4- Uma amostra de titânio comercialmente puro possui limite de escoamento de 140 MPa . Estime o tamanho médio de grãos (em metros) a partir da equação de Hall Petch. Dados para o titânio: \sigma_{0}=80 \mathrm{MPa} \mathrm{e} \mathrm{k}=0,4 \mathrm{MPa} \cdot \mathrm{m}^{1 / 2}

Passo 1

O enunciado pede para estimar o tamanho médio de grãos d de um titânio comercialmente puro, sabendo que seu limite de escoamento é \sigma_s=140\\ \mathrm{MPa}. O conteúdo aqui é a relação de Hall–Petch, que conecta o limite de escoamento ao tamanho de grão através dos parâmetros \sigma_{0} e k.

Passo 2

A equação de Hall–Petch é
\sigma_s = \sigma_{0} + k\,d^{-\tfrac12}
onde \sigma_s é o limite de escoamento, \sigma_{0} é a tensão de base (sem refino de grão), k é o fator de endurecimento por grão,
e d é o diâmetro médio de grão.

Passo 3

Isolando d, temos
\sigma_s - \sigma_{0} \;=\; k\,d^{-\tfrac12} \quad\Longrightarrow\quad d^{-\tfrac12} = \frac{\sigma_s - \sigma_{0}}{k} \quad\Longrightarrow\quad d = \biggl(\frac{k}{\sigma_s - \sigma_{0}}\biggr)^{2}.

Passo 4

Substituindo os valores \sigma_s=140\\ \mathrm{MPa}, \sigma_{0}=80\\ \mathrm{MPa} e k=0,4\\ \mathrm{MPa}\cdot\mathrm{m}^{1/2}:
d = \biggl(\frac{0,4}{140 - 80}\biggr)^{2} = \biggl(\frac{0,4}{60}\biggr)^{2} = \bigl(0,0066667\bigr)^{2} \approx 4{,}44\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}.

Resposta

O tamanho médio de grão é aproximadamente
d \approx 4{,}4\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}.

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