Compare o raio de alcance da transmissão de modems LoRa de 915 MHz, WiFi de 2,4 \mathrm{GHz} e WiFi de 5 GHz. Calcule a máxima distância para uma atenuação ou perda de 75 dB utilizando a equação de perda pelo espaço livre abaixo paras os três tipos de modem ( f \mathrm{emHz}, d em metros e c=3.10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s} ).
\text { Perda }(\mathrm{dB})=10 \log _{10}\left[\left(\frac{4 \pi f d}{c}\right)^{2}\right]
WiFi de 2,4 \mathrm{GHz}

Passo 1

O enunciado pede: comparar o raio de alcance (distância máxima) para uma perda de espaço livre de 75\\ \mathrm{dB} para três transmissores: LoRa de 915\\ \mathrm{MHz}, WiFi de 2,4\\ \mathrm{GHz} e WiFi de 5\\ \mathrm{GHz}. As informações relevantes fornecidas são:
  • A equação da perda pelo espaço livre:
\text{Perda}(\mathrm{dB}) = 10 \log_{10}\left[\left(\frac{4\pi f d}{c}\right)^{2}\right]
  • Frequências (vou converter para hertz):
    • LoRa: f = 915\\ \mathrm{MHz} = 915\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}.
    • WiFi 2,4 GHz: f = 2{,}4\\ \mathrm{GHz} = 2{,}4\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}.
    • WiFi 5 GHz: f = 5\\ \mathrm{GHz} = 5\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}.
  • Velocidade da luz fornecida: c = 3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • Valor alvo de perda: \text{Perda} = 75\\ \mathrm{dB}.

Passo 2

Primeiro transformar a fórmula para isolarmos a distância d. Usando propriedades de logaritmo:
\text{Perda} = 10 \log_{10}\left[\left(\frac{4\pi f d}{c}\right)^{2}\right] = 20 \log_{10}\!\left(\frac{4\pi f d}{c}\right).
Queremos d quando \text{Perda}=75\\ \mathrm{dB}. Então
75 = 20 \log_{10}\!\left(\frac{4\pi f d}{c}\right).
Dividindo por 20:
\log_{10}\!\left(\frac{4\pi f d}{c}\right) = \frac{75}{20} = 3{,}75.
Aplicando a potência de 10 nos dois lados:
\frac{4\pi f d}{c} = 10^{3{,}75}.
Isolando d:
d = \frac{c}{4\pi f}\;10^{3{,}75}.
Essa fórmula é prática: basta calcular o fator \dfrac{c}{4\pi f} para cada frequência e multiplicar por 10^{3{,}75}.

Passo 3

Calcular o fator numérico 10^{3{,}75}. Usando decomposição:
10^{3{,}75} = 10^{3}\cdot10^{0{,}75} = 1000\cdot10^{0{,}75}.
Numericamente,
10^{0{,}75}\approx 5{,}623413252,
portanto
10^{3{,}75}\approx 5623{,}413252.

Passo 4

Calcular o pré-fator \dfrac{c}{4\pi} (constante comum) para simplificar:
\frac{c}{4\pi} = \frac{3\times10^{8}}{4\pi} \approx \frac{3\times10^{8}}{12{,}566370614} \approx 2{,}3873\times10^{7}.
Agora multiplica-se por 10^{3{,}75}:
\frac{c}{4\pi}\cdot10^{3{,}75}\approx 2{,}3873\times10^{7}\times5623{,}413252 \approx 1{,}3417\times10^{11}.
Assim podemos escrever uma forma prática:
d \approx \frac{1{,}3417\times10^{11}}{f},
onde f está em hertz e d em metros.

Passo 5

Agora calcular d para cada frequência, substituindo f em hertz.
Para LoRa 915\\ \mathrm{MHz}:
f = 915\times10^{6}.
d \approx \frac{1{,}3417\times10^{11}}{915\times10^{6}} = \frac{1{,}3417}{915}\times10^{11-6} \approx 0{,}001467\times10^{5} = 146{,}7\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Para WiFi 2{,}4\\ \mathrm{GHz}:
f = 2{,}4\times10^{9}.
d \approx \frac{1{,}3417\times10^{11}}{2{,}4\times10^{9}} = \frac{1{,}3417}{2{,}4}\times10^{11-9} \approx 0{,}5590\times10^{2} = 55{,}90\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Para WiFi 5\\ \mathrm{GHz}:
f = 5\times10^{9}.
d \approx \frac{1{,}3417\times10^{11}}{5\times10^{9}} = \frac{1{,}3417}{5}\times10^{2} \approx 0{,}26834\times10^{2} = 26{,}834\\ \mathrm{m}\approx 26{,}8\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Interpretação didática e intuição: a fórmula mostra que, para a mesma perda em dB, a distância máxima varia inversamente com a frequência ( d\propto 1/f). Assim frequências mais baixas (915 MHz) têm maior alcance em espaço livre que frequências mais altas (2,4 GHz e 5 GHz). Observação prática: este cálculo assume propagação em espaço livre puro (sem obstáculos, sem ganho de antena, sem sensibilidade do receptor). Na prática, LoRa costuma alcançar distâncias muito maiores porque emprega taxas de dados baixas e alta sensibilidade do receptor; aqui estamos isolando apenas a perda pelo espaço livre (FSPL).

Resposta

LoRa 915\\ \mathrm{MHz}: 146{,}7\\ \mathrm{m}
WiFi 2{,}4\\ \mathrm{GHz}: 55{,}90\\ \mathrm{m}
WiFi 5\\ \mathrm{GHz}: 26{,}8\\ \mathrm{m}

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