Uma companhia de seguros classifica os seus segurados em 2 classes distintas, aqueles que são sujeitos a acidentes e aqueles que não são. Segundo os dados dessa companhia:
  • 20 \% das pessoas são sujeitas a acidentes.
  • Pessoas sujeitas a acidentes tem uma probabilidade de 15 \% de sofrer um acidente em um período de um ano.
  • Aquelas que não são sujeitas a acidentes tem uma probabilidade de 5 \% de sofrer um acidente em um período de um ano.
    (a) Qual a probabilidade que um novo segurado sofra um acidente no seu primeiro ano?
    (b) Se um novo segurado sofrer um acidente no seu primeiro ano, qual é a probabilidade que ele seja sujeito a acidentes?

Passo 1

Resumindo o enunciado, vamos chamar
C = “segurado sujeito a acidentes” e
C^c = “segurado não sujeito a acidentes”.
Também seja A = “ocorre um acidente no primeiro ano”.
Os dados são:
P\text{(C)}=0{,}20,\quad P(C^c)=0{,}80,
P(A\mid C)=0{,}15,\quad P(A\mid C^c)=0{,}05.
(a) pede P(A) e (b) pede P(C\mid A).

Passo 2

Para (a) usamos a fórmula da probabilidade total:
P(A) = P\text{(C)}\,P(A\mid C) + P(C^c)\,P(A\mid C^c) = 0{,}20 \times 0{,}15 + 0{,}80 \times 0{,}05 = 0{,}03 + 0{,}04 = 0{,}07.

Passo 3

Para (b) aplicamos o teorema de Bayes:
P(C\mid A) = \frac{P(C\cap A)}{P(A)} = \frac{P\text{(C)}\,P(A\mid C)}{P(A)} = \frac{0{,}20 \times 0{,}15}{0{,}07} = \frac{0{,}03}{0{,}07} \approx 0{,}4286.

Resposta

(a) P(A)=0{,}07, isto é, 7\%.
(b) P(C\mid A)\approx0{,}4286, isto é, cerca de 42{,}86\%.

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