Um elemento comprimido com 3658 mm de comprimento de flambagem é feito soldando juntas duas cantoneiras de aço com 101,6 \times 76,2 \times 6,4 \mathrm{~mm}, conforme mostrado. Usando 200 GPa , determine a carga centrada admissível para esse elemento se o coeficiente de segurança requerido for 2,5.

Passo 1

O enunciado pede a carga centrada admissível para o elemento comprimido (considerando um coeficiente de segurança requerido de 2,5). Dados fornecidos no enunciado e na figura:
  • Comprimento de flambagem: L=3658\\ \mathrm{mm}.
  • Cada cantoneira tem dimensões 101,6\times76,2\times6,4\\ \mathrm{mm} (ou seja, pernas de 101,6\\ \mathrm{mm} e 76,2\\ \mathrm{mm} com espessura t=6,4\\ \mathrm{mm}).
  • Módulo de elasticidade do aço: E=200\\ \mathrm{GPa}.
  • Coeficiente de segurança pedido: N_F=2{,}5.
O que se pede:
  • Determinar a carga admissível (carga de projeto) centrada que o elemento pode suportar, usando os dados acima e aplicando o fator de segurança.
Observação (decisão de modelagem, feita aqui sem pedir mais dados): a figura mostra as duas cantoneiras soldadas formando uma seção tipo “T” com alma vertical (profundidade 101,6\\ \mathrm{mm}) e flange superior com largura total 2\times76{,}2=152{,}4\\ \mathrm{mm}, ambas com espessura t=6{,}4\\ \mathrm{mm}. Vou modelar a seção composta como a união de dois retângulos: o flange (largura b_f=152{,}4\\ \mathrm{mm}, espessura t_f=6{,}4\\ \mathrm{mm}) e a alma (largura b_s=6{,}4\\ \mathrm{mm}, altura h_s=101{,}6\\ \mathrm{mm}). Esta modelagem é a hipótese razoável para usar fórmulas simples de área e inércia e segue a geometria mostrada na figura.

Passo 2

Calcular a área total da seção, as áreas parciais e as posições dos centróides das peças usadas na modelagem (medidas a partir da base inferior da alma).
  • Área da alma (retângulo):
    A_s = b_s h_s = 6{,}4\cdot101{,}6 = 650{,}24\\ \mathrm{mm}^2.
  • Área do flange (retângulo):
    A_f = b_f t_f = 152{,}4\cdot6{,}4 = 975{,}36\\ \mathrm{mm}^2.
  • Área total:
    A = A_s + A_f = 650{,}24 + 975{,}36 = 1625{,}60\\ \mathrm{mm}^2.
  • Coordenadas y dos centróides (origem em base da alma, eixo y para cima):
    • Alma: centro em \displaystyle y_s=\frac{h_s}{2}=\frac{101{,}6}{2}=50{,}8\\ \mathrm{mm}.
    • Flange: centro em \displaystyle y_f=h_s+\frac{t_f}{2}=101{,}6+3{,}2=104{,}8\\ \mathrm{mm}.

Passo 3

Calcular a posição do centróide da seção composta (distância \bar{y} da base da alma).
  • Fórmula do centróide composto: \bar{y}=\frac{A_s y_s + A_f y_f}{A}.Substituindo: \bar{y}=\frac{650{,}24\cdot50{,}8 + 975{,}36\cdot104{,}8}{1625{,}60}.Cálculo intermediário: 650{,}24\cdot50{,}8 = 33\,032{,}192,\qquad 975{,}36\cdot104{,}8 = 102\,217{,}728.Soma e divisão: \bar{y}=\frac{135\,249{,}920}{1625{,}60}\approx83{,}244\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Calcular os momentos de inércia (segundo momento de área) da alma e do flange em relação ao eixo neutro horizontal que passa pelo centróide composto; somar usando o teorema dos eixos paralelos.
  • Fórmula para o retângulo em torno do seu eixo centroidal horizontal: I_{cent}=\dfrac{b h^3}{12}.
Para o flange:
  • primeiro o momento de inércia em seu centro: I_{f,cent}=\frac{b_f t_f^3}{12}=\frac{152{,}4\cdot6{,}4^3}{12}\approx3329{,}229\\ \mathrm{mm}^4.
  • distância entre centroides: d_f=|y_f-\bar{y}|=104{,}8-83{,}244=21{,}556\\ \mathrm{mm}.
  • termo de eixo paralelo: A_f d_f^2 = 975{,}36\cdot(21{,}556)^2 \approx 453\,210{,}778\\ \mathrm{mm}^4.
  • assim I_f = I_{f,cent}+A_f d_f^2 \approx 3329{,}229 + 453\,210{,}778 = 456\,540{,}007\\ \mathrm{mm}^4.
Para a alma:
  • momento de inércia em seu centro:
    I_{s,cent}=\frac{b_s h_s^3}{12}=\frac{6{,}4\cdot101{,}6^3}{12}\approx559\,345{,}118\\ \mathrm{mm}^4.
  • distância entre centroides: d_s=|\;y_s-\bar{y}\;|=|50{,}8-83{,}244|=32{,}444\\ \mathrm{mm}.
  • termo de eixo paralelo: A_s d_s^2 = 650{,}24\cdot(32{,}444)^2 \approx 684\,579{,}174\\ \mathrm{mm}^4.
  • assim
    I_s = I_{s,cent}+A_s d_s^2 \approx 559\,345{,}118 + 684\,579{,}174 = 1\,243\,924{,}292\\ \mathrm{mm}^4.
  • Momento de inércia total em torno do eixo horizontal centroidal:
    I_x = I_s + I_f \approx 1\,243\,924{,}292 + 456\,540{,}007 = 1\,700\,464{,}299\\ \mathrm{mm}^4.
Observação: este é o momento de inércia com respeito ao eixo horizontal; calculei também (mentalmente) o momento de inércia vertical e verifiquei que I_x é o menor neste modelo, logo a flambagem ocorrerá no sentido associado a I_x.

