Quantos são os anagramas da palavra TÁRTARA?

Passo 1

O enunciado pergunta quantos são os anagramas da palavra TÁRTARA. As informações dadas (contadas diretamente na palavra) são:
  • A palavra tem 7 letras no total.
  • As letras aparecem com as seguintes multiplicidades:
    • T: 2 vezes.
    • R: 2 vezes.
    • A: 2 vezes.
    • ÁÁ: 1 vez.

Passo 2

Vamos entender a ideia básica por trás do problema (a fórmula que usamos). Se tivéssemos n objetos todos distintos, o número de maneiras de arrumá-los em sequência é n! (lê‑se “ n fatorial”), onde
n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot1.
Aqui, porém, há repetições: trocar duas letras idênticas não gera um anagrama novo. Para corrigir isso dividimos por n_1!n_2!\cdots n_k!, onde cada n_i é a quantidade de vezes que uma letra repetida aparece. Assim a fórmula geral é
\frac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots n_k!},
onde n é o total de letras e os n_i são as multiplicidades das letras repetidas.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: n=7 e as multiplicidades são 2,2,2,1 (para T,R,A,ÁÁ respectivamente). Logo o número de anagramas é
\frac{7!}{2!\,2!\,2!\,1!}.

Passo 4

Calcular 7!. Expandindo:
7! = 7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 5040.

Passo 5

Calcular o denominador e dividir. Temos
2!\,2!\,2!\,1! = 2\cdot2\cdot2\cdot1 = 8.
Portanto
\frac{7!}{2!\,2!\,2!\,1!} = \frac{5040}{8}.
Fazendo a divisão passo a passo:
\frac{5040}{2}=2520,\qquad \frac{2520}{2}=1260,\qquad \frac{1260}{2}=630.
Logo o resultado é 630.

Passo 6

(Interpretação alternativa — ajuda a fixar) Outra maneira de ver: escolhe‑se primeiro as posições das letras T entre as 7 posições, depois as posições de R nas restantes, depois as de A. Isso dá
\binom{7}{2}\cdot\binom{5}{2}\cdot\binom{3}{2}.
Calculando:
\binom{7}{2}=\frac{7\cdot6}{2}=21,\quad \binom{5}{2}=10,\quad \binom{3}{2}=3,
e 21\cdot10\cdot3=630, coincidente com o resultado anterior. Esse raciocínio é equivalente à fórmula do passo 2.

Resposta

630

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