(a) Explique por que o anel de latão da tampa de uma jarra de vidro irá afrouxar quando esta for aquecida. (b) Suponha que o anel seja feito de tungstênio em vez de latão. Qual será o efeito do aquecimento da tampa e da jarra? Por quê?
Dados: al do latão
; al do vidro
; al do tungstênio
Passo 1
O problema pede duas coisas:
(a) Explicar por que o anel de latão da tampa de uma jarra de vidro irá afrouxar quando a jarra (com tampa) for aquecida.
(b) Repetir a análise supondo que o anel seja de tungsténio em vez de latão — ou seja, qual será o efeito do aquecimento da tampa e da jarra e por quê?
Informações fornecidas (vou escrever as constantes em notação clara):
Passo 2
Princípio físico necessário (fórmula e significado das variáveis).
Quando um objeto é aquecido seu comprimento linear muda segundo a lei da dilatação linear:
onde
-
é a variação do comprimento (m ou mm), -
é o coeficiente de dilatação linear (unidade ), -
é o comprimento inicial à temperatura inicial (m ou mm), -
é a variação de temperatura (^\circ\mathrm{C}).
Explicação:
diz a fração de aumento de comprimento por grau. Por exemplo,
significa que a cada
o comprimento aumenta em
(ou
) do comprimento inicial.
Passo 3
Aplicando ao problema geométrico (circunferência da boca da jarra e do anel).
Se
é a circunferência inicial do encaixe (tanto do aro de vidro quanto do anel metálico, antes de aquecer), então ao aquecer
teremos:
Raciocínio: a circunferência também dilata linearmente com o mesmo coeficiente
(porque
e
dilata segundo
).
Passo 4
Critério físico para afrouxar ou apertar.
- O anel vai afrouxar se, após aquecer, a circunferência do anel ficar maior que a circunferência do vidro:
- Substituindo as expressões:
Logo, para o anel afrouxar basta que o coeficiente de dilatação linear do metal seja maior que o do vidro. Se
então o metal aumenta menos que o vidro e o encaixe tende a apertar.
Passo 5
Aplicando ao caso (a): latão vs vidro — comparação dos coeficientes.
Temos
Como
, pelo critério do passo anterior o anel de latão aumenta a sua circunferência mais do que a boca de vidro quando a temperatura sobe. Portanto, o anel afrouxa ao aquecer.
Para ter uma noção numérica (exemplo ilustrativo): a diferença de coeficientes por grau é
Se
(um aquecimento típico com água quente), a fração de diferença é
Isto é, o anel ficará com uma circunferência maior que a do vidro por uma fração
. Para uma circunferência inicial de
isso representa cerca de
— pequeno, mas suficiente para reduzir o aperto e deixar o anel girar mais facilmente.
Passo 6
Aplicando ao caso (b): tungsténio vs vidro — comparação dos coeficientes.
Temos
Agora
. Pelo critério do passo 4, isso significa que ao aquecer a circunferência do tungsténio aumenta menos que a do vidro; portanto a boca de vidro “alarga” mais que o anel, fazendo com que o anel relativo ao vidro fique mais justo — ou seja, o anel tende a apertar em relação ao vidro quando aquecido.
Exemplo numérico com
:
o que corresponde a uma redução relativa de
na folga. Para
isso dá cerca de
— novamente um valor pequeno, mas no sentido de apertar.
Passo 7
Observações práticas e física adicional (para a prova e intuição).
- O que realmente importa para o encaixe é a dilatação linear (ou radial) relativa entre anel e vidro — por isso comparámos os
. - Mesmo pequenas diferenças de dilatação podem ser suficientes para mudar se o anel fica fácil de girar ou não, porque a folga inicial costuma ser pequena.
- Se algum componente estiver rigidamente preso de modo que não possa acompanhar sua dilatação natural, surgirão tensões térmicas; por exemplo, se a peça de tungsténio estivesse completamente presa e o vidro se dilatasse mais, poderia haver risco de fratura do metal ou do vidro. Mas para o problema pedido a conclusão principal é sobre folga relativa.
- Resumindo de memória para a prova: se o metal tem
maior que o vidro → afrouxa ao aquecer; se menor → aperta ao aquecer.
Resposta
(a) O anel de latão afrouxa ao aquecer, porque
, logo o metal aumenta sua circunferência mais que o vidro.
(b) Com anel de tungsténio ele tende a apertar ao aquecer, porque , logo o vidro dilata-se relativamente mais que o tungsténio.
(b) Com anel de tungsténio ele tende a apertar ao aquecer, porque