Comparação de Destilação Diferencial e Flash. Uma mistura de 100 kg mol que contém 60 \% \mathrm{~mol} de n-pentano (A) e 40 \mathrm{~mol} \% de n-heptano (B) é vaporizada a uma pressão de 101,32 \mathrm{kPa} em condições diferenciais até 1140 kg mol são destilados. Use dados de equilíbrio do Exercício 1. Se essa mesma vaporização for feita em equilíbrio ou destilação flash e forem destilados 40 kg mol , qual a composição do vapor destilado e do líquido restante?
Dados : \cdot W_{0}=100 \mathrm{~mol}
  • D=40 \mathrm{~mol} (quant total destilada) \rightarrow W_{f}=W_{0}-D=60 \mathrm{~mol}
  • x_{A, O}=0,50 (50 mol % de n-pentano)
    . p=101,3 \mathrm{kPa}
  • Dados de equilíbrio: (x, y)=\{(1,000,1,000),(0,867,0,984),(0,594,0,925),(0,398,0,836),(0,254,0,701), (0,145,0,521),(0,059,0,271),(0,000,0,000)\}).

Passo 1

O que o problema pede e quais dados foram fornecidos.
  • Pedido: Se a vaporização for feita em equilíbrio (destilação flash) e forem destilados D=40 mol, qual a composição do vapor destilado e do líquido restante?
  • Dados fornecidos:
    • Estoque inicial total W_0 = 100 mol.
    • Destilado removido D = 40 mol, portanto o líquido que sobra W_f = W_0 - D = 60 mol.
    • Composição do alimentação em n-pentano (componente A): z_A = x_{A,0} = 0,50 (fração molar).
    • Pressão p = 101{,}3 kPa (informação que já está embutida nos dados de equilíbrio).
    • Dados de equilíbrio líquido–vapor (fração molar de A no líquido, fração molar de A no vapor): (x,y)=\{(1{,}000,1{,}000),(0{,}867,0{,}984),(0{,}594,0{,}925),(0{,}398,0{,}836),(0{,}254,0{,}701),(0{,}145,0{,}521),(0{,}059,0{,}271),(0{,}000,0{,}000)\}.
  • Objetivo final explícito: encontrar a composição do vapor destilado y_A e a composição do líquido restante x_A depois da separação flash que produz D=40 mol de vapor.

Passo 2

Equilíbrios e balanços que vamos usar (sem começar a calcular ainda — explico a lógica).
  • Em uma destilação flash em equilíbrio, o vapor e o líquido que se formam estão em equilíbrio termodinâmico: suas composições satisfazem a relação y_A = y_{\text{eq}}(x_A), onde y_{\text{eq}}(x) é dada pela curva de equilíbrio (a tabela acima).
  • Também devemos satisfazer balanço de matéria total e balanço de componente A.
    • Balanço total (checa números): W_0 = W_f + D. Aqui 100 = 60 + 40 ok.
    • Balanço de A (componentes, em mols): W_0 z_A = W_f x_A + D y_A.
      • Explicando: quantidade de A na alimentação é W_0 z_A. Na separação, parte fica no líquido ( W_f x_A) e parte fica no vapor ( D y_A). Essas quantidades somam a quantidade inicial.
  • Vamos usar a forma em frações molares (dividindo tudo por W_0) — isso nos dá a equação do raio alavanca (lever rule) útil para flash: z_A = \frac{W_f}{W_0} x_A + \frac{D}{W_0} y_A.Explico as variáveis:
    • z_A: fração molar de A na alimentação.
    • x_A: fração molar de A no líquido após equilíbrio (fundo).
    • y_A: fração molar de A no vapor removido (destilado).
    • W_f/W_0 e D/W_0 são as frações de quantidade de líquido e vapor relativas à alimentação.

Passo 3

Aplicando os números na equação de balanço de componente (preparar a equação que vamos resolver).
  • Substituindo W_f/W_0 = 60/100 = 0{,}6 e D/W_0 = 40/100 = 0{,}4 e z_A = 0{,}50 na equação do passo anterior: 0{,}50 = 0{,}6\,x_A + 0{,}4\,y_A.
  • Reescrevendo para isolar y_A: y_A = \frac{0{,}50 - 0{,}6\,x_A}{0{,}4} = 1{,}25 - 1{,}5\,x_A.
  • Interpretação: a composição do vapor y_A que é necessária para satisfazer o balanço depende linearmente de x_A. Mas, AO MESMO TEMPO, y_A deve obedecer à curva de equilíbrio y_A = y_{\text{eq}}(x_A) dada pela tabela. Logo temos que encontrar o ponto x_A onde a linha reta y = 1{,}25 - 1{,}5 x intersecta a curva de equilíbrio y_{\text{eq}}(x).

Passo 4

Como encontrar a interseção entre a linha de balanço e a curva de equilíbrio usando a tabela (método prático e intuitivo).
  • Não temos uma expressão analítica para y_{\text{eq}}(x), temos pontos da tabela. A maneira prática é:
    1. Avaliar para cada ponto da tabela a diferença f(x) = y_{\text{eq}}(x) - (1{,}25 - 1{,}5\,x).Se f(x)>0, a curva de equilíbrio está acima da linha de balanço naquele ponto; se f(x)<0, está abaixo.
    2. Procurar dois pontos consecutivos na tabela onde f(x) muda de sinal — isso indica que a raiz (interseção) está entre esses dois pontos.
    3. Fazer interpolação linear entre esses dois pontos para estimar x_A de interseção (isto é suficientemente preciso dadas as malhas de dados fornecidas).
  • Vou calcular f(x) para os pontos da tabela e procurar mudança de sinal.

