1. Comente o efeito de uma fonte de tensão não ideal no comportamento de um filtro RLC série com saída no resistor. (Valor 0,6)

Passo 1

O enunciado pede um comentário sobre o efeito de uma fonte de tensão não ideal no comportamento de um filtro RLC série cuja saída é medida no resistor. Informações e hipóteses relevantes que vou usar (pressupostas pelo enunciado porque isso é o modelo-padrão):
  • A fonte de tensão não ideal é modelada como uma fonte ideal V_s em série com uma resistência interna R_s (essa é a representação usual de uma fonte real).
  • O filtro é um circuito série formado por um resistor R, um indutor L e um capacitor C, todos em série entre si; a saída do filtro é a tensão no resistor R.
  • O objetivo é descrever qualitativamente e quantitativamente como a presença de R_s muda a resposta em frequência (ganho, largura de banda, fator de qualidade), a resposta no regime transitório e a potência entregue ao resistor.

Passo 2

Modelagem do circuito e expressão da função de transferência (passo-a-passo).
  • Escrever a impedância total em série vista pela fonte: a resistência interna R_s soma-se ao resistor do filtro R e às partes reativas de L e C. Assim a impedância total é
Z_{\text{tot}} = R_s + R + j\bigl(\omega L - \tfrac{1}{\omega C}\bigr).
  • A corrente no circuito é dada por (Lei de Ohm)
I(\omega)=\frac{V_s(\omega)}{Z_{\text{tot}}}.
  • A tensão de saída, que é a tensão em R, vale V_R(\omega)=I(\omega)\,R. Portanto a função de transferência (relação entre saída e fonte) é
H(j\omega)=\frac{V_R(\omega)}{V_s(\omega)}=\frac{R}{R_s+R+j\bigl(\omega L-\tfrac{1}{\omega C}\bigr)}.
Expliquei cada termo: R_s é a resistência interna da fonte, R é o resistor onde mede-se a saída, j(\omega L-1/(\omega C)) é a reatância série líquida do indutor e do capacitor, e \omega é a frequência angular.

Passo 3

Magnitude da resposta e valor na ressonância (interpretação física simples).
  • A magnitude da função de transferência é
|H(j\omega)|=\frac{R}{\sqrt{(R_s+R)^2+\bigl(\omega L-\tfrac{1}{\omega C}\bigr)^2}}.
  • Em ressonância série a parte imaginária se anula, ou seja para
\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}
temos \omega_0 L-\tfrac{1}{\omega_0 C}=0. Então o ganho em ressonância é simplesmente
|H(j\omega_0)|=\frac{R}{R_s+R}.
Interpretação: a resistência interna R_s reduz o ganho máximo no resistor; se R_s=0 o ganho em ressonância pode alcançar 1 (sem atenuação), se R_s é comparable a R o ganho cai muito.

Passo 4

Efeito sobre o fator de qualidade Q e a largura de banda.
  • Para o circuito série total a resistência efetiva que determina amortecimento é R_{\text{tot}}=R+R_s. O fator de qualidade (definição prática para série) é
Q=\frac{\omega_0 L}{R_{\text{tot}}}=\frac{\omega_0 L}{R+R_s}.
  • A largura de banda (definição usual \Delta\omega=\dfrac{\omega_0}{Q}) fica
\Delta\omega=\frac{R+R_s}{L}.
  • Consequência clara: o aumento de R_s reduz Q (menos seletividade) e aumenta \Delta\omega (banda mais larga). Ou seja, a presença da resistência interna torna o pico de ressonância mais plano e menos acentuado.

Passo 5

Deslocamento da frequência de pico e regime fortemente amortecido.
  • A frequência natural não amortecida é \omega_0=1/\sqrt{LC}, que depende só de L e C, portanto R_s não altera \omega_0 idealmente.
  • Porém, a frequência efetiva de oscilação amortecida (frequência de pico real quando o amortecimento não é desprezível) é
\omega_d=\omega_0\sqrt{1-\frac{1}{(2Q)^2}}.
Como R_s diminui Q, \omega_d fica ligeiramente menor que \omega_0 quando o amortecimento é grande. Em resumo: para amortecimento pequeno a posição do pico é praticamente \omega_0; para amortecimento forte o pico cai e desloca-se para frequências um pouco menores.

