Uma comissão formada por 3 homens e 3 mulheres deve ser escolhida de um grupo de 8 homens e 5 mulheres.
a Quantas são as possibilidades para formar uma comissão?
b Qual seria a resposta caso um dos homens recuse participar da comissão se nela estivesse determinada mulher?
a Quantas são as possibilidades para formar uma comissão?
b Qual seria a resposta caso um dos homens recuse participar da comissão se nela estivesse determinada mulher?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há um grupo com
homens e mulheres. - Deve-se escolher uma comissão formada por
homens e mulheres.
O enunciado pede duas coisas:
(a) Quantas são as possibilidades para formar a comissão sem restrições?
(b) Quantas seriam as possibilidades se um homem específico recusasse participar da comissão caso uma mulher específica estivesse nela? (ou seja, não são permitidas comissões que contenham simultaneamente esse homem e essa mulher).
(a) Quantas são as possibilidades para formar a comissão sem restrições?
(b) Quantas seriam as possibilidades se um homem específico recusasse participar da comissão caso uma mulher específica estivesse nela? (ou seja, não são permitidas comissões que contenham simultaneamente esse homem e essa mulher).
Passo 2
Vamos entender a ferramenta básica que vamos usar: combinação.
Quando escolhemos um subconjunto de elementos de um conjunto com
elementos e a ordem dos escolhidos não importa, o número de maneiras é dado pelo coeficiente binomial
Quando escolhemos um subconjunto de
onde
(lê‑se “
fatorial”) é o produto
.
Exemplo prático sem grandes cálculos: para escolher homens entre
usamos
. Em vez de calcular
e dividir, simplifica-se cancelando fatores:
Exemplo prático sem grandes cálculos: para escolher
A mesma ideia para as mulheres:
.
Também usamos a regra do produto: se uma escolha é composta por duas decisões independentes (a escolha dos homens e a das mulheres), o número total é o produto dos números de possibilidades de cada decisão.
Passo 3
Aplicando isso ao item (a):
- Número de maneiras de escolher
homens dentre : . - Número de maneiras de escolher
mulheres dentre : .
Pelo princípio multiplicativo, o total de comissões possíveis é
Passo 4
Agora o item (b). Interpretação da restrição: há um homem (chamemos‑o de
) e uma mulher (chamemos‑na de
) tais que \emph{não} se permite uma comissão que contenha simultaneamente
e
. Ou seja, todas as comissões que tenham os dois juntos são proibidas.
Método escolhido (simples e seguro): contar todas as comissões sem restrição e subtrair aquelas que violam a condição (isto é, aquelas que contêm ambos e
). Como alternativa de verificação, também podemos contar diretamente por casos (quando
está fora e quando
está dentro com
excluído) — farei as duas formas para confirmar o resultado.
Método escolhido (simples e seguro): contar todas as comissões sem restrição e subtrair aquelas que violam a condição (isto é, aquelas que contêm ambos
Passo 5
Contando quantas comissões são proibidas (contêm ambos
e
):
- Se
está na comissão, faltam escolher mulheres entre as restantes : . - Se
está na comissão, faltam escolher homens entre os restantes : .
Como escolhas de homens e mulheres são independentes, o número de comissões contendo ambos é
Passo 6
Subtraindo as proibidas do total (resultado do item (a)):
Verificação por contagem direta por casos:
- Caso 1:
NÃO está na comissão. Então escolhemos mulheres entre as restantes: , e homens entre : . Total deste caso: . - Caso 2:
está na comissão. Então NÃO pode estar. Escolhemos mulheres entre as restantes: , e escolhemos homens entre os homens restantes (excluindo ): . Total deste caso: .
Somando os casos:, que bate com o cálculo por subtração.
Passo 7
Resumo final: (a) sem restrição são
comissões; (b) com a restrição dada são
comissões. Força aí — é coisa de contar direitinho, e agora dá pra fazer isso na prova sem pânico!
Resposta
(a)
(b)
(b)