Compare o raio de alcance da transmissão de modems LoRa de 915 MHz, WiFi de 2,4 \mathrm{GHz} e WiFi de 5 GHz. Calcule a máxima distância para uma atenuação ou perda de 75 dB utilizando a equação de perda pelo espaço livre abaixo paras os três tipos de modem ( f \mathrm{emHz}, d em metros e c=3.10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s} ).
\text { Perda }(\mathrm{dB})=10 \log _{10}\left[\left(\frac{4 \pi f d}{c}\right)^{2}\right]
WiFi de 5 GHz

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dado: equação da perda no espaço livre
\text{Perda (dB)}=10\log_{10}\left[\left(\frac{4\pi f d}{c}\right)^{2}\right].
  • Constante: c=3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • Perda desejada: \text{Perda}=75\\ \mathrm{dB}.
  • Frequências a comparar (vou usar essas exatamente):
    • LoRa: f=915\\ \mathrm{MHz}=915\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}.
    • WiFi: f=2{,}4\\ \mathrm{GHz}=2{,}4\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}.
    • WiFi: f=5\\ \mathrm{GHz}=5\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}.
  • Pedido: calcular a distância máxima d (em metros) para que a perda em espaço livre seja 75\\ \mathrm{dB}, para cada uma das três frequências.

Passo 2

Entender a fórmula e simplificar para resolver d.
Primeiro, usar a propriedade do log para simplificar a expressão:
\text{Perda}=10\log_{10}\left[\left(\frac{4\pi f d}{c}\right)^{2}\right] =20\log_{10}\left(\frac{4\pi f d}{c}\right).
Agora colocar \text{Perda}=L e isolar o argumento do log:
L=20\log_{10}\left(\frac{4\pi f d}{c}\right).
Dividindo por 20:
\log_{10}\left(\frac{4\pi f d}{c}\right)=\frac{L}{20}.
Aplicando 10^{(\cdot)} em ambos os lados:
\frac{4\pi f d}{c}=10^{L/20}.
Finalmente, isolando d:
d=\frac{c}{4\pi f}\;10^{L/20}.
Esta fórmula é a que vamos usar para substituir L=75 e cada f. Explico as variáveis:
  • d é a distância em metros que queremos.
  • c é a velocidade da luz em \mathrm{m/s}.
  • f é a frequência em \mathrm{Hz}.
  • L é a perda em \mathrm{dB}.

Passo 3

Calcular a parte numérica comum 10^{L/20} com L=75.
10^{L/20}=10^{75/20}=10^{3{,}75}\approx 5623{,}413251903491.
Em seguida, calcular o fator constante
K=\frac{c\cdot 10^{L/20}}{4\pi}=\frac{3\times10^{8}\cdot 10^{3{,}75}}{4\pi}.
Numericamente:
K\approx 1{,}3424011538780132\times10^{11}.
Então a fórmula prática é
d=\frac{K}{f},
com f em Hz e d em metros.

Passo 4

Calcular d para cada frequência substituindo f.
  1. LoRa 915\\ \mathrm{MHz}: f=915\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}.
d=\frac{1{,}3424011538780132\times10^{11}}{915\times10^{6}} \approx 146{,}7605734803281\\ \mathrm{m}.
Arredondando razoavelmente: d\approx 146{,}76\\ \mathrm{m}.
  1. WiFi 2{,}4\\ \mathrm{GHz}: f=2{,}4\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}.
d=\frac{1{,}3424011538780132\times10^{11}}{2{,}4\times10^{9}} \approx 55{,}9333814115847\\ \mathrm{m}.
Arredondando: d\approx 55{,}93\\ \mathrm{m}.
  1. WiFi 5\\ \mathrm{GHz}: f=5\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}.
d=\frac{1{,}3424011538780132\times10^{11}}{5\times10^{9}} \approx 26{,}848023077560263\\ \mathrm{m}.
Arredondando: d\approx 26{,}85\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Comentário didático e intuição rápida (não pula etapas):
  • A fórmula mostra d\propto 1/f quando a perda em dB é fixada: em frequências mais altas o mesmo nível de perda ocorre a distâncias menores.
  • Aqui LoRa ( 915\\ \mathrm{MHz}) permite, em espaço livre ideal, alcance maior que WiFi a 2{,}4\\ \mathrm{GHz} e muito maior que WiFi a 5\\ \mathrm{GHz} para a mesma perda de 75\\ \mathrm{dB}.
  • Observação prática: este cálculo é para espaço livre ideal (linha de visada, sem obstáculos). Em ambientes reais (paredes, folhagem, interferência, antenas com ganho/perdas, sensibilidade do receptor) os alcances reais serão diferentes.

Resposta

LoRa 915\\ \mathrm{MHz}: 146{,}76\\ \mathrm{m}
WiFi 2{,}4\\ \mathrm{GHz}: 55{,}93\\ \mathrm{m}
WiFi 5\\ \mathrm{GHz}: 26{,}85\\ \mathrm{m}

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