Passo 6

Efeito no domínio do tempo (transientes).
  • A constante de amortecimento (coeficiente de amortecimento) do circuito série é
\alpha=\frac{R_{\text{tot}}}{2L}=\frac{R+R_s}{2L}.
  • A resposta transitória (se houver excitação breve) decai com taxa proporcional a e^{-\alpha t}. Assim R_s maior implica maior \alpha, ou seja decaimento mais rápido e menos oscilações. Praticamente: aumento de R_s deixa o circuito mais amortecido, com menos overshoot e maior rapidez para estacionar.

Passo 7

Potência entregue ao resistor e noção de casamento de impedâncias.
  • Em ressonância, a tensão sobre R é V_R=V_s\cdot\frac{R}{R+R_s}. A potência média entregada a R em ressonância é
P_R=\frac{V_R^2}{R}=V_s^2\cdot\frac{R}{(R+R_s)^2}.
  • Observação de projeto: para máxima transferência de potência em ressonância (varrendo R como variável) esse P_R é máximo quando R=R_s. Portanto, se a fonte tem R_s significativa, a escolha de R afeta fortemente a potência útil; se R_s for muito maior que R, a saída será muito atenuada.

Passo 8

Exemplo numérico simples (para ver com os olhos).
  • Suponha que R seja fixo e que antes R_s=0. Então em ressonância |H|=1.
  • Se R_s aumentar até valer exatamente R, então
|H(j\omega_0)|=\frac{R}{R+R_s}=\frac{R}{2R}=\tfrac{1}{2},
ou seja, a amplitude em ressonância cai para metade. Simultaneamente o Q cai à metade e a largura de banda dobra. Isso mostra como um R_s do mesmo tamanho de R já prejudica bastante a resposta de filtro.

Passo 9

Resumo prático (o que fazer na prova e na prática)
  • Modelar sempre a fonte não ideal por uma resistência série R_s.
  • Use a função de transferência
H(j\omega)=\frac{R}{R_s+R+j(\omega L-\tfrac{1}{\omega C})}
para tirar todas as conclusões quantitativas.
  • Conclusões que valem na prova e em projeto:
    • R_s reduz o ganho máximo em ressonância: |H(j\omega_0)|=R/(R+R_s).
    • R_s aumenta o amortecimento, reduz o fator de qualidade Q=\omega_0 L/(R+R_s) e alarga a largura de banda \Delta\omega=(R+R_s)/L.
    • Frequência não amortecida \omega_0 não depende de R_s, mas a frequência de pico observada pode deslocar-se para baixo quando o amortecimento é grande.
    • No domínio do tempo, R_s acelera o decaimento (mais amortecimento) e reduz oscilações/transientes.
    • Para mínima atenuação e máxima seletividade, evitar R_s comparável a R; para máxima transferência de potência em ressonância poderia escolher R\approx R_s (casamento), mas isso reduz a seletividade.

Resposta

A fonte não ideal (modelo: resistência interna R_s em série) atua como um aumento da resistência total em série (R_{\text{tot}}=R+R_s). Isso reduz o ganho máximo em ressonância segundo |H(j\omega_0)|=R/(R+R_s), diminui o fator de qualidade Q=\omega_0 L/(R+R_s) (logo reduz a seletividade) e aumenta a largura de banda \Delta\omega=(R+R_s)/L. A frequência ideal de ressonância \omega_0=1/\sqrt{LC} não muda, mas a frequência de pico observada cai ligeiramente se o amortecimento for grande. No domínio do tempo, R_s aumenta o amortecimento ( \alpha=(R+R_s)/(2L)), fazendo os transientes decaírem mais rápido. Em prática: uma R_s significativa atenua a saída e “achat­a” o pico — para preservar ganho e selectividade, manter R_s muito menor que R; se o objetivo for máxima transferência de potência em ressonância, optar por casamento R\approx R_s.

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