(a) Qual a condição de ressonância em um circuito RLC no que se refere à frequência de oscilação da fonte alternada e à frequência natural do circuito? (b) Expresse a fórmula que dá a frequência natural de um circuito RLC. (c) Explique a utilidade da ressonância nos circuitos de emissão e de recepção de ondas de rádio.

Passo 1

O enunciado faz três perguntas distintas:
(a) Pergunta qual é a condição de ressonância em um circuito RLC, em termos da frequência da fonte alternada e da frequência natural do circuito.
(b) Pede a expressão matemática da frequência natural do circuito RLC.
(c) Pede uma explicação da utilidade da ressonância em circuitos de emissão e recepção de rádio.
Informações dadas (implícitas no enunciado): trata-se de um circuito RLC (com R, L e C); as perguntas são conceituais e matemáticas sobre frequência de oscilação, frequência natural e aplicações em rádio. Não há valores numéricos fornecidos.

Passo 2

Entendendo o que é um circuito RLC e suas variáveis básicas (aula rápida e direta).
  • R é a resistência (dissipa energia em calor).
  • L é a indutância (armazena energia magnética; reage a variação de corrente).
  • C é a capacitância (armazena energia elétrica; reage a variação de tensão).
    Numa forma simples, se chamarmos q(t) a carga no capacitor e i(t)=\dfrac{dq}{dt} a corrente, a equação que descreve a dinâmica do circuito série é:
L\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=V_{\text{fonte}}(t).
Explicando: o termo L\,d^{2}q/dt^{2} vem da força contra-eletromotriz da indutância, R\,dq/dt é a queda de tensão na resistência e q/C é a tensão no capacitor. Essa equação é o ponto de partida para entender oscilações e ressonância.

Passo 3

Definição de frequência natural do circuito (motivação física).
Se não houver fonte (ou se considerarmos a resposta livre) e desprezarmos perdas ( R=0 para obter a frequência natural ideal), a equação vira:
L\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+\frac{q}{C}=0.
Essa é a equação de um oscilador harmônico simples, equivalente a \ddot{q}+\omega_{0}^{2} q=0, onde \omega_{0} é a pulsação natural. Comparando os termos, obtemos a relação que define \omega_{0} (passo de derivação detalhado abaixo).

Passo 4

Derivação explícita da fórmula da pulsação natural (aula passo a passo).
Partimos de
L\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+\frac{q}{C}=0.
Dividindo por L:
\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+\frac{1}{LC}\,q=0.
Comparando com a forma padrão \ddot{q}+\omega_{0}^{2}q=0, vemos que
\omega_{0}^{2}=\frac{1}{LC}.
Tomando raiz positiva,
\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}.
Aqui \omega_{0} é a pulsação natural em rad/s. A frequência em hertz é \;f_{0}=\dfrac{\omega_{0}}{2\pi}=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}. Cada símbolo: \;L em henry, \;C em farad, \;\omega_{0} em rad/s, \;f_{0} em Hz.

Passo 5

Interpretação física da frequência natural (onde vem a oscilação).
A frequência natural nasce porque energia oscila entre o campo elétrico do capacitor ( \frac{1}{2}C V^{2}) e o campo magnético da indutância ( \frac{1}{2}L I^{2}). Sem perdas, essa troca de energia gera oscilações harmônicas com pulsação \omega_{0}. A resistência R introduz amortecimento (faz as oscilações decaírem), mas a frequência natural ainda é aproximadamente \omega_{0} quando R é pequena.

Passo 6

Condição de ressonância em termos da fonte e da frequência natural (resposta conceitual e fórmula alternativa).
Ressonância ocorre quando a frequência angular da fonte alternada \omega coincide com a frequência natural \omega_{0} do circuito:
\omega=\omega_{0}.
Em termos de frequência em hertz, isso é \;f=f_{0}. Outra forma prática de escrever a condição (usando reatâncias) é:
\omega L=\frac{1}{\omega C},
pois a parte imaginária da impedância de um circuito série Z=R+j(\omega L-1/(\omega C)) zera em ressonância. Explicando: quando \omega L=1/(\omega C) as reatâncias indutiva e capacitiva se cancelam, deixando apenas R, o que, no circuito série, leva a corrente máxima para uma dada tensão da fonte.

