Complete a tabela abaixo, conforme a equação para estabelecer os valores de dureza Brinel.
HB P(Kgf) D(mm) d(mm)
3000 10 1,964220017
300 10 0,805169563
40 1000 10
100 750 0,982113064
250 5 0,519451893
25 5 0,4

Passo 1

O enunciado pede que eu complete a tabela dos valores de dureza Brinell (HB) usando a equação que relaciona carga P (em \mathrm{kgf}), diâmetro da esfera de prova D (em \mathrm{mm}), e diâmetro da impressão d (em \mathrm{mm}). A tabela dada (com algumas células em branco) é:
\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline \text{HB} & P\;(\text{Kgf}) & D\;(\text{mm}) & d\;(\text{mm}) \\\ \hline \; & 3000 & 10 & 1{,}964220017 \\\ \hline 300 & \; & 10 & 0{,}805169563 \\\ \hline 40 & 1000 & 10 & \; \\\ \hline 100 & 750 & \; & 0{,}982113064 \\\ \hline \; & 250 & 5 & 0{,}519451893 \\\ \hline \; & 25 & 5 & 0{,}4 \\\ \hline \end{array}
Informações relevantes listadas:
  • Fórmula a usar (a equação típica do ensaio Brinell): relacionamento entre HB, P, D, d (vou apresentá-la e explicá-la no Passo 2).
  • Para cada linha: três valores conhecidos e um em branco — precisamos calcular o valor em branco em cada linha.
  • Atenção: todas as grandezas devem estar nas mesmas unidades (já estão: P em \mathrm{kgf}, D e d em \mathrm{mm}).
A resolução começar a partir do Passo 2.

Passo 2

Apresento a fórmula de dureza Brinell e explico cada termo, devagar e claro.
Fórmula:
HB=\frac{2P}{\pi D\bigl(D-\sqrt{D^{2}-d^{2}}\bigr)}.
Explicando cada símbolo:
  • HB é a dureza Brinell (número adimensional).
  • P é a carga aplicada, em \mathrm{kgf}.
  • D é o diâmetro da esfera de prova, em \mathrm{mm}.
  • d é o diâmetro da impressão deixada na peça, em \mathrm{mm}.
  • \pi é a constante 3{,}14159265…
Intuição física rápida (sem jargão): o denominador calcula a área efetiva de contato entre esfera e material via uma expressão geométrica ligada ao segmento de esfera; quanto menor for a impressão d para uma dada carga P, maior será a dureza HB.
Operações que usaremos dependendo do que estiver faltando:
  • Se falta HB: uso a fórmula direta acima.
  • Se falta P: isolo P:
P=\frac{HB\cdot\pi D\bigl(D-\sqrt{D^{2}-d^{2}}\bigr)}{2}.
  • Se falta d: primeiro isolamos A:=D-\sqrt{D^{2}-d^{2}}. Da fórmula,
A=\frac{2P}{\pi D\,HB}.
Com A conhecido, \sqrt{D^{2}-d^{2}}=D-A. Elevando ao quadrado e isolando d:
d=\sqrt{2AD-A^{2}}, \qquad\text{com }A=\frac{2P}{\pi D\,HB}.
  • Se falta D: a equação é não linear em D e, em geral, exige método numérico. Antes de tentar, sempre verifico se os dados são consistentes (há casos impossíveis — vou mostrar um exemplo mais adiante).
Agora aplico essas fórmulas linha a linha, com cálculos passo a passo.

Passo 3

Linha 1 (colunas: HB, P=3000, D=10, d=1{,}964220017). Aqui falta HB. Uso a fórmula direta.
Calcular d^{2}:
d^{2}=(1{,}964220017)^{2}\approx 3{,}858160275.
Calcular \sqrt{D^{2}-d^{2}}:
\sqrt{10^{2}-d^{2}}=\sqrt{100-3{,}858160275}=\sqrt{96{,}141839725}\approx 9{,}805194528.
Calcular D-\sqrt{D^{2}-d^{2}}:
10-9{,}805194528=0{,}194805472.
Calcular o denominador \pi D(D-\sqrt{\cdot}):
\pi\cdot 10\cdot 0{,}194805472 \approx 6{,}119994333.
Calcular HB=\dfrac{2P}{(\text{den})}:
HB=\frac{2\cdot 3000}{6{,}119994333}\approx 980{,}393407.
Portanto, para a linha 1: HB\approx 980{,}393407.

Passo 4

Linha 2 ( HB=300, P=\;, D=10, d=0{,}805169563). Falta P. Uso a fórmula isolada para P:
P=\frac{HB\cdot\pi D\bigl(D-\sqrt{D^{2}-d^{2}}\bigr)}{2}.
Calcular d^{2}:
d^{2}=(0{,}805169563)^{2}\approx 0{,}648298035.
Calcular \sqrt{D^{2}-d^{2}}:
\sqrt{100-0{,}648298035}=\sqrt{99{,}351701965}\approx 9{,}967535047.
Calcular D-\sqrt{\cdot}:
10-9{,}967535047=0{,}032464953.
Calcular \pi D(D-\sqrt{\cdot}):
\pi\cdot 10\cdot 0{,}032464953 \approx 1{,}019522750.
Calcular P:
P=\frac{300\cdot 1{,}019522750}{2}\approx 152{,}9284125.
Arredondando razoavelmente, P\approx 152{,}928413\\ \mathrm{kgf}.

