Um componente eletrônico é conhecido por ter suas vida útil representada por uma f.d.p. exponencial com tempo médio de falha E(X) de 10^{5} horas. Suponha que desejamos determinar a fração de componentes que poderão falhar antes da vida média ou valor esperado. 0,6321

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Dado: a vida útil do componente segue uma f.d.p. exponencial com tempo médio de falha E(X)=10^{5} horas.
  • Pedido: determinar a fração (probabilidade) de componentes que irão falhar antes da vida média E(X); ou seja, calcular P\big(X < E(X)\big).

Passo 2

Relembrando a definição e a relação que vamos usar (explicação passo a passo):
  • A f.d.p. (densidade de probabilidade) da distribuição exponencial é
f(x)=\lambda e^{-\lambda x},\qquad x\ge 0,
onde \lambda>0 é a taxa de falha. Aqui cada símbolo significa:
  • \lambda: taxa de ocorrência de falhas por hora (unidade: horas^{-1});
  • x: tempo de vida do componente (horas);
  • f(x): densidade de probabilidade em x.
  • O valor esperado (média) da exponencial está relacionado com \lambda por
E(X)=\frac{1}{\lambda}.
Isto significa que, para um tempo médio dado, podemos obter \lambda invertendo essa relação.

Passo 3

Encontrar \lambda a partir do dado E(X)=10^{5}:
\lambda=\frac{1}{E(X)}=\frac{1}{10^{5}}.

Passo 4

Calcular a probabilidade pedida usando a função distribuição acumulada (CDF) da exponencial:
  • A CDF da exponencial é
F(x)=P(X\le x)=1-e^{-\lambda x},\qquad x\ge 0.
  • Queremos P\big(X < E(X)\big). Para a exponencial contínua P(X<E(X))=P(X\le E(X)), logo
P\big(X<E(X)\big)=F\big(E(X)\big)=1-e^{-\lambda E(X)}.
  • Substituindo \lambda=\dfrac{1}{10^{5}} e E(X)=10^{5}:
-\lambda E(X)=-\frac{1}{10^{5}}\cdot 10^{5}=-1,
portanto
P\big(X<E(X)\big)=1-e^{-1}.

Passo 5

Derivação alternativa (pra reforçar; integral da densidade):
P\big(0\le X<E(X)\big)=\int_{0}^{E(X)} \lambda e^{-\lambda x}\,dx = \big[-e^{-\lambda x}\big]_{0}^{E(X)} = 1-e^{-\lambda E(X)},
que leva à mesma expressão 1-e^{-1}.

Passo 6

Cálculo numérico e interpretação:
  • Sabendo que e^{-1}\approx 0{,}367879\ldots, temos
P\big(X<E(X)\big)=1-e^{-1}\approx 1-0{,}367879\ldots = 0{,}632120\ldots
  • Arredondando para quatro casas decimais (como pedido no enunciado): 0{,}6321.
  • Interpretação rápida e amigável: para uma distribuição exponencial com média 10^{5} horas, cerca de 63{,}21\% dos componentes vão falhar antes de atingir a vida média — isso é normal para a exponencial, pois a média fica acima da mediana.

Resposta

0,6321

Exercícios relacionados