Verificar se f(x)=\left\{\begin{array}{cl}2 x+3 & , \text { se } 0<x \leq 2 \\\\ 0 & , \text { caso contrário }\end{array}\right. é uma função densidade de probabilidade
A pergunta é: verificar se f é uma função densidade de probabilidade (pdf).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Para x em (0,2] temos f(x)=2x+3.
Para x\le 0 ou x>2 temos f(x)=0.]
Passo 2
Relembrando (com calma) o que é preciso para f ser uma pdf: duas condições obrigatórias:
Não-negatividade: \,f(x)\ge 0 para todo x\in\mathbb{R}.
Isso garante que não existem “probabilidades negativas”.
Normalização: a integral da densidade sobre toda a linha real deve ser 1:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Intuitivamente, a soma (ou integral) de todas as probabilidades tem que ser 100%, ou seja 1.
Vou checar as duas condições, uma de cada vez.
Passo 3
Checando a não-negatividade:
Para x\le 0 ou x>2 temos f(x)=0, que é não-negativo.
Para x em (0,2] temos f(x)=2x+3. Esta é uma função linear com coeficiente angular 2>0, logo é crescente. O menor valor nessa faixa ocorre quando x se aproxima de 0 pela direita, e vale \lim_{x\to0^+}(2x+3)=3. Em x=2 vale 2\cdot2+3=7. Portanto em (0,2] temos f(x)\ge 3>0.
Conclusão: \,f(x)\ge 0 para todo x, logo a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
Agora a normalização: calcular a integral de f em toda a reta. Como f(x)=0 fora de (0,2], basta integrar em [0,2] (o valor em x=0 não altera a integral):
Logo \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 10.
Passo 5
Interpretação e conclusão: a integral total deu [10), não deu 1. Assim a segunda condição para ser pdf (normalização) NÃO é satisfeita. Mesmo sendo não-negativa, a função não é uma densidade porque a massa total de probabilidade é 10, não 1.
Uma observação prática (para a prova): para transformar f numa pdf basta normalizá-la dividindo por 10. Ou seja, a função