Passo 5

Calcular f(x) nos pontos da tabela e localizar o intervalo com mudança de sinal.
  • Para cada par (x,y_{\text{eq}}) na tabela, calculo f(x) = y_{\text{eq}} - (1{,}25 - 1{,}5 x).
    • Para x=1{,}000,\; y=1{,}000: f(1{,}000)=1{,}000 - (1{,}25 - 1{,}5\cdot1{,}000)=1{,}000 - (-0{,}25)=1{,}25>0.
    • Para x=0{,}867,\; y=0{,}984: f(0{,}867)=0{,}984 - (1{,}25 - 1{,}5\cdot0{,}867)=0{,}984 - (-0{,}0505)=1{,}0345>0.
    • Para x=0{,}594,\; y=0{,}925: f(0{,}594)=0{,}925 - (1{,}25 - 1{,}5\cdot0{,}594)=0{,}925 - 0{,}359}=0{,}566>0.
    • Para x=0{,}398,\; y=0{,}836: f(0{,}398)=0{,}836 - (1{,}25 - 1{,}5\cdot0{,}398)=0{,}836 - 0{,}653}=0{,}183>0.
    • Para x=0{,}254,\; y=0{,}701: f(0{,}254)=0{,}701 - (1{,}25 - 1{,}5\cdot0{,}254)=0{,}701 - 0{,}869}=-0{,}168<0.
  • Observação importante: f(x) muda de sinal entre x=0{,}398 (positivo) e x=0{,}254 (negativo). Portanto a interseção (solução) está entre esses dois valores de x.

Passo 6

Interpolação linear entre os pontos x_1=0{,}398 e x_2=0{,}254 para achar x_A.
  • Notação: x_1=0{,}398,\; y_1=0{,}836,\; f_1=0{,}183.
    x_2=0{,}254,\; y_2=0{,}701,\; f_2=-0{,}168.
  • Linear interpolation para raiz de f(x): x_{\text{root}} \approx x_1 + \frac{0 - f_1}{f_2 - f_1}(x_2 - x_1).
  • Substituindo números: x_{\text{root}} \approx 0{,}398 + \frac{0 - 0{,}183}{-0{,}168 - 0{,}183}\,(0{,}254 - 0{,}398).Calculo passo a passo: 0{,}254 - 0{,}398 = -0{,}144,
-0{,}168 - 0{,}183 = -0{,}351,
\frac{-0{,}183}{-0{,}351} = 0{,}52137\ldots
x_{\text{root}} \approx 0{,}398 + 0{,}52137\cdot(-0{,}144) = 0{,}398 - 0{,}07506 \approx 0{,}32294.
  • Portanto a fração molar de A no líquido restante (fundo) é aproximadamente x_A \approx 0{,}32294. Arredondando razoavelmente para três casas decimais: x_A \approx 0{,}323.

Passo 7

Determinar y_A correspondente (usando a reta de balanço ou interpolando a curva de equilíbrio).
  • Usando a expressão da reta de balanço y_A = 1{,}25 - 1{,}5 x_A: y_A \approx 1{,}25 - 1{,}5\cdot0{,}32294 = 1{,}25 - 0{,}48441 = 0{,}76559.
  • Arredondando para três casas decimais: y_A \approx 0{,}766.
  • Verificação via interpolação linear direta na curva de equilíbrio entre os mesmos pontos (0{,}398,0{,}836) e (0{,}254,0{,}701):
    • Slope = \dfrac{0{,}701-0{,}836}{0{,}254-0{,}398}=0{,}9375.
    • y(0{,}32294)\approx 0{,}836 + 0{,}9375\cdot(0{,}32294-0{,}398)\approx 0{,}836 - 0{,}0704 \approx 0{,}7656.
  • Resultado consistente: y_A \approx 0{,}7656 \approx 0{,}766.

Passo 8

Checagem de balanço (controle para não ter cometido erro) — calcular moles reais de A nos dois fluxos e confirmar soma.
  • Moles de A na alimentação: W_0 z_A = 100\cdot0{,}50 = 50 mol.
  • Moles de A no destilado: D y_A \approx 40\cdot0{,}76559 \approx 30{,}624 mol.
  • Moles de A no líquido restante: W_f x_A \approx 60\cdot0{,}32294 \approx 19{,}376 mol.
  • Soma: 30{,}624 + 19{,}376 = 50{,}000 mol, que coincide com a quantidade inicial de A. Balanço satisfeito — ótimo.

Passo 9

Resumo numérico final (valores arredondados de forma prática para usar na prova).
  • Fração molar de n-pentano (A) no vapor destilado: y_A \approx 0{,}766.
  • Fração molar de n-pentano (A) no líquido restante: x_A \approx 0{,}323.

Resposta

Composição do vapor destilado (fração molar de n-pentano A): y_A = 0{,}766.
Composição do líquido restante (fração molar de n-pentano A): x_A = 0{,}323.

Exercícios relacionados