Comparação de Destilação Diferencial e Flash. Uma mistura de 100 kg mol que contém
de n-pentano (A) e
de n-heptano (B) é vaporizada a uma pressão de
em condições diferenciais até 1140 kg mol são destilados. Use dados de equilíbrio do Exercício 1.
Qual é a composição média do vapor total destilado e a composição do líquido restante?
Qual é a composição média do vapor total destilado e a composição do líquido restante?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- A composição média do vapor total destilado.
- A composição do líquido restante após a destilação diferencial.
Dados fornecidos no enunciado:
Observações importantes sobre os dados:
- O enunciado diz para “usar dados de equilíbrio do Exercício 1”. Esses dados de equilíbrio (curva
ou pressões de vapor/constantes de Antoine) não foram fornecidos aqui. Eles são essenciais para calcular as composições do vapor em equilíbrio com o líquido em cada passo da destilação. - O valor indicado para
(1140 kg·mol) é maior do que a quantidade inicial kg·mol, o que é fisicamente impossível. Pode ser um erro de digitação (por exemplo, deveria ser kg·mol). Não vou perguntar — apenas aviso que esse ponto é incongruente e impede um cálculo numérico sem correção. - Concluo que, com os dados que tenho aqui, não é possível obter resultados numéricos finais. A seguir eu explico, passo a passo e didaticamente, como se resolve o problema quando os dados de equilíbrio corretos e a quantidade destilada consistente forem fornecidos. Assim, você poderá aplicar o procedimento direto na prova.
Passo 2
Conceito físico e estratégia geral (explicação didática e sem pular etapas).
Na destilação diferencial (também chamada de destilação por batelada com remoção infinitesimal do vapor), o procedimento é:
Na destilação diferencial (também chamada de destilação por batelada com remoção infinitesimal do vapor), o procedimento é:
- A cada passo infinitesimal, uma pequena parcela do líquido
entra em equilíbrio com seu vapor correspondente e esse vapor é removido do sistema. - O vapor que sai tem composição de equilíbrio
que depende da composição instantânea do líquido (essa dependência vem dos dados de equilíbrio, por exemplo pela Lei de Raoult). - Como o vapor é removido continuamente, a composição do líquido muda continuamente de
até ao longo do processo.
As quantidades que vamos usar:
No início
e
. Ao final
e
. A quantidade total destilada é
Passo 3
Equações de balanço diferencial e obtenção da equação de Rayleigh (passo a passo e intuitivo).
Considere um pequeno passo em que uma quantidade infinitesimal de vapor se forma e é removida. Para o componente A (n-pentano) o balanço diferencial é:
Considere um pequeno passo em que uma quantidade infinitesimal de vapor
Em símbolos:
Mas como
(quando vapor sai, o líquido diminui), substituímos:
Expandindo o diferencial à esquerda:
Rearranjando para isolar
:
Dividindo ambos os lados por
obtemos a forma separável:
Integramos do estado inicial
ao final
:
Esta é a chamada equação de Rayleigh para destilação diferencial. Repare que a integral à esquerda depende da função de equilíbrio
— é aí que os dados do Exercício 1 entram.
Passo 4
Como obter
a partir dos dados de equilíbrio (aula rápida).
Existem duas formas práticas de ter :
Existem duas formas práticas de ter
-
Tabela/curva de equilíbrio
versus : se o Exercício 1 fornece pares , usa-se interpolação e a integral é feita numericamente (somando pequenos segmentos). -
Modelo analítico com Lei de Raoult (mistura ideal) — explico porque e como:
- Se as substâncias formam solução ideal, a pressão parcial de A é
e de B é . - A fração molar no vapor é
- Aqui
são as pressões de vapor saturadas à temperatura do sistema; em geral obtidas por equações de Antoine (que podem estar no Exercício 1). - Se a razão
for aproximadamente constante sobre a faixa de temperatura, define-se a volatilidade relativa e obtém-se a expressão simplificada Esta forma é útil porque a integral da equação de Rayleigh pode ser feita analiticamente (veja passo seguinte).
- Se as substâncias formam solução ideal, a pressão parcial de A é
Passo 5
Integração no caso de volatilidade relativa constante (mostro as contas que você pode fazer na prova sem calculadora, quando
for dada).
Se , então a integral
Se
precisa ser calculada. Primeiro calcule
:
Assim
A integral separa em duas parcelas que se integram por decomposição em frações parciais; o resultado final (após integrar) leva à forma:
(Se quiser, na prova você pode demonstrar a decomposição em frações parciais passo a passo; aqui eu mostrei o resultado útil.) Dado
(ou
), e conhecendo
e
, essa equação permite resolver para
.
Passo 6
Como obter a composição média do vapor destilado (fórmula direta e justificativa).
A composição média molar do vapor total destilado, (fração molar de A no total de vapor removido), pode ser obtida por balanço global de massa para A:
A composição média molar do vapor total destilado,
Como
, a fração molar média de A no vapor total destilado é
Isto é muito prático: depois de encontrar
(com a equação de Rayleigh), você calcula
diretamente com essa fórmula. A composição do líquido restante é simplesmente
.
Passo 7
Procedimento numérico passo-a-passo que você aplicaria na prova (resumo executável):
- Identifique
, e o total destilado . Calcule . - Obtenha a relação de equilíbrio
a partir dos dados do Exercício 1 (tabela vs ou equações de Antoine para calcular e aplicar a Lei de Raoult). - Use a equação de Rayleigh
e resolva para . Se for uma expressão simples (ex.: volatilidade relativa constante), resolva analiticamente. Se for tabela/curva, faça integração numérica (soma de trapézios/retângulos). - Calcule a composição média do vapor por
- A composição do líquido restante é
.
Passo 8
Exemplo numérico ilustrativo (hipotético) para fixar a ideia — supondo dados fictícios:
- Suponha
, , (ou seja ) e volatilidade relativa constante .
Então usaríamos a fórmula analítica do passo 5 para encontrare depois pela fórmula do passo 6. (Aqui não faço os cálculos porque os valores reais de e/ou não foram fornecidos.)
Passo 9
Conclusão prática e pedido necessário (sem fazer perguntas):
- Para obter os valores numéricos de composição média do vapor destilado
e da composição do líquido restante é necessário:
a) os dados de equilíbrio do Exercício 1 (curvaou pressões de vapor/constantes de Antoine para A e B à pressão dada), e
b) um valor consistente para a quantidade destilada(o enunciado atual mostra kg·mol, que é inconsistente com kg·mol — provavelmente um erro de digitação). - Sem esses dados não é possível calcular numericamente os resultados. A sequência de passos acima é exatamente o que você deve aplicar na prova assim que tiver os dados corretos.
Resposta
Composição média do vapor total destilado: impossível determinar numericamente — faltam os dados de equilíbrio do Exercício 1 (curva
ou pressões de vapor) e o valor indicado para a quantidade destilada (
kg·mol) é inconsistente com
kg·mol.
Composição do líquido restante: impossível determinar numericamente — faltam os dados de equilíbrio do Exercício 1 e o valor correto de .
Composição do líquido restante: impossível determinar numericamente — faltam os dados de equilíbrio do Exercício 1 e o valor correto de