Comparação de Destilação Diferencial e Flash. Uma mistura de 100 kg mol que contém 60 \% \mathrm{~mol} de n-pentano (A) e 40 \mathrm{~mol} % de n-heptano (B) é vaporizada a uma pressão de 101,32 \mathrm{kPa} em condições diferenciais até 1140 kg mol são destilados. Use dados de equilíbrio do Exercício 1.
Qual é a composição média do vapor total destilado e a composição do líquido restante?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. A composição média do vapor total destilado.
  2. A composição do líquido restante após a destilação diferencial.
Dados fornecidos no enunciado:
\text{Quantidade inicial: } L_0 = 100\\ \text{kg·mol}
\text{Composição inicial: } x_{A0}=60\% = 0{,}60\\ \text{(n-pentano, A)},\quad x_{B0}=40\% = 0{,}40\\ \text{(n-heptano, B)}çã
\text{Pressão de operação: } P = 101{,}32\\ \text{kPa}ãçã
\text{Quantidade destilada (enunciado): } D = 1140\\ \text{kg·mol (valor indicado)}
Observações importantes sobre os dados:
  • O enunciado diz para “usar dados de equilíbrio do Exercício 1”. Esses dados de equilíbrio (curva y(x) ou pressões de vapor/constantes de Antoine) não foram fornecidos aqui. Eles são essenciais para calcular as composições do vapor em equilíbrio com o líquido em cada passo da destilação.
  • O valor indicado para D (1140 kg·mol) é maior do que a quantidade inicial L_0=100 kg·mol, o que é fisicamente impossível. Pode ser um erro de digitação (por exemplo, deveria ser 11{,}40 kg·mol). Não vou perguntar — apenas aviso que esse ponto é incongruente e impede um cálculo numérico sem correção.
  • Concluo que, com os dados que tenho aqui, não é possível obter resultados numéricos finais. A seguir eu explico, passo a passo e didaticamente, como se resolve o problema quando os dados de equilíbrio corretos e a quantidade destilada consistente forem fornecidos. Assim, você poderá aplicar o procedimento direto na prova.

Passo 2

Conceito físico e estratégia geral (explicação didática e sem pular etapas).
Na destilação diferencial (também chamada de destilação por batelada com remoção infinitesimal do vapor), o procedimento é:
  • A cada passo infinitesimal, uma pequena parcela do líquido dL entra em equilíbrio com seu vapor correspondente e esse vapor é removido do sistema.
  • O vapor que sai tem composição de equilíbrio y que depende da composição instantânea do líquido x (essa dependência vem dos dados de equilíbrio, por exemplo pela Lei de Raoult).
  • Como o vapor é removido continuamente, a composição do líquido muda continuamente de x_{0} até x_f ao longo do processo.
As quantidades que vamos usar:
L=\text{mols de líquido no instante},\quad x=\text{fração molar do componente A no líquido},íçãí
V=\text{mols de vapor formado no instante},\quad y=\text{fração molar do componente A no vapor}.çã
No início L=L_0 e x=x_{0}. Ao final L=L_f e x=x_f. A quantidade total destilada é
D = L_0 - L_f.

Passo 3

Equações de balanço diferencial e obtenção da equação de Rayleigh (passo a passo e intuitivo).
Considere um pequeno passo em que uma quantidade infinitesimal de vapor dV se forma e é removida. Para o componente A (n-pentano) o balanço diferencial é:
\text{variação de A no líquido} = -\text{A removida no vapor}çãí
Em símbolos:
d(Lx) = -y\,dV.
Mas como dV = -dL (quando vapor sai, o líquido diminui), substituímos:
d(Lx) = y\,dL.
Expandindo o diferencial à esquerda:
L\,dx + x\,dL = y\,dL.
Rearranjando para isolar dx:
L\,dx = (y - x)\,dL.
Dividindo ambos os lados por L(y-x) obtemos a forma separável:
\frac{dx}{y - x} = \frac{dL}{L}.
Integramos do estado inicial (x_0, L_0) ao final (x_f, L_f):
\int_{x_0}^{x_f} \frac{dx}{y(x) - x} = \int_{L_0}^{L_f} \frac{dL}{L} = \ln\frac{L_f}{L_0}.
Esta é a chamada equação de Rayleigh para destilação diferencial. Repare que a integral à esquerda depende da função de equilíbrio y(x) — é aí que os dados do Exercício 1 entram.

Passo 4

Como obter y(x) a partir dos dados de equilíbrio (aula rápida).
Existem duas formas práticas de ter y(x):
  1. Tabela/curva de equilíbrio y versus x: se o Exercício 1 fornece pares (x,y), usa-se interpolação e a integral é feita numericamente (somando pequenos segmentos).
  2. Modelo analítico com Lei de Raoult (mistura ideal) — explico porque e como:
    • Se as substâncias formam solução ideal, a pressão parcial de A é p_A = x\,p_A^{\text{sat}}(T) e de B é p_B = (1-x)\,p_B^{\text{sat}}(T).
    • A fração molar no vapor é y = \frac{p_A}{p_A + p_B} = \frac{x\,p_A^{\text{sat}}}{x\,p_A^{\text{sat}} + (1-x)\,p_B^{\text{sat}}}.
    • Aqui p_i^{\text{sat}}(T) são as pressões de vapor saturadas à temperatura do sistema; em geral obtidas por equações de Antoine (que podem estar no Exercício 1).
    • Se a razão p_A^{\text{sat}}/p_B^{\text{sat}} for aproximadamente constante sobre a faixa de temperatura, define-se a volatilidade relativa \alpha = \frac{p_A^{\text{sat}}}{p_B^{\text{sat}}},e obtém-se a expressão simplificada y = \frac{\alpha x}{1 + (\alpha - 1)x}.Esta forma é útil porque a integral da equação de Rayleigh pode ser feita analiticamente (veja passo seguinte).

