(a) Qual a condição de ressonância em um circuito RLC no que se refere à frequência de oscilação da fonte alternada e à frequência natural do circuito? (b) Expresse a fórmula que dá a frequência natural de um circuito RLC. (c) Explique a utilidade da ressonância nos circuitos de emissão e de recepção de ondas de rádio.
Passo 1
O enunciado faz três perguntas distintas:
(a) Pergunta qual é a condição de ressonância em um circuito RLC, em termos da frequência da fonte alternada e da frequência natural do circuito.
(b) Pede a expressão matemática da frequência natural do circuito RLC.
(c) Pede uma explicação da utilidade da ressonância em circuitos de emissão e recepção de rádio.
(a) Pergunta qual é a condição de ressonância em um circuito RLC, em termos da frequência da fonte alternada e da frequência natural do circuito.
(b) Pede a expressão matemática da frequência natural do circuito RLC.
(c) Pede uma explicação da utilidade da ressonância em circuitos de emissão e recepção de rádio.
Informações dadas (implícitas no enunciado): trata-se de um circuito RLC (com
,
e
); as perguntas são conceituais e matemáticas sobre frequência de oscilação, frequência natural e aplicações em rádio. Não há valores numéricos fornecidos.
Passo 2
Entendendo o que é um circuito RLC e suas variáveis básicas (aula rápida e direta).
-
é a resistência (dissipa energia em calor). -
é a indutância (armazena energia magnética; reage a variação de corrente). -
é a capacitância (armazena energia elétrica; reage a variação de tensão).
Numa forma simples, se chamarmosa carga no capacitor e a corrente, a equação que descreve a dinâmica do circuito série é:
Explicando: o termo
vem da força contra-eletromotriz da indutância,
é a queda de tensão na resistência e
é a tensão no capacitor. Essa equação é o ponto de partida para entender oscilações e ressonância.
Passo 3
Definição de frequência natural do circuito (motivação física).
Se não houver fonte (ou se considerarmos a resposta livre) e desprezarmos perdas ( para obter a frequência natural ideal), a equação vira:
Se não houver fonte (ou se considerarmos a resposta livre) e desprezarmos perdas (
Essa é a equação de um oscilador harmônico simples, equivalente a
, onde
é a pulsação natural. Comparando os termos, obtemos a relação que define
(passo de derivação detalhado abaixo).
Passo 4
Derivação explícita da fórmula da pulsação natural (aula passo a passo).
Partimos de
Partimos de
Dividindo por
:
Comparando com a forma padrão
, vemos que
Tomando raiz positiva,
Aqui
é a pulsação natural em rad/s. A frequência em hertz é
. Cada símbolo:
em henry,
em farad,
em rad/s,
em Hz.
Passo 5
Interpretação física da frequência natural (onde vem a oscilação).
A frequência natural nasce porque energia oscila entre o campo elétrico do capacitor ( ) e o campo magnético da indutância (
). Sem perdas, essa troca de energia gera oscilações harmônicas com pulsação
. A resistência
introduz amortecimento (faz as oscilações decaírem), mas a frequência natural ainda é aproximadamente
quando
é pequena.
A frequência natural nasce porque energia oscila entre o campo elétrico do capacitor (
Passo 6
Condição de ressonância em termos da fonte e da frequência natural (resposta conceitual e fórmula alternativa).
Ressonância ocorre quando a frequência angular da fonte alternada coincide com a frequência natural
do circuito:
Ressonância ocorre quando a frequência angular da fonte alternada
Em termos de frequência em hertz, isso é
. Outra forma prática de escrever a condição (usando reatâncias) é:
pois a parte imaginária da impedância de um circuito série
zera em ressonância. Explicando: quando
as reatâncias indutiva e capacitiva se cancelam, deixando apenas
, o que, no circuito série, leva a corrente máxima para uma dada tensão da fonte.
Passo 7
O que acontece no circuito na ressonância (efeitos práticos que ajudam na prova).
- Em um circuito série RLC: a impedância é mínima (igual a
) e a corrente máxima. A tensão da fonte cai quase toda em . Entretanto, as tensões individuais em e podem ser muito maiores que a tensão da fonte (porque e são grandes e opostas). - Em um circuito paralelo RLC: em ressonância a impedância pode ser máxima e a corrente fornecida pela fonte pode ser mínima (circuito se torna seletivo).
- A fase entre corrente e tensão é zero na ressonância (série), ou seja, sinal de que as reatâncias se cancelaram.
Passo 8
Qualidade do circuito (fator de mérito
) e largura de banda (uma aula curta e útil).
A “nitidez” da ressonância é dada pelo fator . Para um circuito série:
A “nitidez” da ressonância é dada pelo fator
Significado: quanto maior
, mais estreita (seletiva) é a resposta em frequência; a largura de banda em pulsação aproxima-se de
e em hertz
. Trade-off: alto
= boa seletividade, mas menor largura de banda e maior sensibilidade a perdas e a variações nos componentes.
Passo 9
Utilidade da ressonância em emissão e recepção de rádio (explicação direta, com exemplos práticos e sem jargão desnecessário).
- Em receptores: usamos circuitos LC (osciladores sintonizados) para “selecionar” a estação desejada. Ajustando
ou , fazemos com que coincida com a frequência da estação; sinais fora dessa frequência são atenuados. Isso é a base do botão de sintonia do rádio. A seletividade é controlada pelo . - Em transmissores: o circuito ressonante na saída (ou a antena + circuito de sintonia) é ajustado para a frequência de transmissão para maximizar a potência irradiada na frequência desejada e minimizar energia desperdiçada em outras frequências. Ressonância facilita o casamento de impedâncias entre gerador e antena, melhorando transferência de potência.
- Em ambos: ressonância permite amplificação seletiva, melhor relação sinal/ruído para a frequência de interesse e eficiência na transmissão/recepção.
Passo 10
Resumo prático e dica de prova (como você usa isso rápido na hora).
- Quando pedirem a condição de ressonância: escreva
ou . - Quando pedirem a frequência natural: escreva
e . - Se pedirem efeito prático: cite seleção de frequência em receptores, maximização de potência em transmissores e o papel do
na largura de banda.
Dica para prova: mostrar a equação de impedânciae apontar que a parte imaginária deve ser zero para ressonância é uma resposta curta e elegante que costuma agradar o corretor.
Resposta
(a) Condição de ressonância:
(equivalente a
ou
).
(b) Frequência natural: ,
.
(c) Utilidade: ressonância permite sintonizar e selecionar uma frequência (receptores) e maximizar a transferência de potência/eficiência na frequência desejada (transmissores); o fator controla a seletividade (alto
= banda estreita, boa seleção; baixo
= banda larga).
(b) Frequência natural:
(c) Utilidade: ressonância permite sintonizar e selecionar uma frequência (receptores) e maximizar a transferência de potência/eficiência na frequência desejada (transmissores); o fator