O controle de qualidade de uma fábrica de parafusos fez 3 hipóteses a respeito da qualidade de seu produto
H1 5% dos parafusos fabricados são defeituosos
H2 10 \% dos parafusos fabricados são defeituosos
H3 15% dos parafusos fabricados são defeituosos
Na ausência de maiores informações essas hipóteses foram consideradas igualmente plausíveis, de forma que o controle de qualidade atribuiu uma probabilidade inicial de 1 / 3 para cada uma delas.
Após examinar um pequeno lote com 20 parafusos, foi constatado que 2 dos parafusos eram defeituosos. A luz dessa nova informação, como devemos atualizar as probabilidades que as diferentes hipóteses H 1, H 2 e H3 estejam corretas?

Passo 1

O enunciado nos dá três hipóteses sobre a proporção de parafusos defeituosos:
\,H_1\colon p=0,05, \,H_2\colon p=0,10 e \,H_3\colon p=0,15.
As priors são iguais: P(H_i)=\tfrac{1}{3}.
Observei um lote de n=20 parafusos e encontrei k=2 defeituosos.
O conteúdo usado será o Teorema de Bayes e a distribuição binomial para calcular as verossimilhanças P(D\mid H_i).

Passo 2

Pelo Teorema de Bayes, a posteriori de cada hipótese é
P(H_i\mid D) =\frac{P(H_i)\,P(D\mid H_i)}{\displaystyle\sum_{j=1}^{3}P(H_j)\,P(D\mid H_j)},
onde D é o evento “ k=2 defeituosos em n=20”.
A verossimilhança binomial é
P(D\mid H_i) =\binom{20}{2}\,p_i^{2}\,(1-p_i)^{18}.

Passo 3

Calculemos \binom{20}{2}=190 e cada verossimilhança:
Para H_1 ( p_1=0,05):
L_1 =190\,(0,05)^{2}\,(0,95)^{18} \approx0,1885.
Para H_2 ( p_2=0,10):
L_2 =190\,(0,10)^{2}\,(0,90)^{18} \approx0,2850.
Para H_3 ( p_3=0,15):
L_3 =190\,(0,15)^{2}\,(0,85)^{18} \approx0,2293.

Passo 4

O denominador (evidência) é
\sum_{j=1}^{3}P(H_j)\,L_j =\tfrac{1}{3}(L_1+L_2+L_3) \approx\tfrac{1}{3}(0,1885+0,2850+0,2293) \approx0,2343.

Passo 5

As probabilidades a posteriori ficam:
P(H_1\mid D) =\frac{\tfrac13\,L_1}{0,2343} \approx0,268, \quad P(H_2\mid D) \approx0,405, \quad P(H_3\mid D) \approx0,326.

Resposta

P(H_1\mid D)\approx0,268
P(H_2\mid D)\approx0,405
P(H_3\mid D)\approx0,326

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