Passo 5

Integração no caso de volatilidade relativa constante (mostro as contas que você pode fazer na prova sem calculadora, quando \alpha for dada).
Se y(x)=\dfrac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x}, então a integral
\int_{x_0}^{x_f} \frac{dx}{y - x}
precisa ser calculada. Primeiro calcule y-x:
y-x = \frac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x} - x = \frac{\alpha x - x(1+(\alpha-1)x)}{1+(\alpha-1)x} = \frac{\alpha x - x - (\alpha-1)x^2}{1+(\alpha-1)x} = \frac{(\alpha-1)x(1 - x)}{1+(\alpha-1)x}.
Assim
\frac{1}{y-x} = \frac{1+(\alpha-1)x}{(\alpha-1)x(1-x)}.
A integral separa em duas parcelas que se integram por decomposição em frações parciais; o resultado final (após integrar) leva à forma:
\ln\frac{L_f}{L_0} = \frac{1}{\alpha - 1}\ln\left(\frac{\alpha - (\alpha -1)x_f}{\alpha - (\alpha -1)x_0}\right).
(Se quiser, na prova você pode demonstrar a decomposição em frações parciais passo a passo; aqui eu mostrei o resultado útil.) Dado L_f (ou D), e conhecendo \alpha e x_0, essa equação permite resolver para x_f.

Passo 6

Como obter a composição média do vapor destilado (fórmula direta e justificativa).
A composição média molar do vapor total destilado, \bar y (fração molar de A no total de vapor removido), pode ser obtida por balanço global de massa para A:
\text{mols de A removidos no vapor} = L_0 x_0 - L_f x_f.
Como D = L_0 - L_f, a fração molar média de A no vapor total destilado é
\bar y = \frac{L_0 x_0 - L_f x_f}{D}.
Isto é muito prático: depois de encontrar x_f (com a equação de Rayleigh), você calcula \bar y diretamente com essa fórmula. A composição do líquido restante é simplesmente x_f.

Passo 7

Procedimento numérico passo-a-passo que você aplicaria na prova (resumo executável):
  1. Identifique L_0, x_0 e o total destilado D. Calcule L_f = L_0 - D.
  2. Obtenha a relação de equilíbrio y(x) a partir dos dados do Exercício 1 (tabela y vs x ou equações de Antoine para calcular p_i^{\text{sat}} e aplicar a Lei de Raoult).
  3. Use a equação de Rayleigh \int_{x_0}^{x_f} \frac{dx}{y(x)-x} = \ln\frac{L_f}{L_0}e resolva para x_f. Se y(x) for uma expressão simples (ex.: volatilidade relativa constante), resolva analiticamente. Se for tabela/curva, faça integração numérica (soma de trapézios/retângulos).
  4. Calcule a composição média do vapor por \bar y = \frac{L_0 x_0 - L_f x_f}{D}.
  5. A composição do líquido restante é x_f.

Passo 8

Exemplo numérico ilustrativo (hipotético) para fixar a ideia — supondo dados fictícios:
  • Suponha L_0=100, x_0=0{,}60, D=11{,}40 (ou seja L_f=88{,}60) e volatilidade relativa constante \alpha=2.
    Então usaríamos a fórmula analítica do passo 5 para encontrar x_f e depois \bar y pela fórmula do passo 6. (Aqui não faço os cálculos porque os valores reais de \alpha e/ou p_i^{\text{sat}} não foram fornecidos.)

Passo 9

Conclusão prática e pedido necessário (sem fazer perguntas):
  • Para obter os valores numéricos de composição média do vapor destilado \bar y e da composição do líquido restante x_f é necessário:
    a) os dados de equilíbrio do Exercício 1 (curva y(x) ou pressões de vapor/constantes de Antoine para A e B à pressão dada), e
    b) um valor consistente para a quantidade destilada D (o enunciado atual mostra D=1140 kg·mol, que é inconsistente com L_0=100 kg·mol — provavelmente um erro de digitação).
  • Sem esses dados não é possível calcular numericamente os resultados. A sequência de passos acima é exatamente o que você deve aplicar na prova assim que tiver os dados corretos.

Resposta

Composição média do vapor total destilado: impossível determinar numericamente — faltam os dados de equilíbrio do Exercício 1 (curva y(x) ou pressões de vapor) e o valor indicado para a quantidade destilada ( 1140 kg·mol) é inconsistente com L_0=100 kg·mol.
Composição do líquido restante: impossível determinar numericamente — faltam os dados de equilíbrio do Exercício 1 e o valor correto de D.

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