Compare o comportamento de (a) um sistema massa-mola oscilando num movimento harmônico simples e (b) um elemento de uma corda esticada onde uma onda senoidal se propaga. Discuta do ponto de vista do deslocamento, velocidade vetorial, aceleração e transferência de energia.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para comparar dois sistemas físicos: (a) um sistema massa-mola que faz um movimento harmônico simples e (b) uma onda senoidal que se propaga em uma corda esticada. Para isso, vamos analisar como o deslocamento, a velocidade vetorial, a aceleração e a transferência de energia se comportam em cada um desses casos. Vamos precisar entender o que é movimento harmônico simples, como funciona uma onda em uma corda e os conceitos de deslocamento, velocidade, aceleração e energia nesses contextos.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o deslocamento. No sistema massa-mola, o deslocamento é a posição da massa em relação ao ponto de equilíbrio. Esse deslocamento varia no tempo de forma senoidal, ou seja, segue uma função do tipo $ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) $, onde $ A $ é a amplitude, $ \omega $ é a frequência angular e $ \phi $ é a fase inicial.
Já na corda com onda senoidal, o deslocamento refere-se à posição vertical de um ponto qualquer da corda em função do tempo e da posição ao longo da corda. A equação típica é $ y(x,t) = A \cos(kx - \omega t + \phi) $, onde $ k $ é o número de onda. Aqui, cada ponto da corda oscila de forma semelhante à massa no sistema massa-mola, mas a onda se propaga ao longo da corda.
Passo 3
Agora, sobre a velocidade vetorial. No sistema massa-mola, a velocidade da massa é a derivada do deslocamento em relação ao tempo. Ou seja, $ v(t) = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin(\omega t + \phi) $. A velocidade também varia de forma senoidal, mas está defasada 90 graus em relação ao deslocamento.
Já na corda, a velocidade de um ponto específico da corda também é a derivada do deslocamento $ y(x,t) $ em relação ao tempo. Assim, $ v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = A \omega \sin(kx - \omega t + \phi) $. A velocidade dependente da posição $ x $ varia ao longo da corda e do tempo, mantendo a mesma forma senoidal.
Passo 4
Vamos para a aceleração. No sistema massa-mola, a aceleração é a segunda derivada do deslocamento em relação ao tempo: $ a(t) = \frac{d2x}{dt2} = -A \omega^2 \cos(\omega t + \phi) $. A aceleração também é senoidal e está em fase oposta ao deslocamento.
Na corda, a aceleração de um ponto específico é a segunda derivada de $ y(x,t) $ em relação ao tempo: $ a_y(x,t) = \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = -A \omega^2 \cos(kx - \omega t + \phi) $. Assim como no sistema massa-mola, a aceleração na corda está em fase oposta ao deslocamento daquele ponto.
Passo 5
Por último, a transferência de energia. No sistema massa-mola, a energia total é a soma da energia cinética (relacionada à velocidade) e da energia potencial (relacionada ao deslocamento). Essa energia oscila entre cinética e potencial durante o movimento, mas a energia total permanece constante se não houver atrito.
Na corda, a energia também se divide entre energia cinética e potencial de deformação. No entanto, a energia se propaga ao longo da corda com a onda. Ou seja, a energia é transferida de uma região para outra à medida que a onda se move, mantendo a energia total constante na corda como um todo.
Resposta
Em resumo, tanto no sistema massa-mola quanto na onda em uma corda esticada, o deslocamento, a velocidade e a aceleração apresentam comportamento senoidal, com a aceleração estando em fase oposta ao deslocamento. A principal diferença está na transferência de energia: no sistema massa-mola a energia oscila entre cinética e potencial no mesmo ponto, enquanto na corda a energia é transportada ao longo da corda à medida que a onda se propaga.