(a) Comparando ondas eletromagnéticas e ondas mecânicas, que parâmetros de suas funções de onda têm fortes semelhanças entre os dois casos? (b) Escreva as equaçües físicas válidas para estes parâmetros tanto para ondas eletromagnéticas quanto para ondas mecânicas.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
(a) identificar quais parâmetros das funções de onda de ondas eletromagnéticas e de ondas mecânicas apresentam fortes semelhanças entre si;
(b) escrever as equações físicas válidas para esses parâmetros tanto para ondas eletromagnéticas quanto para ondas mecânicas.
Informações dadas: nenhuma equação inicial — você quer uma comparação e as fórmulas relevantes que aparecem nas duas situações.

Passo 2

Vamos começar pela forma matemática mais simples e comum de uma onda senoidal unidimensional. Uma função de onda escalar (por exemplo, deslocamento de uma corda) pode ser escrita como
\psi(x,t)=A\cos\big(kx-\omega t+\varphi\big).
Expliquei cada símbolo para você não se perder:
  • A é a amplitude: o máximo valor absoluto de \psi (unidade depende da onda — metros para deslocamento, volts por metro para campo elétrico, etc.).
  • k é o número de onda: k=\dfrac{2\pi}{\lambda}, com \lambda a comprimento de onda. Unidade: \mathrm{m^{-1}}.
  • \omega é a frequência angular: \omega=2\pi f, com f a frequência (Hz). Unidade: \mathrm{rad\\ s^{-1}}.
  • \varphi é a fase inicial (em radianos).
  • A relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda é
v=\lambda f=\frac{\omega}{k}.
Essas relações são puramente matemáticas e aparecem tanto em ondas mecânicas quanto em ondas eletromagnéticas.

Passo 3

Agora, respondendo (a) com explicação didática: os parâmetros que têm fortes semelhanças (ou seja, aparecem com o mesmo papel matemático) entre ondas eletromagnéticas e mecânicas são:
  • Amplitude : controla o “tamanho” da oscilação (deslocamento em ondas mecânicas; intensidade do campo em ondas EM).
  • Comprimento de onda \lambda : distância espacial entre pontos de fase igual.
  • Frequência f e período T : quantos ciclos por segundo e duração de cada ciclo.
  • Número de onda k e frequência angular \omega : aparecem nas soluções senoidais.
  • Velocidade de propagação v (conceito comum: distância percorrida pela crista por unidade de tempo).
  • Fase \varphi) e relação de fase espacial/temporal (o termo kx-\omega t).
    Observação importante (didática): o significado físico da amplitude muda (campo elétrico vs. deslocamento), e as equações que determinam v dependem do tipo de onda e do meio. Mas matematicamente a estrutura das soluções senoidais é análoga — por isso dizem que as ondas “se parecem”.

Passo 4

Escrevo agora a equação de onda diferencial, que é a equação física que dá origem às soluções senoidais acima. A equação de onda unidimensional para um campo escalar \psi(x,t) é
\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2},
onde v é a velocidade de propagação. Explicando: a segunda derivada espacial indica curvatura da forma da onda; a segunda derivada temporal indica aceleração temporal. Essa equação aparece tanto para pequenas oscilações numa corda (onda mecânica) quanto para componentes do campo elétrico/magnético em vácuo (onda eletromagnética), desde que você use o v correto para cada caso.

Passo 5

Aplicando isso a cada tipo de onda — formas concretas das soluções:
  • Onda mecânica transversal numa corda (deslocamento y(x,t)):
y(x,t)=y_0\cos\big(kx-\omega t+\varphi\big).
Aqui y_0 tem unidade de comprimento (m). Para essa corda ideal, a equação de onda tem a forma do passo anterior com v dado pela propriedade da corda (ver passo 6).
  • Onda eletromagnética plana em vácuo (campo elétrico \mathbf{E} e magnético \mathbf{B}):
\mathbf{E}(x,t)=E_0\,\hat{u}\,\cos\big(kx-\omega t+\varphi\big),
\mathbf{B}(x,t)=B_0\,\hat{v}\,\cos\big(kx-\omega t+\varphi\big),
onde \hat{u} e \hat{v} são direções unitárias perpendiculares entre si e perpendiculares à direção de propagação. Em vácuo há uma relação entre os módulos:
B_0=\frac{E_0}{c},
e vetorialmente
\mathbf{B}=\frac{1}{c}\,\hat{k}\times\mathbf{E}.
Todas essas formas satisfazem \omega=vk (repare que essa é a forma da relação de dispersão para ondas não dispersivas).

