1. A tensão \bar{V}_{C A} em um circuito trifásico equilibrado com sequência negativa é 240 \angle-40^{\circ} V. Calcule \bar{V}_{A N}, \bar{V}_{C N}, \bar{V}_{A B}, \bar{V}_{B C}. (Valor 0,8)

Passo 1

O enunciado dá: a tensão de linha a linha \bar{V}_{CA} em um sistema trifásico equilibrado com sequência negativa é \bar{V}_{CA}=240\angle -40^\circ\\ \text{V}. Pede-se calcular:
  • \bar{V}_{AN},
  • \bar{V}_{CN},
  • \bar{V}_{AB},
  • \bar{V}_{BC}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Sistema equilibrado: todas as tensões de fase têm mesma magnitude V_{ph} e ângulos defasados regularmente.
  • Sequência negativa: as fases giram no sentido contrário ao da sequência A→B→C positiva; em termos de ângulos, se \bar{V}_{AN}=V_{ph}\angle\alpha, então
    \bar{V}_{BN}=V_{ph}\angle(\alpha+120^\circ) e \bar{V}_{CN}=V_{ph}\angle(\alpha+240^\circ).
  • Relação entre tensões de linha e de fase em sistema equilibrado será usada.

Passo 2

Conceito necessário (explicado de forma direta):
  • Em um sistema equilibrado, a tensão de linha entre duas fases X e Y é \bar{V}_{XY}=\bar{V}_{XN}-\bar{V}_{YN}.
  • Para sequência negativa (como dito acima) podemos escrever as fases como \bar{V}_{AN}=V_{ph}\angle\alpha,\qquad \bar{V}_{BN}=V_{ph}\angle(\alpha+120^\circ),\qquad \bar{V}_{CN}=V_{ph}\angle(\alpha+240^\circ).
  • Vamos deduzir a relação entre magnitude e ângulo de uma tensão de linha e da tensão de fase para sequência negativa, que é o que permite passar de \bar{V}_{CA} para V_{ph} e \alpha.

Passo 3

Dedução útil (mostrar por que aparece fator \sqrt{3} e deslocamento de 30^\circ):
Calculemos, por exemplo, \bar{V}_{AB}=\bar{V}_{AN}-\bar{V}_{BN}. Substituindo as formas:
\bar{V}_{AB}=V_{ph}\angle\alpha - V_{ph}\angle(\alpha+120^\circ)=V_{ph}e^{j\alpha}\bigl(1-e^{j120^\circ}\bigr).
Avaliaremos o fator complexo 1-e^{j120^\circ}. Usando e^{j120^\circ}=\cos120^\circ+j\sin120^\circ=-\tfrac{1}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2},
1-e^{j120^\circ}=1-(-\tfrac{1}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2})=\tfrac{3}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
A magnitude desse número é
\left|\tfrac{3}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right|=\sqrt{\left(\tfrac{3}{2}\right)^2+\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\sqrt{\tfrac{9}{4}+\tfrac{3}{4}}=\sqrt{3},
e seu ângulo é
\arg\!\left(\tfrac{3}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)= -30^\circ.
Portanto
1-e^{j120^\circ}=\sqrt{3}\angle -30^\circ.
Substituindo de volta:
\bar{V}_{AB}=V_{ph}e^{j\alpha}\cdot\sqrt{3}\angle -30^\circ=\sqrt{3}V_{ph}\angle(\alpha-30^\circ).
Isto mostra a regra prática para sequência negativa:
  • magnitude da tensão de linha \;|\bar{V}_{XY}|=\sqrt{3}\,V_{ph},
  • ângulo \;\arg(\bar{V}_{XY})=\arg(\bar{V}_{XN})-30^\circ.

Passo 4

Aplicar a regra ao dado \bar{V}_{CA}. Pela regra (substituindo X=C e Y=A):
\bar{V}_{CA}=\sqrt{3}\,V_{ph}\angle(\theta_C-30^\circ),
onde \theta_C é o ângulo da fase C. Mas \theta_C=\alpha+240^\circ (porque sequência negativa). Logo
\bar{V}_{CA}=\sqrt{3}\,V_{ph}\angle(\alpha+240^\circ-30^\circ)=\sqrt{3}\,V_{ph}\angle(\alpha+210^\circ).
Como \bar{V}_{CA}=240\angle -40^\circ, igualamos magnitude e ângulo:
  • Magnitude: \sqrt{3}\,V_{ph}=240\quad\Rightarrow\quad V_{ph}=\frac{240}{\sqrt{3}}=80\sqrt{3}\\ \text{V}.
  • Ângulo: \alpha+210^\circ\equiv -40^\circ\pmod{360^\circ}.Resolvendo (somando 360^\circ quando necessário): \alpha = -40^\circ-210^\circ = -250^\circ \equiv 110^\circ.
Portanto \alpha=110^\circ e V_{ph}=80\sqrt{3}\\ \text{V}.

Passo 5

Agora escrevemos as tensões de fase buscadas:
\bar{V}_{AN}=V_{ph}\angle\alpha=80\sqrt{3}\angle 110^\circ\\ \text{V}.
\bar{V}_{CN}=V_{ph}\angle(\alpha+240^\circ)=80\sqrt{3}\angle(110^\circ+240^\circ)=80\sqrt{3}\angle 350^\circ.
Observação: 350^\circ é equivalente a -10^\circ, então pode-se também escrever \bar{V}_{CN}=80\sqrt{3}\angle -10^\circ\\ \text{V}.

Passo 6

Calcular as tensões de linha pedidas usando a fórmula de sequência negativa obtida no Passo 3:
  • \bar{V}_{AB}=\sqrt{3}V_{ph}\angle(\theta_A-30^\circ) com \theta_A=\alpha=110^\circ: \bar{V}_{AB}=\sqrt{3}\cdot 80\sqrt{3}\angle(110^\circ-30^\circ)=240\angle 80^\circ\\ \text{V}.
  • \bar{V}_{BC}=\sqrt{3}V_{ph}\angle(\theta_B-30^\circ) com \theta_B=\alpha+120^\circ=230^\circ: \bar{V}_{BC}=\sqrt{3}\cdot 80\sqrt{3}\angle(230^\circ-30^\circ)=240\angle 200^\circ\\ \text{V}.
(Verificação rápida de consistência: as tensões de linha \bar{V}_{AB},\bar{V}_{BC},\bar{V}_{CA} têm mesma magnitude 240\\ \text{V} e defasagens de 120^\circ entre si, e \bar{V}_{CA} fornecida coincide com 240\angle -40^\circ.)

Resposta

\bar{V}_{AN}=80\sqrt{3}\angle 110^\circ\\ \text{V}
\bar{V}_{CN}=80\sqrt{3}\angle -10^\circ\\ \text{V}
\bar{V}_{AB}=240\angle 80^\circ\\ \text{V}
\bar{V}_{BC}=240\angle 200^\circ\\ \text{V}

Exercícios relacionados