A coluna AB suporta uma força centrada P de intensidade de 66 kN . Os cabos BC e BD estão esticados e impedem o movimento do ponto B no plano xz . Usando a fórmula de Euler e um coeficiente de segurança de 2,2 , e desprezando a tração nos cabos, determine o comprimento L máximo admissível. Use
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o comprimento máximo admissível
da coluna
usando a fórmula de Euler e um coeficiente de segurança
, desprezando a tração nos cabos. Dados fornecidos (retirei da figura e da tabela de dimensões):
- Carga concentrada aplicada axialmente em
: . - Módulo de elasticidade:
. - Perfil usado:
com dimensões (peguei da imagem): -
(profundidade total), -
(largura da aba), -
(espessura da alma), -
(espessura da aba), -
(altura interna da alma = ).
-
- As cordas BC e BD impedem o movimento do ponto
no plano ; o enunciado pede desprezar a tração nos cabos (logo não contribuem para rigidez axial, apenas impõem restrição de movimento em certo plano).
O que precisamos encontrar:
tal que, com fator de segurança
, a carga aplicada
não exceda a carga crítica de flambagem de Euler reduzida pelo fator
.
Passo 2
Decidir o modo de flambagem e o eixo relevante (escolha do momento de inércia e do fator de comprimento efetivo
) — explicando o raciocínio didaticamente:
- A coluna pode flambear em duas direções perpendiculares (no plano
e no plano ). As cordas BC e BD impedem deslocamentos do ponto no plano . Isso significa que a coluna está lateralmente apoiada no plano no topo, mas não está apoiada na direção perpendicular a esse plano (direção ). Portanto a direção sem contraflexão (sem apoio lateral) é a direção : é por aí que a flambagem ocorrerá (é o modo mais crítico). - Para flambagem sobre essa direção crítica escolhemos o menor momento de inércia da seção (momento de inércia fraco), que chamarei de
. - Condições de contorno (para o lado de flambagem em
): a base está presa à fundação (aproximamos como encastrada/fixada) e o topo está livre para se deslocar na direção (pois os cabos não agem nessa direção). Assim, para a flambagem no plano o topo comporta-se como extremidade livre (translação e rotação permitidas) e a outra extremidade está encastrada: condição “encastrado-livre” (ou “fixo-livre”), cujo fator de comprimento efetivo é .
Observação didática: valores comuns de— (pino-pino), (fixo-pino), (fixo-fixo), (fixo-livre). Escolhi pois não há restrição lateral no eixo no topo.
Passo 3
Calcular as propriedades da seção necessárias (vou desenvolver passo a passo para poder fazer à mão):
- Áreas (tudo em mm e depois converto unidades se preciso).
- Área da alma (web):
. - Área de cada aba (flange):
. - Área total aproximada:
(isto concorda aproximadamente com a área do perfil comercial que tem área próxima a .)
- Momento de inércia fraco
(o menor momento de inércia, que controla a flambagem):
-
Para a alma (retângulo de base
e altura , eixo neutro no centro): Calcule:(detalhe:, multiplicando pelo fator dá ~4533.) -
Para cada aba, o momento de inércia em relação ao eixo neutro vertical (passando pelo centro da seção) é basicamente o momento de inércia do retângulo da aba em seu próprio centro (uma vez que as abas estão simétricas em relação ao eixo
, não há termo de transferência por teorema dos eixos paralelos): Calcule: -
Soma total:
-
Converter
para (necessário para usar em ):
Comentário didático curto: para perfis I, o momento de inércia fraco é controlado principalmente pela dimensão da flange ao cubo em relação à direção lateral, por isso
é muito menor que
.
Passo 4
Escrever a fórmula de Euler e relacioná-la ao fator de segurança:
- Fórmula de Euler para carga crítica:
onde é o fator de comprimento efetivo e é o comprimento real da coluna. - Como o enunciado exige fator de segurança
, a carga crítica deve ser tal que Assim, isolando ,
Passo 5
Substituir os números e calcular (vou mostrar contas intermediárias para poder fazer à mão):
- Dados numéricos (converter unidades):
- Calcular
: - Calcular
: - Dividir por
:
- Logo
. Assim
Passo 6
Interpretação final e verificação rápida:
- O comprimento máximo admissível encontrado é
. - Observações didáticas e de checagem: escolhemos a flambagem no eixo fraco (menor
) porque as cordas só impedem movimento no plano . Se houvesse apoio também na direção ou se o topo estivesse rigidamente travado contra translação em , o valor de e o modo crítico mudariam e poderia ser maior. Também desprezamos efeitos de imperfeições iniciais, flambagem local, e efeitos de flambagem composta; essa é a avaliação clássica por Euler com segurança solicitada.