5.76 Determine as reações de apoio da viga para o carregamento dado quando w_{o}=2.190 \mathrm{~N} / \mathrm{m}.

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar as reações verticais de apoio da viga (no apoio em A e no apoio em C) para o carregamento indicado.
Dados extraídos da figura (peguei estes valores da imagem):
  • Distâncias: AB=2{,}4\\ \mathrm{m}, BC=3{,}6\\ \mathrm{m}, CD=0{,}6\\ \mathrm{m}. Logo AC=AB+BC=6{,}0\\ \mathrm{m} e AD=6{,}6\\ \mathrm{m}.
  • Há um momento concentrado em A: 60\\ \mathrm{kN\cdot m}.
  • O carregamento é linear (varia ao longo da viga) com intensidade no ponto A igual a 3w_0 e em D igual a w_0. A figura mostra 3w_0=6{,}570 e w_0=2{,}190.
    Observação sobre unidades: a figura e o momento usam kN e kN·m, então para consistência interpreto w_0=2{,}190\\ \mathrm{kN/m} (se o enunciado disser N/m, há apenas um fator 10^3 de diferença de unidades; o procedimento é o mesmo).
  • Objetivo: calcular R_A e R_C (reações verticais nos apoios).

Passo 2

Substituir o carregamento variável por sua resultante (força equivalente) e determinar a posição dessa resultante a partir de A.
Definições e fórmulas úteis (aulas rápidas):
  • Para uma carga distribuída linear entre duas intensidades a (em x=0) e b (em x=L), a resultante W (força total) é a área do trapézio:
W=\frac{a+b}{2}\,L.
  • A posição da resultante medida a partir da extremidade onde a intensidade vale a (ou seja, a partir de A) é dada por
\bar{x}=\frac{1}{W}\int_{0}^{L} x\,w(x)\,dx.
Fazendo a integral para w(x) linear entre a e b obtém-se a fórmula direta
\bar{x}=L\cdot\frac{a+2b}{3(a+b)}.
Explicando em palavras: essa fórmula vem de calcular o momento estático da distribuição (integral de x w(x)) e dividir pela força total W. Usei a integral porque ela é uma regra geral; o resultado acima é a forma prática pronta.
Agora aplicar aos números: tomar a=w_A=3w_0 e b=w_D=w_0, com w_0=2{,}190\\ \mathrm{kN/m} e L=AD=6{,}6\\ \mathrm{m}.
  • Calcular a e b:
a=3w_0=3\cdot 2{,}190=6{,}570\\ \mathrm{kN/m},\qquad b=w_0=2{,}190\\ \mathrm{kN/m}.
  • Força resultante:
W=\frac{a+b}{2}\,L=\frac{6{,}570+2{,}190}{2}\cdot 6{,}6 =\frac{8{,}760}{2}\cdot 6{,}6 =4{,}38\cdot 6{,}6 =28{,}908\\ \mathrm{kN}.

Passo 3

Calcular a posição da resultante a partir de A usando a fórmula do passo anterior:
\bar{x}=L\cdot\frac{a+2b}{3(a+b)} =6{,}6\cdot\frac{6{,}570+2\cdot 2{,}190}{3(6{,}570+2{,}190)}.
Calcular numericamente:
a+2b=6{,}570+4{,}380=10{,}950,\qquad a+b=8{,}760.
\bar{x}=6{,}6\cdot\frac{10{,}950}{3\cdot 8{,}760} =6{,}6\cdot\frac{10{,}950}{26{,}280} =6{,}6\cdot 0{,}416666\ldots =2{,}75\\ \mathrm{m}.
Portanto a resultante W=28{,}908\\ \mathrm{kN} atua a 2{,}75\\ \mathrm{m} de A.

Passo 4

Equilíbrios estáticos para encontrar R_A e R_C.
Escolha de sinais e convenções:
  • Reações positivas para cima.
  • Momentos positivos no sentido anti-horário.
Equações de equilíbrio (viga está assente apenas em A e C, sem forças horizontais relevantes):
  1. Soma das forças verticais zero:
R_A+R_C-W=0.
  1. Soma dos momentos em torno de A zero (escolhi centro em A para eliminar R_A da equação):
\sum M_A = 0 \quad\Rightarrow\quad R_C\cdot AC - W\cdot\bar{x} - M_{ext\\ em\\ A} = 0.
Aqui AC=6{,}0\\ \mathrm{m}, \bar{x}=2{,}75\\ \mathrm{m}, M_{ext\\ em\\ A}=60\\ \mathrm{kN\cdot m} (sinal conforme convenção; estou incluindo somatório algébrico: o momento externo em A aparece com sinal negativo se for no sentido que contraria o resto; na montagem abaixo uso a forma escalar positiva como adição no numerador).
Resolver a equação de momento para R_C:
R_C=\frac{W\bar{x}+M_{ext\\ em\\ A}}{AC} =\frac{28{,}908\cdot 2{,}75 + 60}{6{,}0}.
Fazendo as contas:
28{,}908\cdot 2{,}75 = 79{,}497\\ (\mathrm{kN\cdot m}),
79{,}497 + 60 = 139{,}497,
R_C=\frac{139{,}497}{6{,}0}=23{,}2495\\ \mathrm{kN}\approx 23{,}250\\ \mathrm{kN}.

Passo 5

Calcular R_A a partir da soma das forças verticais:
R_A = W - R_C = 28{,}908 - 23{,}2495 = 5{,}6585\\ \mathrm{kN}\approx 5{,}659\\ \mathrm{kN}.

Passo 6

Verificação rápida (cheque de consistência):
  • Soma vertical: R_A+R_C=5{,}6585+23{,}2495=28{,}908 que confere com W.
  • Momento em A: R_C\cdot 6{,}0 - W\cdot 2{,}75 - 60 \approx 0. (checa consistência numérica)
Interpretação final: a maior parte do carregamento é suportada pelo apoio C (mais próximo do centro de massa do carregamento), e A pega uma reação menor; o momento concentrado em A aumenta a reação em C.

Resposta

R_A=5{,}659\\ \mathrm{kN}
R_C=23{,}250\\ \mathrm{kN}

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