Comparação de Destilação Diferencial e Flash. Uma mistura de 100 kg mol que contém
de n-pentano (A) e
de n-heptano (B) é vaporizada a uma pressão de
em condições diferenciais até 40 kg mol serem destilados. Use dados de equilíbrio do Exercício 1.
Qual é a composição média do vapor total destilado e a composição do líquido restante?
Qual é a composição média do vapor total destilado e a composição do líquido restante?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- A composição média do vapor total destilado (ou seja, a fração molar média de n-pentano no destilado total), que vou chamar de
. - A composição do líquido restante após a operação diferencial (ou seja, a fração molar de n-pentano no líquido final), que vou chamar de
.
Dados fornecidos no enunciado:
- Quantidade inicial total:
kg·mol (vou chamar de kmol). - Composição inicial do líquido:
(n-pentano), (n-heptano). - Pressão do processo:
. - Quantidade total destilada (vapor removido):
kmol. - Logo, quantidade de líquido restante:
kmol.
Informação importante que NÃO foi dada (e que é essencial):
- Os dados de equilíbrio vapor–líquido necessários (por exemplo, pressões de vapor saturado
e ou constantes como função de ou tabela vs ). O enunciado diz “Use dados de equilíbrio do Exercício 1”, mas você não me enviou os dados desse Exercício 1. Sem esses dados não é possível obter valores numéricos para e .
Passo 2
Conceito físico e modelo para destilação diferencial (explicando tudo passo a passo, como num amigo te explicando com calma)
Na destilação diferencial (ou destilação por batelada diferencial), assumimos que em cada passo infinitesimal o líquido remanescente está em equilíbrio com o vapor que é gerado e retirado imediatamente. Ou seja, ao retirar um pequeno elemento de vapor, esse vapor está em equilíbrio com o líquido que ficou.
Defino variáveis (com explicação):
-
= quantidade de líquido restante (kmol) — função que diminui conforme destilamos. -
= fração molar de n-pentano no líquido naquele instante. -
= fração molar de n-pentano no vapor em equilíbrio com o líquido de composição . -
= variação infinitesimal de (negativa quando se destila). -
= variação infinitesimal do destilado (positiva), com .
Escrevendo balanço diferencial de componente A (n-pentano):
- A quantidade de A no líquido varia:
. - Essa variação é igual à perda pela saída de vapor:
.
Em forma diferencial:
Como
, substituo:
Expandindo o lado esquerdo:
Isolando
:
Passo para uma forma integrável (divido por
e reordeno):
Agora integro entre as condições inicial e final. Integrando de
para
e de
para
:
Isso dá a forma usual da equação de Rayleigh (escrita de forma prática):
Comentário sobre sinais e por que essa forma é útil:
- À esquerda temos um número conhecido:
— no nosso caso . - À direita está uma integral em função de
envolvendo , que depende da relação de equilíbrio entre vapor e líquido (é aí que entram os dados do Exercício 1).
Passo 3
Expressão de
em função de
(modelo de equilíbrio)
Sob a hipótese de mistura ideal e usando a Lei de Raoult, a pressão parcial de A é
e de B
. A pressão total é
, que aqui é fixada em
. A fração molar de A no vapor em equilíbrio é:
Observações importantes:
- Aqui
depende da temperatura , e a temperatura de ebulição de mistura muda conforme porque a pressão é fixa. Portanto é função de : . - Alternativamente, se lhe forem fornecidos \emph{K-values} (constantes de equilíbrio) como
, pode-se escrever
- Em resumo: para avaliar
numericamente é indispensável ter os dados de equilíbrio (por exemplo constantes de Antoine para cada componente ou uma tabela vs , ou tabela direta vs a ).
Passo 4
Aplicando os valores conhecidos na equação de Rayleigh (montagem do problema numérico)
Substituo
e
na equação:
Calculo o lado esquerdo (número conhecido):
Logo a equação a resolver numericamente é
Essa equação determina implicitamente
(a composição final do líquido). Repare:
é necessária para avaliar a integral.
Passo 5
Como resolver numericamente na prática (algoritmo passo a passo que você poderia aplicar na prova ou em casa)
- Obtenha os dados de equilíbrio do Exercício 1 (por exemplo, as constantes de Antoine para n-pentano e n-heptano).
- Para um palpite de
(chute inicial), faça:
a. Monte uma malha deentre e .
b. Para cada pontoda malha, determine a temperatura de equilíbrio tal que . (Isto exige resolver para em cada porque a soma das pressões parciais deve igualar .)
c. Calcule.
d. Avalie a integralnumericamente (por exemplo usando o método dos trapézios ou Simpson). - Compare o valor da integral com
. Se for maior, ajuste (por exemplo usando bissecção ou método de Newton) até que a igualdade seja satisfeita com a precisão desejada. - O valor obtido é
.
Dicas práticas:
- A etapa 2b (achar
para cada ) é a parte que precisa de dados de equilíbrio (por isso sem o Exercício 1 não andamos). - Se os dados do Exercício 1 já fornecerem diretamente
como função de a , então basta interpolar esses dados e integrar.
Passo 6
Cálculo da composição média do vapor total destilado (fórmula e interpretação)
Uma vez encontrado
, a quantidade de A no líquido final é
. A quantidade inicial de A é
. Assim a quantidade de A que saiu no destilado é:
A composição média em mol da corrente destilada (fração molar média de A no destilado total) é:
onde
kmol.
Explicando em palavras: é a quantidade total de A removida dividida pela quantidade total de vapor removido.
Passo 7
Breve comparação com a solução por flash simples (útil para entender a diferença entre os processos)
Se, em vez de vaporizar diferencialmente, o sistema fosse submetido a um único flash (evaporando instantaneamente
do total), o método é distinto: você resolveria balanços de massa com a relação de equilíbrio
(onde
viria dos dados de equilíbrio a
e à temperatura de flash) e as equações:
com
,
,
,
. Substituindo
dá
portanto
Novamente, para calcular numericamente é necessário o valor de
(ou dados de equilíbrio). A diferença qualitativa é que o flash dá uma composição única do vapor (e do líquido) em equilíbrio com a mistura inicial, enquanto a destilação diferencial produz um destilado cuja composição varia ao longo do tempo; por isso precisamos calcular uma composição média
para comparar.
Passo 8
Resumo do que é preciso para obter os números finais e oferta de ajuda prática
- Para obter
e numericament e é obrigatório dispor dos dados de equilíbrio do Exercício 1: por exemplo, constantes de Antoine para n-pentano e n-heptano (ou uma tabela ) ou uma tabela direta de vs a . - Se você me enviar os dados do Exercício 1 (por exemplo os coeficientes de Antoine de cada componente ou uma tabela de equilíbrio), eu faço os cálculos numéricos passo a passo, mostrando a integração e o método numérico, e te dou
e com todas as contas detalhadas.
Força aí — você já tem metade do problema organizado, falta só a tabela/constantes do Exercício 1 que eu preciso para terminar os cálculos. Manda esses dados que eu preparo a solução numérica explicada e “mastigada”.
Resposta
Não é possível calcular numericamente
e
sem os dados de equilíbrio do Exercício 1 (por exemplo
ou constantes de Antoine / valores de
).