Um componente eletrônico é conhecido por ter suas vida útil representada por uma f.d.p. exponencial com tempo médio de falha
de
horas. Suponha que desejamos determinar a fração de componentes que poderão falhar antes da vida média ou valor esperado. 0,6321
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Dado: a vida útil do componente segue uma f.d.p. exponencial com tempo médio de falha
horas. - Pedido: determinar a fração (probabilidade) de componentes que irão falhar antes da vida média
; ou seja, calcular .
Passo 2
Relembrando a definição e a relação que vamos usar (explicação passo a passo):
- A f.d.p. (densidade de probabilidade) da distribuição exponencial é
onde
é a taxa de falha. Aqui cada símbolo significa:
-
: taxa de ocorrência de falhas por hora (unidade: horas^{-1}); -
: tempo de vida do componente (horas); -
: densidade de probabilidade em . - O valor esperado (média) da exponencial está relacionado com
por
Isto significa que, para um tempo médio dado, podemos obter
invertendo essa relação.
Passo 3
Encontrar
a partir do dado
:
Passo 4
Calcular a probabilidade pedida usando a função distribuição acumulada (CDF) da exponencial:
- A CDF da exponencial é
- Queremos
. Para a exponencial contínua , logo
- Substituindo
e :
portanto
Passo 5
Derivação alternativa (pra reforçar; integral da densidade):
que leva à mesma expressão
.
Passo 6
Cálculo numérico e interpretação:
- Sabendo que
, temos
- Arredondando para quatro casas decimais (como pedido no enunciado):
. - Interpretação rápida e amigável: para uma distribuição exponencial com média
horas, cerca de dos componentes vão falhar antes de atingir a vida média — isso é normal para a exponencial, pois a média fica acima da mediana.