Passo 5

Linha 3 ( HB=40, P=1000, D=10, d=\;). Falta d. Vou usar a dedução via A=\dfrac{2P}{\pi D\,HB} e depois d=\sqrt{2AD-A^{2}}.
Calcular A:
A=\frac{2P}{\pi D\,HB}=\frac{2\cdot 1000}{\pi\cdot 10\cdot 40}=\frac{2000}{400\pi}=\frac{5}{\pi}\approx 1{,}591549431.
Calcular d^{2}=2AD-A^{2}:
d^{2}=2\cdot A\cdot 10 - A^{2}=20A-A^{2}.
Substituindo A:
d^{2}=20\cdot 1{,}591549431-(1{,}591549431)^{2}\approx 29{,}29795903.
Calcular d:
d=\sqrt{29{,}29795903}\approx 5{,}412758953.
Portanto, para a linha 3: d\approx 5{,}412758953\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Linha 4 ( HB=100, P=750, D=\;, d=0{,}982113064). Aqui falta D. A equação original é implicitamente não linear em D. Antes de tentar qualquer iteração numérica, faço uma checagem de consistência matemática (essa verificação salva tempo e evita tentar resolver uma equação impossível).
Limite útil: quando D cresce muito (esfera muito grande), a expressão D\bigl(D-\sqrt{D^{2}-d^{2}}\bigr) tende a \dfrac{d^{2}}{2}. Portanto, o menor valor possível do denominador (sobre todas as escolhas de D) não existe — na verdade o denominador tende para \dfrac{\pi d^{2}}{2} quando D\to\infty. Isso implica um limite inferior para HB dado P e d:
HB_{\text{mín, assintótico}}=\frac{4P}{\pi d^{2}}.íó
Se o HB pedido for menor do que esse limite mínimo possível para os dados (P,d), então não existe valor real de D que satisfaça a equação.
Calculo esse limite para os dados da linha 4:
d^{2}=(0{,}982113064)^{2}\approx 0{,}964, \qquad (mais precisamente\;0{,}964\;aprox.).
Então
HB_{\text{mín}}\approx\frac{4\cdot 750}{\pi\cdot 0{,}964}\approx \frac{3000}{3{,}028}\approx 991\\ (\text{aprox.}).í
Observação crucial: para P=750 e d=0{,}982113064 a dureza Brinell mínima possível (mesmo permitindo D crescer sem limite) é aproximadamente 991. Mas o enunciado pede HB=100 — muito menor do que 991. Conclusão: não existe nenhum valor real de D que satisfaça a equação com esses P e d. Os dados são inconsistentes entre si: é impossível obter uma dureza HB=100 com P=750 e d=0{,}982113064.
Portanto a solução para a linha 4 não existe (dados inconsistentes) — devo marcar isso explicitamente.

Passo 7

Linha 5 ( HB=\;, P=250, D=5, d=0{,}519451893). Falta HB. Uso a fórmula direta HB=\dfrac{2P}{\pi D(D-\sqrt{D^{2}-d^{2}})}.
Calcular d^{2}:
d^{2}=(0{,}519451893)^{2}\approx 0{,}269830376.
Calcular (\sqrt{D{2}-d{2}}=\sqrt{25-0{,}269830376}=\sqrt{24{,}730169624}\approx 4{,}972963861.
]
Calcular D-\sqrt{\cdot}=5-4{,}972963861=0{,}027036139.
Calcular denominador \pi D(D-\sqrt{\cdot})=\pi\cdot 5\cdot 0{,}027036139\approx 0{,}424685921.
Calcular HB:
HB=\frac{2\cdot 250}{0{,}424685921}\approx \frac{500}{0{,}424685921}\approx 1\,177{,}496977.
Portanto, para a linha 5: HB\approx 1\,177{,}496977.)

Passo 8

Linha 6 ( HB=\;, P=25, D=5, d=0{,}4). Falta HB. Faço os cálculos passo a passo.
Calcular d^{2}=(0{,}4)^{2}=0{,}16.
Calcular \sqrt{D^{2}-d^{2}}=\sqrt{25-0{,}16}=\sqrt{24{,}84}\approx 4{,}983974292.
Calcular D-\sqrt{\cdot}=5-4{,}983974292=0{,}016025708.
Calcular denominador \pi D(D-\sqrt{\cdot})=\pi\cdot 5\cdot 0{,}016025708\approx 0{,}251748003.
Calcular HB:
HB=\frac{2\cdot 25}{0{,}251748003}=\frac{50}{0{,}251748003}\approx 198{,}572921.
Portanto, para a linha 6: HB\approx 198{,}572921.

Resposta

Linha 1: HB=980{,}393407,\; P=3000,\; D=10,\; d=1{,}964220017
Linha 2: HB=300,\; P=152{,}928413,\; D=10,\; d=0{,}805169563
Linha 3: HB=40,\; P=1000,\; D=10,\; d=5{,}412758953
Linha 4: sem solução (dados inconsistentes: não existe D real com HB=100, P=750, d=0{,}982113064)
Linha 5: HB=1\,177{,}496977,\; P=250,\; D=5,\; d=0{,}519451893
Linha 6: HB=198{,}572921,\; P=25,\; D=5,\; d=0{,}4

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