Passo 7

O que acontece no circuito na ressonância (efeitos práticos que ajudam na prova).
  • Em um circuito série RLC: a impedância é mínima (igual a R) e a corrente máxima. A tensão da fonte cai quase toda em R. Entretanto, as tensões individuais em L e C podem ser muito maiores que a tensão da fonte (porque V_L e V_C são grandes e opostas).
  • Em um circuito paralelo RLC: em ressonância a impedância pode ser máxima e a corrente fornecida pela fonte pode ser mínima (circuito se torna seletivo).
  • A fase entre corrente e tensão é zero na ressonância (série), ou seja, sinal de que as reatâncias se cancelaram.

Passo 8

Qualidade do circuito (fator de mérito Q) e largura de banda (uma aula curta e útil).
A “nitidez” da ressonância é dada pelo fator Q. Para um circuito série:
Q=\frac{\omega_{0}L}{R}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}.
Significado: quanto maior Q, mais estreita (seletiva) é a resposta em frequência; a largura de banda em pulsação aproxima-se de
\Delta\omega\approx\frac{\omega_{0}}{Q}
e em hertz \Delta f \approx \dfrac{f_{0}}{Q}. Trade-off: alto Q = boa seletividade, mas menor largura de banda e maior sensibilidade a perdas e a variações nos componentes.

Passo 9

Utilidade da ressonância em emissão e recepção de rádio (explicação direta, com exemplos práticos e sem jargão desnecessário).
  • Em receptores: usamos circuitos LC (osciladores sintonizados) para “selecionar” a estação desejada. Ajustando C ou L, fazemos com que f_{0} coincida com a frequência da estação; sinais fora dessa frequência são atenuados. Isso é a base do botão de sintonia do rádio. A seletividade é controlada pelo Q.
  • Em transmissores: o circuito ressonante na saída (ou a antena + circuito de sintonia) é ajustado para a frequência de transmissão para maximizar a potência irradiada na frequência desejada e minimizar energia desperdiçada em outras frequências. Ressonância facilita o casamento de impedâncias entre gerador e antena, melhorando transferência de potência.
  • Em ambos: ressonância permite amplificação seletiva, melhor relação sinal/ruído para a frequência de interesse e eficiência na transmissão/recepção.

Passo 10

Resumo prático e dica de prova (como você usa isso rápido na hora).
  • Quando pedirem a condição de ressonância: escreva \omega=\omega_{0} ou \omega L=1/(\omega C).
  • Quando pedirem a frequência natural: escreva \omega_{0}=1/\sqrt{LC} e f_{0}=1/(2\pi\sqrt{LC}).
  • Se pedirem efeito prático: cite seleção de frequência em receptores, maximização de potência em transmissores e o papel do Q na largura de banda.
    Dica para prova: mostrar a equação de impedância Z=R+j(\omega L-1/(\omega C)) e apontar que a parte imaginária deve ser zero para ressonância é uma resposta curta e elegante que costuma agradar o corretor.

Resposta

(a) Condição de ressonância: \omega=\omega_{0} (equivalente a \omega L=\dfrac{1}{\omega C} ou f=f_{0}).
(b) Frequência natural: \displaystyle \omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}, \displaystyle f_{0}=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}.
(c) Utilidade: ressonância permite sintonizar e selecionar uma frequência (receptores) e maximizar a transferência de potência/eficiência na frequência desejada (transmissores); o fator Q controla a seletividade (alto Q = banda estreita, boa seleção; baixo Q = banda larga).

Exercícios relacionados