1. Descreva como calcular correntes de linha a partir de correntes de fase em uma conexão delta. (Valor 0,6)

Passo 1

O enunciado pede que eu descreva como calcular as correntes de linha a partir das correntes de fase em uma conexão \Delta (delta). Informações relevantes que eu vou usar (nenhuma outra informação foi dada pelo enunciado):
  • Há três ramos dispostos em triângulo (delta) entre os terminais de linha a, b e c.
  • Em cada ramo existe uma corrente de fase (corrente no ramo): vou chamar essas correntes de I_{ab} (ramo entre a e b), I_{bc} (ramo entre b e c) e I_{ca} (ramo entre c e a).
  • As correntes de linha são as correntes nos condutores de linha a, b e c; vou chamar de I_a, I_b, I_c.
    A tarefa: explicar passo a passo como obter I_a,I_b,I_c conhecendo I_{ab},I_{bc},I_{ca}, incluindo o caso balanceado e como fazer na prática (para prova).

Passo 2

Definição de sinais e convenções (muito importante para não errar o sinal nas contas):
  • Definir as correntes de ramo (fases) no sentido convencional ao longo do triângulo: por exemplo I_{ab} circula do nó ligado à fase a para o nó ligado à fase b através do ramo ab. Analogamente I_{bc} vai de b para c e I_{ca} vai de c para a.
  • Definir correntes de linha I_a,I_b,I_c como correntes que entram no nó do triângulo por cada condutor de linha (ou o sentido oposto se preferir; basta manter consistência).
    Anotando essas convenções fica claro como escrever as equações de conservação de corrente em cada nó do triângulo.

Passo 3

Escrever as relações básicas (lei de Kirchhoff das correntes / soma algébrica no nó) em cada nó usando as convenções acima:
  • No nó ligado ao condutor a: a corrente de linha I_a que entra no nó é a diferença entre a corrente que sai pelo ramo ab e a corrente que entra pelo ramo ca. Logo
I_a = I_{ab} - I_{ca}.
  • No nó ligado ao condutor b:
I_b = I_{bc} - I_{ab}.
  • No nó ligado ao condutor c:
I_c = I_{ca} - I_{bc}.
Explicação didática: cada corrente de linha é sempre a soma algébrica (ou diferença) de duas correntes de ramo que se encontram nesse nó. Para prova, memorize o padrão cíclico: I_a = I_{ab}-I_{ca}, e depois obter I_b,I_c por rotação (cyclic shift).

Passo 4

Como aplicar essas fórmulas quando as correntes de fase são fasores (caso mais geral, muito usado em CA):
  • Todas as correntes I_{ab},I_{bc},I_{ca} são complexas (fasores). Então a relação das diferenças é feita componente a componente (subtração de números complexos).
  • Procedimento prático: escreva cada corrente de fase como I_{xy}=|I_{xy}|\angle \varphi_{xy}, converta para forma retangular se for mais confortável, faça a subtração complexa e, se quiser, volte para forma polar para obter magnitude e ângulo da corrente de linha.
    Exemplo de fórmula genérica (já dada): \displaystyle I_a = I_{ab} - I_{ca} onde a subtração é no domínio dos fasores.

Passo 5

Caso especial muito comum: circuito delta balanceado
  • Definição de balanceamento: todos os ramos têm mesma impedância e, portanto, todas as correntes de fase têm mesma magnitude I_\Delta e defasagens relativas de 120^\circ.
  • Tomando uma referência: suponha
I_{ab}=I_\Delta\angle 0^\circ,\qquad I_{bc}=I_\Delta\angle{-120^\circ},\qquad I_{ca}=I_\Delta\angle{120^\circ}.
  • Calcule I_a usando a fórmula do passo 3:
I_a = I_{ab}-I_{ca} = I_\Delta\big(1 - e^{j120^\circ}\big).
Agora faço a conta complexa passo a passo:
e^{j120^\circ} = -\tfrac{1}{2} + j\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
1 - e^{j120^\circ} = 1 -\big(-\tfrac{1}{2} + j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big)=\tfrac{3}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Calcule a magnitude:
\big|\tfrac{3}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big|=\sqrt{\left(\tfrac{3}{2}\right)^2+\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} =\sqrt{\tfrac{9}{4}+\tfrac{3}{4}}=\sqrt{\tfrac{12}{4}}=\sqrt{3}.
E o ângulo:
\arg\!\big(\tfrac{3}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big)=\arctan\!\Big(\frac{-\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{\tfrac{3}{2}}\Big)=\arctan\!\Big(-\frac{\sqrt{3}}{3}\Big)=-30^\circ.
Portanto para o caso balanceado:
I_a=\sqrt{3}\,I_\Delta\angle{-30^\circ}.
Pelos mesmos raciocínios cíclicos:
I_b=\sqrt{3}\,I_\Delta\angle{-150^\circ},\qquad I_c=\sqrt{3}\,I_\Delta\angle{90^\circ},
ou, em módulo/defasagem relativo, cada corrente de linha tem magnitude \sqrt{3} vezes a corrente de fase e está defasada -30^\circ em relação à corrente de fase do ramo que sai diretamente do nó correspondente (convenções de sinais dependem da referência).

Passo 6

Exemplo numérico rápido (para fixar):
  • Se em delta balanceado I_\Delta=10\angle 0^\circ\\ \text{A} para I_{ab} como referência, então
I_a=\sqrt{3}\cdot 10\angle{-30^\circ}=17{,}32\angle{-30^\circ}\\ \text{A}.
Procedimento na prova: calcular a diferença fasorial conforme Passo 3 e, se for balanceado, usar a regra rápida \sqrt{3} e -30^\circ.

Passo 7

Resumo prático (dicas de prova e erro comum):
  • Sempre defina a direção das correntes de ramo e das correntes de linha antes de escrever as equações.
  • Fórmula básica e universal (válida para balanceado ou não):
\boxed{\,I_a = I_{ab} - I_{ca},\qquad I_b = I_{bc} - I_{ab},\qquad I_c = I_{ca} - I_{bc}\,}
onde a subtração é de fasores (números complexos).
  • Para delta balanceado: memorize a identidade rápida
\boxed{\,|I_L|=\sqrt{3}\,|I_{ph}|\quad\text{e}\quad I_L= \sqrt{3}\,I_{ph}\angle{-30^\circ}\,}
(adaptar o sinal do ângulo conforme a referência escolhida).
  • Se as correntes de fase estiverem dadas em forma polar, para subtrair converta para retangular ou use a decomposição exponencial; para prova, fazer a conversão e subtração passo a passo é seguro e aceitável.

Resposta

I_a = I_{ab} - I_{ca}
I_b = I_{bc} - I_{ab}
I_c = I_{ca} - I_{bc}
(No caso balanceado: \;I_L=\sqrt{3}\,I_{ph}\angle{-30^\circ}.)

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