(1,6) - Um componente estrutural na forma de uma chapa com grande largura deve ser fabricado em aluminio, que possui uma tenacidade à fratura em deformação plana de 24,0 \mathrm{MPaV} \mathrm{m} \mathrm{e} \mathrm{um} \mathrm{limite} \mathrm{de} escoamento de 495 MPa . O limite de resoluçăo do aparelho de detecçảo de defétos é de 5,0 \mathrm{~mm}, ou seja, năo é possivel detectar defeitos menores que 5,0 \mathrm{~mm}.
Considerando-se o valor de \mathrm{Y}=1,0 \mathrm{e} um Fator de Segurança \mathrm{N}=2, responda se um defeito critico para esta chapa nessas condições é ou nâo passivel de detecção.

(Justifique sua resposta através de cálculos)

Fazer o arredondamento final (resposta) para très casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se um defeito crítico nesta chapa é passível de detecção pelo aparelho, justificando por cálculos.
Dados fornecidos:
  • Tenacidade à fratura em deformação plana: \;K_{IC}=24,0\\ \mathrm{MPa}\sqrt{\mathrm{m}}.\n
  • Limite de escoamento: \;\sigma_Y=495\\ \mathrm{MPa}.\n
  • Limite de resolução do detector (defeitos menores não detectáveis): \;5,0\\ \mathrm{mm}.\n
  • Fator geométrico: \;Y=1,0.\n
  • Fator de segurança: \;N=2.\n

Passo 2

O que vamos calcular: o tamanho crítico do defeito (semi‑eixo do centro do crack ou meia‑fenda típica usada na fórmula) abaixo do qual o material resiste sem fraturar para a tensão de projeto. Depois comparamos esse tamanho crítico com o limite de detecção de \;5,0\\ \mathrm{mm} para decidir se o defeito crítico é detectável. Vou explicar as fórmulas usadas e cada passo numérico com calma.

Passo 3

Conceito e fórmula central (pequena aula): na mecânica da fratura linear elástica, o fator de intensidade de tensões na ponta do defeito em modo I (abertura) é dado por
K_I = Y\,\sigma\,\sqrt{\pi a},
onde:
  • \;K_I é o fator de intensidade de tensões (unidade \mathrm{MPa}\sqrt{\mathrm{m}}),
  • \;Y é um fator adimensional que depende da geometria do defeito e do componente, aqui dado como \;Y=1,0,
  • \;\sigma é a tensão aplicada (unidade \mathrm{MPa}),
  • \;a é o tamanho característico do defeito (em metros) — para várias geometrias a representa a meia‑fenda ou semi‑eixo.
Um defeito torna‑se crítico quando \;K_I atinge a tenacidade \;K_{IC}. Para segurança a ser aplicada usaremos o fator de segurança \;N, reduzindo a tenacidade disponível efetiva para \;K_{IC}/N. Assim a condição crítica de projeto é
Y\,\sigma\,\sqrt{\pi a_\text{crítico}}=\frac{K_{IC}}{N}.í

Passo 4

Escolha da tensão \sigma a usar: para verificar se um defeito que provoque fratura antes do limite permitido, usamos a tensão de projeto. O enunciado fornece o limite de escoamento \sigma_Y e um fator de segurança N. A prática de projeto típica é usar a tensão de projeto igual a \sigma_Y/N (ou seja, dimensionar de modo que a tensão de serviço seja menor que o escoamento por N). Portanto tomaremos
\sigma=\frac{\sigma_Y}{N}.
Numericamente:
\sigma=\frac{495\\ \mathrm{MPa}}{2}=247{,}5\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

Isolando \;a_\text{crítico}í da condição crítica:
Y\,\sigma\,\sqrt{\pi a_\text{crítico}}=\frac{K_{IC}}{N}í
\sqrt{\pi a_\text{crítico}}=\frac{K_{IC}}{N\,Y\,\sigma}í
\pi a_\text{crítico}=\left(\frac{K_{IC}}{N\,Y\,\sigma}\right)^{2}í
a_\text{crítico}=\frac{1}{\pi}\left(\frac{K_{IC}}{N\,Y\,\sigma}\right)^{2}.í
Agora substituímos os valores conhecidos.

Passo 6

Substituindo os números (atenção às unidades: K_{IC} em \mathrm{MPa}\sqrt{\mathrm{m}}, \sigma em \mathrm{MPa}, \pi adimensional — o resultado sai em metros):
a_\text{crítico}=\frac{1}{\pi}\left(\frac{24{,}0}{2\cdot 1{,}0\cdot 247{,}5}\right)^{2}\\ \text{(metros)}.í
Calcule passo a passo:
\frac{K_{IC}}{N\,Y\,\sigma}=\frac{24{,}0}{2\cdot 1{,}0\cdot 247{,}5}=\frac{24{,}0}{495}= \frac{48}{990}=\frac{16}{330}=\frac{16}{165}\approx 0{,}0969697.
Agora o quadrado:
\left(\frac{16}{165}\right)^{2}=\frac{256}{27225}\approx 0{,}00940307.
Dividindo por \pi:
a_\text{crítico}=\frac{256}{27225\pi}\approx \frac{0{,}00940307}{3{,}14159265}\approx 0{,}002992943\\ \text{m}.í

Passo 7

Converter para milímetros e arredondar a três casas decimais (requisito do enunciado): multiplicamos por 1000:
a_\text{crítico}\approx 0{,}002992943\\ \mathrm{m}=2{,}993\\ \mathrm{mm}\\ (\text{arredondado\\ para\\ três\\ casas}).íê

Passo 8

Comparação com o limite de detecção: o detector só vê defeitos \ge 5{,}0\\ \mathrm{mm}. Como
2{,}993\\ \mathrm{mm}<5{,}0\\ \mathrm{mm},
o defeito crítico calculado é menor que o limite de resolução do aparelho, logo não é passível de detecção pelo detector dado.

Resposta

a_\text{crítico}=2{,}993\\ \mathrm{mm}í
Não — o defeito crítico não é passível de detecção, pois 2{,}993\\ \mathrm{mm}<5{,}000\\ \mathrm{mm}.

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