Comparação de Destilação Diferencial e Flash. Uma mistura de 100 kg mol que contém 60 \% \mathrm{~mol} de n-pentano (A) e 40 \mathrm{~mol} \% de n-heptano (B) é vaporizada a uma pressão de 101,32 \mathrm{kPa} em condições diferenciais até 40 kg mol serem destilados. Use dados de equilíbrio do Exercício 1.
Qual é a composição média do vapor total destilado e a composição do líquido restante?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. A composição média do vapor total destilado (ou seja, a fração molar média de n-pentano no destilado total), que vou chamar de \bar y_A.
  2. A composição do líquido restante após a operação diferencial (ou seja, a fração molar de n-pentano no líquido final), que vou chamar de x_{A,f}.
Dados fornecidos no enunciado:
  • Quantidade inicial total: 100 kg·mol (vou chamar de W_0=100 kmol).
  • Composição inicial do líquido: x_{A,0}=0{,}60 (n-pentano), x_{B,0}=0{,}40 (n-heptano).
  • Pressão do processo: P=101{,}32\\ \mathrm{kPa}.
  • Quantidade total destilada (vapor removido): D=40 kmol.
  • Logo, quantidade de líquido restante: W_f=W_0-D=60 kmol.
Informação importante que NÃO foi dada (e que é essencial):
  • Os dados de equilíbrio vapor–líquido necessários (por exemplo, pressões de vapor saturado p_A^{sat}(T) e p_B^{sat}(T) ou constantes K_i como função de T ou tabela y vs x). O enunciado diz “Use dados de equilíbrio do Exercício 1”, mas você não me enviou os dados desse Exercício 1. Sem esses dados não é possível obter valores numéricos para x_{A,f} e \bar y_A.

Passo 2

Conceito físico e modelo para destilação diferencial (explicando tudo passo a passo, como num amigo te explicando com calma)
Na destilação diferencial (ou destilação por batelada diferencial), assumimos que em cada passo infinitesimal o líquido remanescente está em equilíbrio com o vapor que é gerado e retirado imediatamente. Ou seja, ao retirar um pequeno elemento de vapor, esse vapor está em equilíbrio com o líquido que ficou.
Defino variáveis (com explicação):
  • W = quantidade de líquido restante (kmol) — função que diminui conforme destilamos.
  • x_A = fração molar de n-pentano no líquido naquele instante.
  • y_A = fração molar de n-pentano no vapor em equilíbrio com o líquido de composição x_A.
  • dW = variação infinitesimal de W (negativa quando se destila).
  • dD = variação infinitesimal do destilado (positiva), com dD = -dW.
Escrevendo balanço diferencial de componente A (n-pentano):
  • A quantidade de A no líquido varia: d(W x_A).
  • Essa variação é igual à perda pela saída de vapor: -y_A\,dD.
Em forma diferencial:
d(W x_A) = -y_A\,dD.
Como dD = -dW, substituo:
d(W x_A) = y_A\,dW.
Expandindo o lado esquerdo:
W\,dx_A + x_A\,dW = y_A\,dW.
Isolando W\,dx_A:
W\,dx_A = (y_A - x_A)\,dW.
Passo para uma forma integrável (divido por W e reordeno):
\frac{dW}{W} = \frac{dx_A}{y_A - x_A}.
Agora integro entre as condições inicial e final. Integrando de W_0 para W_f e de x_{A,0} para x_{A,f}:
\int_{W_0}^{W_f} \frac{dW}{W} = \int_{x_{A,0}}^{x_{A,f}} \frac{dx_A}{y_A - x_A}.
Isso dá a forma usual da equação de Rayleigh (escrita de forma prática):
\ln\frac{W_0}{W_f} = \int_{x_{A,f}}^{x_{A,0}} \frac{dx_A}{y_A(x_A) - x_A}.
Comentário sobre sinais e por que essa forma é útil:
  • À esquerda temos um número conhecido: \ln(W_0/W_f) — no nosso caso \ln(100/60).
  • À direita está uma integral em função de x_A envolvendo y_A(x_A), que depende da relação de equilíbrio entre vapor e líquido (é aí que entram os dados do Exercício 1).

Passo 3

Expressão de y_A em função de x_A (modelo de equilíbrio)
Sob a hipótese de mistura ideal e usando a Lei de Raoult, a pressão parcial de A é p_A = x_A\,p_A^{sat}(T) e de B p_B = x_B\,p_B^{sat}(T). A pressão total é P = p_A + p_B, que aqui é fixada em 101{,}32\\ \mathrm{kPa}. A fração molar de A no vapor em equilíbrio é:
y_A = \frac{p_A}{P} = \frac{x_A\,p_A^{sat}(T)}{x_A\,p_A^{sat}(T) + (1 - x_A)\,p_B^{sat}(T)}.
Observações importantes:
  • Aqui p_i^{sat}(T) depende da temperatura T, e a temperatura de ebulição de mistura muda conforme x_A porque a pressão é fixa. Portanto T é função de x_A: T=T(x_A).
  • Alternativamente, se lhe forem fornecidos \emph{K-values} (constantes de equilíbrio) como K_i(T)=p_i^{sat}(T)/P, pode-se escrever
y_A(x_A) = \frac{K_A(T)\,x_A}{K_A(T)\,x_A + K_B(T)\,(1-x_A)}.
  • Em resumo: para avaliar y_A(x_A) numericamente é indispensável ter os dados de equilíbrio (por exemplo constantes de Antoine para cada componente ou uma tabela p_i^{sat} vs T, ou tabela direta y vs x a P).

