(1,8) - Um componente da asa de um avião fabricado em Liga de Aluminio (2024-T3) está sujeito à fratura em deformação plana.
Foi determinado que a fratura deverá ocorrer quando o comprimento máximo de uma trinca interna atingir 4,0 \mathrm{~mm}. A fratura deve ocorrer abaixo do limite de escoamento, portanto foi adotado um Fator de Segurança \mathrm{N}=2 para a Tensăo de Projeto (admissivel).
Para esse mesmo componente e essa mesma liga, calcule o nivel de tensăo no qual a fratura ocorrerá para um comprimento crítico de trinca interna de 3,0 \mathrm{~mm}.
Para resolução desse exercício, consulte a Tabela 8.1 em anexo:
Fazer o arredondamento final (resposta) para duas casas decimais.
Resposta: \sigma_{c}= \_\_\_\_ М р аМра

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Liga: 2024\text{-}T3.
  • Tipo de fratura: fratura em deformação plana (portanto vale o critério de fratura por mecânica linear da fratura).
  • Foi determinado que a fratura ocorrerá quando o comprimento máximo da trinca interna atingir 4{,}0\\ \mathrm{mm}.
  • Para garantir que a fratura ocorra abaixo do limite de escoamento, foi adotado um fator de segurança N=2 para a tensão de projeto (tensão admissível).
  • Pergunta: para o mesmo componente e mesma liga, calcule o nível de tensão no qual a fratura ocorrerá quando o comprimento crítico da trinca interna for 3{,}0\\ \mathrm{mm}.
Dados usados da Tabela 8.1 (peguei essa informação na Tabela 8.1 em anexo): limite de escoamento \sigma_y = 324{,}0\\ \mathrm{MPa}.

Passo 2

Explicação do método (princípio físico e fórmulas usadas), com linguagem didática e sem pular etapas.
  • Na mecânica linear da fratura, a fratura ocorre quando o fator de intensidade de tensões K_I atinge a tenacidade à fratura do material K_{IC}. Isso se escreve:
K_I = K_{IC}.
  • Para um tipo comum de trinca (utilizaremos a expressão padrão que relaciona tensão uniforme remota com o fator de intensidade), vale a fórmula
K_I = Y\,\sigma\,\sqrt{\pi a},
onde:
  • \sigma é a tensão média remota que causa a abertura da trinca (o que queremos encontrar),
  • a é o parâmetro geométrico de comprimento da trinca usado na expressão (no nosso raciocínio usamos a mesma definição de comprimento para os dois casos do enunciado, de modo que a razão entre comprimentos seja consistente),
  • Y é um fator adimensional que depende da geometria da peça e da posição da trinca (bordo, central, interna, etc.). Importante: se a geometria e o tipo de trinca não mudam entre os dois casos (comprimentos 4{,}0\\ \mathrm{mm} e 3{,}0\\ \mathrm{mm}), então Y é o mesmo nos dois casos e vai se cancelar na razão que usaremos.
  • Como o enunciado diz que, para o comprimento 4{,}0\\ \mathrm{mm}, a fratura ocorre com a tensão admissível (projetada) obtida aplicando o fator de segurança sobre o limite de escoamento, temos:
\sigma_{\text{adm}}=\frac{\sigma_y}{N}.
  • Pelo critério de fratura no primeiro caso (comprimento 4{,}0\\ \mathrm{mm}):
K_{IC}=Y\,\sigma_{\text{adm}}\,\sqrt{\pi a_1},
com a_1=4{,}0\\ \mathrm{mm} (usando a mesma definição de a para os dois casos).
  • No segundo caso (comprimento crítico a_2=3{,}0\\ \mathrm{mm}) a fratura ocorrerá quando
K_{IC}=Y\,\sigma_c\,\sqrt{\pi a_2},
onde \sigma_c é a tensão que queremos achar.
  • Igualando as duas expressões para K_{IC} e eliminando K_{IC} e Y (já que são os mesmos nos dois casos), obtemos uma relação simples entre \sigma_c e \sigma_{\text{adm}}:
Y\,\sigma_{\text{adm}}\,\sqrt{\pi a_1}=Y\,\sigma_c\,\sqrt{\pi a_2}
\Rightarrow \sigma_c = \sigma_{\text{adm}}\,\sqrt{\dfrac{a_1}{a_2}}.
Observação didática: essa simplificação é muito útil na prova porque elimina a necessidade de conhecer explicitamente K_{IC} e Y — basta que as condições geométricas e o tipo de trinca sejam os mesmos nos dois cenários.

Passo 3

Substitua \sigma_{\text{adm}}=\dfrac{\sigma_y}{N} na fórmula obtida:
\sigma_c = \frac{\sigma_y}{N}\,\sqrt{\dfrac{a_1}{a_2}}.
Expliquei o que cada símbolo significa: \sigma_y = limite de escoamento (pego da tabela), N = fator de segurança, a_1 e a_2 = comprimentos da trinca nos dois cenários.

Passo 4

Agora vamos colocar os valores numéricos. Relembrando os valores que vamos usar (todos obtidos ou dados no enunciado/tabela):
  • \sigma_y = 324{,}0\\ \mathrm{MPa} (peguei da Tabela 8.1).
  • N = 2.
  • a_1 = 4{,}0\\ \mathrm{mm}.
  • a_2 = 3{,}0\\ \mathrm{mm}.
Importante sobre unidades: como estamos usando a razão \sqrt{a_1/a_2}, não é necessário converter \mathrm{mm} para \mathrm{m} — a razão é adimensional e independe da unidade escolhida (desde que as duas estejam na mesma unidade).

Passo 5

Faça as contas, passo a passo e de forma explícita:
  • Primeiro calcule a tensão admissível:
\sigma_{\text{adm}}=\frac{\sigma_y}{N}=\frac{324{,}0}{2}=162{,}0\\ \mathrm{MPa}.
  • Em seguida calcule a razão de comprimentos e sua raiz:
\frac{a_1}{a_2}=\frac{4{,}0}{3{,}0}=1{,}333\ldots
\sqrt{\dfrac{a_1}{a_2}}=\sqrt{1{,}333\ldots}=1{,}154700\ldots
  • Finalmente, multiplique para obter \sigma_c:
\sigma_c = 162{,}0 \times 1{,}154700\ldots = 187{,}00\\ \mathrm{MPa}\\ (\text{aproximado}).

Resposta

\sigma_c=187{,}00\\ \mathrm{MPa}

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