3- Compare o limite de escoamento (em MPa) de uma amostra de cobre com diâmetro médio de grãos de 0,8 \mu \mathrm{~m} com outra com diâmetro médio de grãos de 80 nm , utilizando a equação de Hall Petch. Dados para o cobre: \sigma_{0}=25 \mathrm{MPa} e \mathrm{k}=0,11 \mathrm{MPa} \cdot \mathrm{m}^{1 / 2}

Passo 1

O enunciado pede para comparar a tensão de escoamento \sigma_y de duas amostras de cobre, usando a relação de Hall–Petch
\sigma_y = \sigma_0 + k\,d^{-1/2}
com \sigma_0 = 25 MPa e k = 0,11 MP a\cdot m^{1/2}, onde d é o diâmetro médio de grão. Vamos calcular \sigma_y para d_1 = 0,8, \mum e d_2 = 80 nm e depois comparar.

Passo 2

Convertemos os diâmetros para metros:
d_1 = 0,8\times10^{-6}\,\mathrm{m}
d_2 = 80\times10^{-9}\,\mathrm{m}
e em seguida calculamos d^{-1/2} para cada caso.

Passo 3

Para d_1:
d_1^{-1/2} = (0,8\times10^{-6})^{-1/2} = (0,8)^{-1/2}\times(10^{-6})^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{0,8}}\times10^{3} \approx 1{,}118\times10^{3}\,\mathrm{m}^{-1/2}.
Logo,
\sigma_{y1} = 25 + 0,11 \times 1{,}118\times10^{3} \approx 25 + 122{,}98 \approx 148\,\mathrm{MPa}.

Passo 4

Para d_2:
d_2^{-1/2} = (80\times10^{-9})^{-1/2} = (80)^{-1/2}\times(10^{-9})^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{80}}\times10^{4{,}5} \approx 3{,}537\times10^{3}\,\mathrm{m}^{-1/2}.
Logo,
\sigma_{y2} = 25 + 0,11 \times 3{,}537\times10^{3} \approx 25 + 389{,}07 \approx 414\,\mathrm{MPa}.

Passo 5

Comparando, vemos que a amostra com grãos de 80 nm tem
\sigma_{y2}\approx414\,\mathrm{MPa}
enquanto a de 0,8, \mum ficou em
\sigma_{y1}\approx148\,\mathrm{MPa}.
Ou seja, reduzir o tamanho de grão de 0{,}8, \mum para 80 nm quase triplica a tensão de escoamento.

Resposta

\sigma_{y1}\approx148 MPa e \sigma_{y2}\approx414 MPa. A amostra com grãos de 80 nm apresenta tensão de escoamento cerca de 2,8 vezes maior.

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