Passo 5

Verificar a esbeltez (usar raio de giração) para confirmar validade do uso da fórmula de Euler.
  • Raio de giração:
    r=\sqrt{\frac{I_{\min}}{A}}=\sqrt{\frac{1{,}700\,464{,}299}{1625{,}60}}\\ \mathrm{mm}.
    Calculando:
    r\approx\sqrt{1046{,}427}\approx32{,}35\\ \mathrm{mm}.
  • Esbeltez (usando K=1{,}0 — ver justificativa no passo seguinte):
    \lambda=\frac{K L}{r}=\frac{1{,}0\cdot3658}{32{,}35}\approx113{,}1.
Regra prática: para esbeltezas elevadas (valores da ordem de 100 ou mais) a flambagem elástica de Euler é apropriada como primeira aproximação. Portanto Euler é aplicável aqui.

Passo 6

Escolha do coeficiente de comprimento efetivo K e fórmula de cálculo.
  • O enunciado não especificou condições de extremidade (engastado, livre, articulado etc.). A hipótese mais comum em problemas teóricos quando não há indicação é que as extremidades estão articuladas (pinos) ou que se assume comprimento efetivo correspondente a pino-pino, portanto K=1{,}0. Vou usar K=1{,}0. (Se na prova forem dadas outras condições de apoio, substituir K e recalcular.)
  • Fórmula de Euler para carga crítica de flambagem elástica:
    P_{cr}=\frac{\pi^2 E I_{\min}}{(K L)^2}.

Passo 7

Calcular a carga crítica de Euler P_{cr} usando E em unidades compatíveis com mm e N.
  • Converter E: E=200\\ \mathrm{GPa}=200\cdot1000\\ \mathrm{N/mm}^2=200{,}000\\ \mathrm{N/mm}^2.
  • Substituir:
    P_{cr}=\frac{\pi^2\cdot200{,}000\cdot1{,}700\,464{,}299}{(1{,}0\cdot3658)^2}.
  • Cálculo numérico (apresentando o resultado):
    P_{cr}\approx250\,847{,}4\\ \mathrm{N}\approx250{,}85\\ \mathrm{kN}.

Passo 8

Obter a carga admissível dividindo a carga crítica pelo coeficiente de segurança pedido.
  • Fórmula: P_{adm}=\frac{P_{cr}}{N_F}.
  • Substituindo: P_{adm}=\frac{250\,847{,}4}{2{,}5}\approx100\,338{,}96\\ \mathrm{N}\approx100{,}34\\ \mathrm{kN}.
Interpretação: com as hipóteses feitas (seção modelada como T com espessura única e extremidades articuladas, E=200 GPa), a carga central admissível é cerca de 100{,}34\\ \mathrm{kN}. Se as condições de apoio fossem mais restritivas (por ex. engastado), K seria menor e a carga admissível aumentaria; se a seção real tiver mais material lateral (como as cantoneiras reais com canto cheio) os valores de I e A mudariam um pouco — o procedimento permanece o mesmo.

Resposta

P_{adm}\approx100{,}34\\ \mathrm{kN}

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