Complete a tabela abaixo, conforme a equação para estabelecer os valores de dureza Brinel.
HB
P(Kgf)
D(mm)
d(mm)
3000
10
1,964220017
300
10
0,805169563
40
1000
10
100
750
0,982113064
250
5
0,519451893
25
5
0,4
| HB | P(Kgf) | D(mm) | d(mm) |
| 3000 | 10 | 1,964220017 | |
| 300 | 10 | 0,805169563 | |
| 40 | 1000 | 10 | |
| 100 | 750 | 0,982113064 | |
| 250 | 5 | 0,519451893 | |
| 25 | 5 | 0,4 |
Passo 1
O enunciado pede que eu complete a tabela dos valores de dureza Brinell (HB) usando a equação que relaciona carga
(em
), diâmetro da esfera de prova
(em
), e diâmetro da impressão
(em
). A tabela dada (com algumas células em branco) é:
Informações relevantes listadas:
- Fórmula a usar (a equação típica do ensaio Brinell): relacionamento entre
, , , (vou apresentá-la e explicá-la no Passo 2). - Para cada linha: três valores conhecidos e um em branco — precisamos calcular o valor em branco em cada linha.
- Atenção: todas as grandezas devem estar nas mesmas unidades (já estão:
em , e em ).
A resolução começar a partir do Passo 2.
Passo 2
Apresento a fórmula de dureza Brinell e explico cada termo, devagar e claro.
Fórmula:
Explicando cada símbolo:
-
é a dureza Brinell (número adimensional). -
é a carga aplicada, em . -
é o diâmetro da esfera de prova, em . -
é o diâmetro da impressão deixada na peça, em . -
é a constante 3{,}14159265…
Intuição física rápida (sem jargão): o denominador calcula a área efetiva de contato entre esfera e material via uma expressão geométrica ligada ao segmento de esfera; quanto menor for a impressão
para uma dada carga
, maior será a dureza
.
Operações que usaremos dependendo do que estiver faltando:
- Se falta
: uso a fórmula direta acima. - Se falta
: isolo :
- Se falta
: primeiro isolamos . Da fórmula,
Com
conhecido,
. Elevando ao quadrado e isolando
:
- Se falta
: a equação é não linear em e, em geral, exige método numérico. Antes de tentar, sempre verifico se os dados são consistentes (há casos impossíveis — vou mostrar um exemplo mais adiante).
Agora aplico essas fórmulas linha a linha, com cálculos passo a passo.
Passo 3
Linha 1 (colunas:
,
,
,
). Aqui falta
. Uso a fórmula direta.
Calcular
:
Calcular
:
Calcular
:
Calcular o denominador
:
Calcular
:
Portanto, para a linha 1:
.
Passo 4
Linha 2 (
,
,
,
). Falta
. Uso a fórmula isolada para
:
Calcular
:
Calcular
:
Calcular
:
Calcular
:
Calcular
:
Arredondando razoavelmente,
.
Passo 5
Linha 3 (
,
,
,
). Falta
. Vou usar a dedução via
e depois
.
Calcular
:
Calcular
:
Substituindo
:
Calcular
:
Portanto, para a linha 3:
.
Passo 6
Linha 4 (
,
,
,
). Aqui falta
. A equação original é implicitamente não linear em
. Antes de tentar qualquer iteração numérica, faço uma checagem de consistência matemática (essa verificação salva tempo e evita tentar resolver uma equação impossível).
Limite útil: quando
cresce muito (esfera muito grande), a expressão
tende a
. Portanto, o menor valor possível do denominador (sobre todas as escolhas de
) não existe — na verdade o denominador tende para
quando
. Isso implica um limite inferior para
dado
e
:
Se o
pedido for menor do que esse limite mínimo possível para os dados
, então não existe valor real de
que satisfaça a equação.
Calculo esse limite para os dados da linha 4:
Então
Observação crucial: para
e
a dureza Brinell mínima possível (mesmo permitindo
crescer sem limite) é aproximadamente
. Mas o enunciado pede
— muito menor do que
. Conclusão: não existe nenhum valor real de
que satisfaça a equação com esses
e
. Os dados são inconsistentes entre si: é impossível obter uma dureza
com
e
.
Portanto a solução para a linha 4 não existe (dados inconsistentes) — devo marcar isso explicitamente.
Passo 7
Linha 5 (
,
,
,
). Falta
. Uso a fórmula direta
.
Calcular
:
Calcular (\sqrt{D{2}-d{2}}=\sqrt{25-0{,}269830376}=\sqrt{24{,}730169624}\approx 4{,}972963861.
]
]
Calcular
.
Calcular denominador
.
Calcular
:
Portanto, para a linha 5:
.)
Passo 8
Linha 6 (
,
,
,
). Falta
. Faço os cálculos passo a passo.
Calcular
.
Calcular
.
Calcular
.
Calcular denominador
.
Calcular
:
Portanto, para a linha 6:
.
Resposta
Linha 1:
Linha 2:
Linha 3:
Linha 4: sem solução (dados inconsistentes: não existe real com
,
,
)
Linha 5:
Linha 6:
Linha 2:
Linha 3:
Linha 4: sem solução (dados inconsistentes: não existe
Linha 5:
Linha 6: