar valores e interpolar):
Testes rápidos (mostrando funcionamento):
  • em \theta=1{,}3 obtém-se \sum \approx 0{,}3129 (menor que 1),
  • em \theta=1{,}45 obtém-se \sum \approx 1{,}9384 (maior que 1).
Portanto há uma raiz entre 1{,}3 e 1{,}45. Fazendo uma iteração mais fina (tentar \theta=1{,}37) obtém-se:
\sum_{i}\frac{z_i\alpha_i}{\alpha_i-\theta}\approx 1{,}0010\approx 1,
isto é, \theta\approx 1{,}37 (valor aproximado; suficiente para projeto de nível de prova).
Concluímos:
\theta\approx 1{,}37.

Passo 8

Cálculo de R_{\min} usando a fórmula de Underwood com \theta e as composições do destilado x_{D,i}.
A fórmula:
R_{\min}=\sum_{i=1}^{4}\frac{\alpha_i\,x_{D,i}}{\alpha_i-\theta}-1.
Calculemos termo a termo (usando \theta=1{,}37):
Para o componente 1:
\frac{\alpha_1 x_{D,1}}{\alpha_1-\theta} =\frac{2{,}1\cdot 0{,}105263}{2{,}1-1{,}37} =0{,}105263\cdot\frac{2{,}1}{0{,}73}\approx 0{,}302816.
Para o componente 2:
\frac{\alpha_2 x_{D,2}}{\alpha_2-\theta} =\frac{1{,}7\cdot 0{,}875789}{1{,}7-1{,}37} =0{,}875789\cdot\frac{1{,}7}{0{,}33}\approx 4{,}5133.
Para o componente 3:
\frac{\alpha_3 x_{D,3}}{\alpha_3-\theta} =\frac{1{,}0\cdot 0{,}019368}{1{,}0-1{,}37} =0{,}019368\cdot\frac{1}{-0{,}37}\approx -0{,}052349.
Para o componente 4: x_{D,4}=0 então o termo é zero.
Somando:
\sum_{i}\frac{\alpha_i x_{D,i}}{\alpha_i-\theta} \approx 0{,}302816 + 4{,}5133 - 0{,}052349 = 4{,}763767.
Assim
R_{\min}=4{,}763767 - 1 = 3{,}763767\approx 3{,}76.
Interpretação: a razão de refluxo mínima é aproximadamente R_{\min}\approx 3{,}76 (refluxo por produto).

Passo 9

Agora encontramos o número de andares quando a razão de refluxo é R=1{,}3\,R_{\min}.
Primeiro calculemos R:
R = 1{,}3\cdot R_{\min} = 1{,}3\cdot 3{,}763767 \approx 4{,}892897.
Para relacionar R e N (número de andares), usamos a correlação empírica de Gilliland. Ela dá uma relação entre:
X=\frac{R-R_{\min}}{R+1},\qquad Y=\frac{N-N_{\min}}{N+1},
onde N é o número de pratos teóricos que queremos. A correlação empírica (na forma aproximada usual encontrada em livros-texto) é:
Y=1-\exp\!\left[\frac{1+54{,}4X}{11+117{,}2X}\cdot\left(\frac{X-1}{X}\right)\right].
Explicação curta: X mede quanto a razão de refluxo está acima do mínimo numa escala adimensional; Y mede quanto o número de pratos está acima do mínimo numa escala semelhante; a fórmula dá Y a partir de X e daí obtemos N.

Passo 10

Cálculo de X, Y e solução para N.
Calcule X:
X=\frac{R-R_{\min}}{R+1}=\frac{4{,}892897-3{,}763767}{4{,}892897+1} =\frac{1{,}12913}{5{,}892897}\approx 0{,}19167.
Aplicando a correlação de Gilliland (usar a expressão dada):
Calcule o fator dentro do exp:
\frac{1+54{,}4X}{11+117{,}2X} =\frac{1+54{,}4\cdot 0{,}19167}{11+117{,}2\cdot 0{,}19167} =\frac{1+10{,}428}{11+22{,}472}\approx\frac{11{,}428}{33{,}472}\approx 0{,}3416.
Calcule \dfrac{X-1}{X}=\dfrac{-0{,}80833}{0{,}19167}\approx -4{,}217.
Multiplicando:
\text{expo\_arg}=0{,}3416\cdot(-4{,}217)\approx -1{,}440.
Então
Y=1-\exp(-1{,}440)\approx 1-0{,}2367=0{,}7633.
Agora relacionar Y com N:
Y=\frac{N-N_{\min}}{N+1}\quad\Rightarrow\quad N = \frac{N_{\min}+Y}{1-Y}.
Substituindo N_{\min}=16{,}00 e Y=0{,}7633:
N\approx\frac{16{,}00 + 0{,}7633}{1-0{,}7633} =\frac{16{,}7633}{0{,}2367}\approx 70{,}8.
Arredondando para um número de andares teóricos (prática usual): N\approx 71 andares teóricos.
Interpretação: operar perto do refluxo mínimo (aqui só 30% acima do mínimo) costuma exigir muito mais pratos; o resultado é grande por isso.

Resposta

(a) N_{\min}\approx 16{,}0 andares teóricos.
(b) R_{\min}\approx 3{,}76.
(c) Para R=1{,}3\,R_{\min}, N\approx 71 andares teóricos.

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