- Comente o efeito de uma fonte de tensão não ideal no comportamento de um filtro RLC série com saída no resistor. (Valor 0,6)
Passo 1
O enunciado pede um comentário sobre o efeito de uma fonte de tensão não ideal no comportamento de um filtro RLC série cuja saída é medida no resistor. Informações e hipóteses relevantes que vou usar (pressupostas pelo enunciado porque isso é o modelo-padrão):
- A fonte de tensão não ideal é modelada como uma fonte ideal
em série com uma resistência interna (essa é a representação usual de uma fonte real). - O filtro é um circuito série formado por um resistor
, um indutor e um capacitor , todos em série entre si; a saída do filtro é a tensão no resistor . - O objetivo é descrever qualitativamente e quantitativamente como a presença de
muda a resposta em frequência (ganho, largura de banda, fator de qualidade), a resposta no regime transitório e a potência entregue ao resistor.
Passo 2
Modelagem do circuito e expressão da função de transferência (passo-a-passo).
- Escrever a impedância total em série vista pela fonte: a resistência interna
soma-se ao resistor do filtro e às partes reativas de e . Assim a impedância total é
- A corrente no circuito é dada por (Lei de Ohm)
- A tensão de saída, que é a tensão em
, vale . Portanto a função de transferência (relação entre saída e fonte) é
Expliquei cada termo:
é a resistência interna da fonte,
é o resistor onde mede-se a saída,
é a reatância série líquida do indutor e do capacitor, e
é a frequência angular.
Passo 3
Magnitude da resposta e valor na ressonância (interpretação física simples).
- A magnitude da função de transferência é
- Em ressonância série a parte imaginária se anula, ou seja para
temos
. Então o ganho em ressonância é simplesmente
Interpretação: a resistência interna
reduz o ganho máximo no resistor; se
o ganho em ressonância pode alcançar 1 (sem atenuação), se
é comparable a
o ganho cai muito.
Passo 4
Efeito sobre o fator de qualidade
e a largura de banda.
- Para o circuito série total a resistência efetiva que determina amortecimento é
. O fator de qualidade (definição prática para série) é
- A largura de banda (definição usual
) fica
- Consequência clara: o aumento de
reduz (menos seletividade) e aumenta (banda mais larga). Ou seja, a presença da resistência interna torna o pico de ressonância mais plano e menos acentuado.
Passo 5
Deslocamento da frequência de pico e regime fortemente amortecido.
- A frequência natural não amortecida é
, que depende só de e , portanto não altera idealmente. - Porém, a frequência efetiva de oscilação amortecida (frequência de pico real quando o amortecimento não é desprezível) é
Como
diminui
,
fica ligeiramente menor que
quando o amortecimento é grande. Em resumo: para amortecimento pequeno a posição do pico é praticamente
; para amortecimento forte o pico cai e desloca-se para frequências um pouco menores.
Passo 6
Efeito no domínio do tempo (transientes).
- A constante de amortecimento (coeficiente de amortecimento) do circuito série é
- A resposta transitória (se houver excitação breve) decai com taxa proporcional a
. Assim maior implica maior , ou seja decaimento mais rápido e menos oscilações. Praticamente: aumento de deixa o circuito mais amortecido, com menos overshoot e maior rapidez para estacionar.
Passo 7
Potência entregue ao resistor e noção de casamento de impedâncias.
- Em ressonância, a tensão sobre
é . A potência média entregada a em ressonância é
- Observação de projeto: para máxima transferência de potência em ressonância (varrendo
como variável) esse é máximo quando . Portanto, se a fonte tem significativa, a escolha de afeta fortemente a potência útil; se for muito maior que , a saída será muito atenuada.
Passo 8
Exemplo numérico simples (para ver com os olhos).
- Suponha que
seja fixo e que antes . Então em ressonância . - Se
aumentar até valer exatamente , então
ou seja, a amplitude em ressonância cai para metade. Simultaneamente o
cai à metade e a largura de banda dobra. Isso mostra como um
do mesmo tamanho de
já prejudica bastante a resposta de filtro.
Passo 9
Resumo prático (o que fazer na prova e na prática)
- Modelar sempre a fonte não ideal por uma resistência série
. - Use a função de transferência
para tirar todas as conclusões quantitativas.
- Conclusões que valem na prova e em projeto:
-
reduz o ganho máximo em ressonância: . -
aumenta o amortecimento, reduz o fator de qualidade e alarga a largura de banda . - Frequência não amortecida
não depende de , mas a frequência de pico observada pode deslocar-se para baixo quando o amortecimento é grande. - No domínio do tempo,
acelera o decaimento (mais amortecimento) e reduz oscilações/transientes. - Para mínima atenuação e máxima seletividade, evitar
comparável a ; para máxima transferência de potência em ressonância poderia escolher (casamento), mas isso reduz a seletividade.
-
Resposta
A fonte não ideal (modelo: resistência interna
em série) atua como um aumento da resistência total em série
. Isso reduz o ganho máximo em ressonância segundo
, diminui o fator de qualidade
(logo reduz a seletividade) e aumenta a largura de banda
. A frequência ideal de ressonância
não muda, mas a frequência de pico observada cai ligeiramente se o amortecimento for grande. No domínio do tempo,
aumenta o amortecimento (
), fazendo os transientes decaírem mais rápido. Em prática: uma
significativa atenua a saída e “achata” o pico — para preservar ganho e selectividade, manter
muito menor que
; se o objetivo for máxima transferência de potência em ressonância, optar por casamento
.