(a) Explique por que o anel de latão da tampa de uma jarra de vidro irá afrouxar quando esta for aquecida. (b) Suponha que o anel seja feito de tungstênio em vez de latão. Qual será o efeito do aquecimento da tampa e da jarra? Por quê?
Dados: al do latão =20.10-6^{\circ} \mathrm{C}-1; al do vidro =9.10-6^{\circ} \mathrm{C}-1; al do tungstênio =4,5.10-6 { }^{\circ} \mathrm{C}-1

Passo 1

O problema pede duas coisas:
(a) Explicar por que o anel de latão da tampa de uma jarra de vidro irá afrouxar quando a jarra (com tampa) for aquecida.
(b) Repetir a análise supondo que o anel seja de tungsténio em vez de latão — ou seja, qual será o efeito do aquecimento da tampa e da jarra e por quê?
Informações fornecidas (vou escrever as constantes em notação clara):
\alpha_{\text{latão}} = 20\times 10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1},ã
\alpha_{\text{vidro}} = 9\times 10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1},
\alpha_{\text{tungsténio}} = 4{,}5\times 10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.é

Passo 2

Princípio físico necessário (fórmula e significado das variáveis).
Quando um objeto é aquecido seu comprimento linear muda segundo a lei da dilatação linear:
\Delta L = \alpha\, L_0\, \Delta T,
onde
  • \Delta L é a variação do comprimento (m ou mm),
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear (unidade ^\circ\mathrm{C}^{-1}),
  • L_0 é o comprimento inicial à temperatura inicial (m ou mm),
  • \Delta T é a variação de temperatura (^\circ\mathrm{C}).
Explicação: \alpha diz a fração de aumento de comprimento por grau. Por exemplo, \alpha=20\times10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1} significa que a cada 1^\circ\mathrm{C} o comprimento aumenta em 20\times10^{-6} (ou 0{,}002\%) do comprimento inicial.

Passo 3

Aplicando ao problema geométrico (circunferência da boca da jarra e do anel).
Se C_0 é a circunferência inicial do encaixe (tanto do aro de vidro quanto do anel metálico, antes de aquecer), então ao aquecer \Delta T teremos:
C_{\text{metal}} = C_0\bigl(1+\alpha_{\text{metal}}\,\Delta T\bigr),
C_{\text{vidro}} = C_0\bigl(1+\alpha_{\text{vidro}}\,\Delta T\bigr).
Raciocínio: a circunferência também dilata linearmente com o mesmo coeficiente \alpha (porque C=2\pi r e r dilata segundo \alpha).

Passo 4

Critério físico para afrouxar ou apertar.
  • O anel vai afrouxar se, após aquecer, a circunferência do anel ficar maior que a circunferência do vidro:
C_{\text{metal}} > C_{\text{vidro}}.
  • Substituindo as expressões:
C_0(1+\alpha_{\text{metal}}\Delta T) > C_0(1+\alpha_{\text{vidro}}\Delta T)
\Longrightarrow \alpha_{\text{metal}} > \alpha_{\text{vidro}}.
Logo, para o anel afrouxar basta que o coeficiente de dilatação linear do metal seja maior que o do vidro. Se \alpha_{\text{metal}}<\alpha_{\text{vidro}} então o metal aumenta menos que o vidro e o encaixe tende a apertar.

Passo 5

Aplicando ao caso (a): latão vs vidro — comparação dos coeficientes.
Temos
\alpha_{\text{latão}} = 20\times10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1} \quad\text{e}\quad \alpha_{\text{vidro}} = 9\times10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.ã
Como \alpha_{\text{latão}}>\alpha_{\text{vidro}}ã, pelo critério do passo anterior o anel de latão aumenta a sua circunferência mais do que a boca de vidro quando a temperatura sobe. Portanto, o anel afrouxa ao aquecer.
Para ter uma noção numérica (exemplo ilustrativo): a diferença de coeficientes por grau é
\alpha_{\text{latão}}-\alpha_{\text{vidro}} = (20-9)\times10^{-6}=11\times10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.ã
Se \Delta T=30^\circ\mathrm{C} (um aquecimento típico com água quente), a fração de diferença é
(\alpha_{\text{latão}}-\alpha_{\text{vidro}})\Delta T = 11\times10^{-6}\times30 = 330\times10^{-6} = 3{,}3\times10^{-4}.ã
Isto é, o anel ficará com uma circunferência maior que a do vidro por uma fração \approx 0{,}033\%. Para uma circunferência inicial de C_0=100\\ \mathrm{mm} isso representa cerca de 0{,}033\\ \mathrm{mm} — pequeno, mas suficiente para reduzir o aperto e deixar o anel girar mais facilmente.

Passo 6

Aplicando ao caso (b): tungsténio vs vidro — comparação dos coeficientes.
Temos
\alpha_{\text{tungsténio}} = 4{,}5\times10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1} \quad\text{e}\quad \alpha_{\text{vidro}} = 9\times10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.é
Agora \alpha_{\text{tungsténio}}<\alpha_{\text{vidro}}é. Pelo critério do passo 4, isso significa que ao aquecer a circunferência do tungsténio aumenta menos que a do vidro; portanto a boca de vidro “alarga” mais que o anel, fazendo com que o anel relativo ao vidro fique mais justo — ou seja, o anel tende a apertar em relação ao vidro quando aquecido.
Exemplo numérico com \Delta T=30^\circ\mathrm{C}:
(\alpha_{\text{tungsténio}}-\alpha_{\text{vidro}})\Delta T = (4{,}5-9)\times10^{-6}\times30 = -4{,}5\times10^{-6}\times30 = -135\times10^{-6} = -1{,}35\times10^{-4},é
o que corresponde a uma redução relativa de \approx 0{,}0135\% na folga. Para C_0=100\\ \mathrm{mm} isso dá cerca de -0{,}0135\\ \mathrm{mm} — novamente um valor pequeno, mas no sentido de apertar.

Passo 7

Observações práticas e física adicional (para a prova e intuição).
  • O que realmente importa para o encaixe é a dilatação linear (ou radial) relativa entre anel e vidro — por isso comparámos os \alpha.
  • Mesmo pequenas diferenças de dilatação podem ser suficientes para mudar se o anel fica fácil de girar ou não, porque a folga inicial costuma ser pequena.
  • Se algum componente estiver rigidamente preso de modo que não possa acompanhar sua dilatação natural, surgirão tensões térmicas; por exemplo, se a peça de tungsténio estivesse completamente presa e o vidro se dilatasse mais, poderia haver risco de fratura do metal ou do vidro. Mas para o problema pedido a conclusão principal é sobre folga relativa.
  • Resumindo de memória para a prova: se o metal tem \alpha maior que o vidro → afrouxa ao aquecer; se \alpha menor → aperta ao aquecer.

Resposta

(a) O anel de latão afrouxa ao aquecer, porque \alpha_{\text{latão}}=20\times10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}>\alpha_{\text{vidro}}=9\times10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}ã, logo o metal aumenta sua circunferência mais que o vidro.
(b) Com anel de tungsténio ele tende a apertar ao aquecer, porque \alpha_{\text{tungsténio}}=4{,}5\times10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}<\alpha_{\text{vidro}}é, logo o vidro dilata-se relativamente mais que o tungsténio.

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