Passo 4

Aplicando os valores conhecidos na equação de Rayleigh (montagem do problema numérico)
Substituo W_0=100 e W_f=60 na equação:
\ln\frac{100}{60} = \int_{x_{A,f}}^{0{,}60} \frac{dx_A}{y_A(x_A) - x_A}.
Calculo o lado esquerdo (número conhecido):
\ln\frac{100}{60} = \ln\frac{5}{3} \approx 0{,}5108.
Logo a equação a resolver numericamente é
\int_{x_{A,f}}^{0{,}60} \frac{dx_A}{y_A(x_A) - x_A} = 0{,}5108.
Essa equação determina implicitamente x_{A,f} (a composição final do líquido). Repare: \,y_A(x_A) é necessária para avaliar a integral.

Passo 5

Como resolver numericamente na prática (algoritmo passo a passo que você poderia aplicar na prova ou em casa)
  1. Obtenha os dados de equilíbrio do Exercício 1 (por exemplo, as constantes de Antoine para n-pentano e n-heptano).
  2. Para um palpite de x_{A,f} (chute inicial), faça:
    a. Monte uma malha de x_A entre x_{A,f} e x_{A,0}=0{,}60.
    b. Para cada ponto x_A da malha, determine a temperatura de equilíbrio T tal que x_A p_A^{sat}(T) + (1-x_A) p_B^{sat}(T) = P. (Isto exige resolver para T em cada x_A porque a soma das pressões parciais deve igualar P.)
    c. Calcule y_A(x_A) = x_A p_A^{sat}(T) / P.
    d. Avalie a integral \int_{x_{A,f}}^{0{,}60} \frac{dx_A}{y_A(x_A) - x_A} numericamente (por exemplo usando o método dos trapézios ou Simpson).
  3. Compare o valor da integral com 0{,}5108. Se for maior, ajuste x_{A,f} (por exemplo usando bissecção ou método de Newton) até que a igualdade seja satisfeita com a precisão desejada.
  4. O valor obtido é x_{A,f}.
Dicas práticas:
  • A etapa 2b (achar T para cada x_A) é a parte que precisa de dados de equilíbrio (por isso sem o Exercício 1 não andamos).
  • Se os dados do Exercício 1 já fornecerem diretamente y_A como função de x_A a P, então basta interpolar esses dados e integrar.

Passo 6

Cálculo da composição média do vapor total destilado (fórmula e interpretação)
Uma vez encontrado x_{A,f}, a quantidade de A no líquido final é W_f x_{A,f}. A quantidade inicial de A é W_0 x_{A,0}. Assim a quantidade de A que saiu no destilado é:
\text{A}_\text{destilada} = W_0 x_{A,0} - W_f x_{A,f}.
A composição média em mol da corrente destilada (fração molar média de A no destilado total) é:
\bar y_A = \frac{W_0 x_{A,0} - W_f x_{A,f}}{D},
onde D=W_0-W_f=40 kmol.
Explicando em palavras: é a quantidade total de A removida dividida pela quantidade total de vapor removido.

Passo 7

Breve comparação com a solução por flash simples (útil para entender a diferença entre os processos)
Se, em vez de vaporizar diferencialmente, o sistema fosse submetido a um único flash (evaporando instantaneamente 40\% do total), o método é distinto: você resolveria balanços de massa com a relação de equilíbrio y_A = K_A x_A (onde K_A viria dos dados de equilíbrio a P e à temperatura de flash) e as equações:
F z_A = V y_A + L x_A
com F=100, z_A=0{,}60, V=40, L=60. Substituindo y_A=K_A x_A
z_A = x_A \frac{V K_A + L}{F},
portanto
x_A = \frac{F z_A}{V K_A + L},\qquad y_A = K_A x_A.
Novamente, para calcular numericamente é necessário o valor de K_A (ou dados de equilíbrio). A diferença qualitativa é que o flash dá uma composição única do vapor (e do líquido) em equilíbrio com a mistura inicial, enquanto a destilação diferencial produz um destilado cuja composição varia ao longo do tempo; por isso precisamos calcular uma composição média \bar y_A para comparar.

Passo 8

Resumo do que é preciso para obter os números finais e oferta de ajuda prática
  • Para obter x_{A,f} e \bar y_A numericament e é obrigatório dispor dos dados de equilíbrio do Exercício 1: por exemplo, constantes de Antoine para n-pentano e n-heptano (ou uma tabela p_i^{sat}(T)) ou uma tabela direta de y vs x a P=101{,}32\\ \mathrm{kPa}.
  • Se você me enviar os dados do Exercício 1 (por exemplo os coeficientes de Antoine de cada componente ou uma tabela de equilíbrio), eu faço os cálculos numéricos passo a passo, mostrando a integração e o método numérico, e te dou x_{A,f} e \bar y_A com todas as contas detalhadas.
Força aí — você já tem metade do problema organizado, falta só a tabela/constantes do Exercício 1 que eu preciso para terminar os cálculos. Manda esses dados que eu preparo a solução numérica explicada e “mastigada”.

Resposta

Não é possível calcular numericamente \bar y_A e x_{A,f} sem os dados de equilíbrio do Exercício 1 (por exemplo p_i^{sat}(T) ou constantes de Antoine / valores de K_i).

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