Passo 6

Agora as fórmulas específicas para a velocidade v (essas são as equações “físicas” que você usa em prova):
  • Ondas eletromagnéticas em vácuo:
v=c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}},
onde \mu_0 é a permeabilidade do vácuo e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. Numericamente c\approx 3{,}00\times10^8\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}.
  • Onda transversal numa corda (constante de tensão T e densidade linear de massa \mu):
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}.
Explanação: T tem unidade de newton ( \mathrm{N}), \mu tem unidade \mathrm{kg\\ m^{-1}}; a raiz dá \mathrm{m\\ s^{-1}}.
  • Onda sonora longitudinal em um fluido (usar conforme contexto):
v=\sqrt{\frac{B}{\rho}}\quad\text{(módulo de compressibilidade/bulk modulus \(B\) e densidade \(\rho\))},ó
ou para gás ideal em processos adiabáticos
v=\sqrt{\frac{\gamma p}{\rho}},
onde \gamma é a razão de capacidades térmicas, p a pressão e \rho a densidade.

Passo 7

Energia e intensidade — como comparar o transporte de energia (útil na prova):
  • Para EM, densidade de energia instantânea (em vácuo):
u(t)=\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2(t)+\frac{1}{2\mu_0}B^2(t).
A intensidade média (fluxo de energia) para uma onda plana senoidal é dada pelo valor médio do vetor de Poynting:
\langle S\rangle=\frac{1}{2\mu_0}E_0 B_0=\frac{1}{2}\varepsilon_0 c E_0^2.
Expliquei: E_0 é amplitude do campo elétrico; usamos B_0=E_0/c para substituir.
  • Para uma corda (onda mecânica transversal), a densidade máxima de energia por unidade de comprimento (soma de energia cinética e potencial) é proporcional a \mu \omega^2 y_0^2. A intensidade média (potência por área transversal) é
I=\frac{1}{2}\mu \omega^2 y_0^2\,v.
Aqui \mu é densidade linear de massa, y_0 amplitude do deslocamento, \omega frequência angular e v velocidade da onda. Resultado útil na prova: energia transportada cresce com o quadrado da amplitude e com \omega^2.

Passo 8

Dispersão e velocidades de fase e de grupo (importante conceitualmente):
  • A relação \omega=vk é a relação de dispersão para ondas não dispersivas (EM em vácuo, corda ideal). Definições:
v_p=\frac{\omega}{k}\quad\text{(velocidade de fase)},
v_g=\frac{d\omega}{dk}\quad\text{(velocidade de grupo, velocidade de pacote de onda)}.
Expliquei: quando \omega depende de k de forma não linear (médio dispersivo), v_p\neq v_g. Exemplos de dispersão: ondas na superfície da água, guias de onda para EM, meios dielétricos em geral.

Passo 9

Dicas práticas para prova (passo-a-passo rápido que você pode memorizar):
  1. Identifique se a onda é mecânica (deslocamento, pressão) ou eletromagnética (campo \mathbf{E},\mathbf{B}).
  2. Escreva a forma senoidal \psi(x,t)=A\cos(kx-\omega t+\varphi).
  3. Use \lambda=2\pi/k, \omega=2\pi f, v=\lambda f=\omega/k.
  4. Substitua a fórmula de v apropriada ao problema ( c para EM em vácuo; \sqrt{T/\mu} para corda; etc.).
  5. Para energia/intensidade, lembre a dependência quadrática em amplitude: I\propto A^2 (formulas do passo 7).

Resposta

(a) Amplitude A; comprimento de onda \lambda; número de onda k; frequência f e frequência angular \omega; período T; fase \varphi; velocidade de propagação v; (além de quantidades análogas de energia/intensidade).
(b) Equações principais:
\psi(x,t)=A\cos\big(kx-\omega t+\varphi\big),\qquad \lambda=\frac{2\pi}{k},\qquad \omega=2\pi f,\qquad v=\frac{\omega}{k}=\lambda f,
\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2},
\text{ondas EM (vácuo): }\nabla^2\mathbf{E}-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}=0,\qquad v=c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}},á
\text{onda em corda: }v=\sqrt{\frac{T}{\mu}},
\text{onda sonora: }v=\sqrt{\frac{B}{\rho}}\quad\text{ou}\quad v=\sqrt{\frac{\gamma p}{\rho}},
\text{energia/intensidade EM média: }\langle S\rangle=\frac{1}{2}\varepsilon_0 c E_0^2,é
\text{intensidade onda na corda: }I=\frac{1}{2}\mu\omega^2 y_0^2\,v.

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