Verificar se f(x)=\left\{\begin{array}{cl}2 x+3 & , \text { se } 0<x \leq 2 \\\\ 0 & , \text { caso contrário }\end{array}\right.á é uma função densidade de probabilidade

Passo 1

O enunciado dá a função definida por partes
f(x)=\begin{cases} 2x+3, & \text{se } 0<x\le 2,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}á
A pergunta é: verificar se f é uma função densidade de probabilidade (pdf).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Para x em (0,2] temos f(x)=2x+3.
  • Para x\le 0 ou x>2 temos f(x)=0.]

Passo 2

Relembrando (com calma) o que é preciso para f ser uma pdf: duas condições obrigatórias:
  1. Não-negatividade: \,f(x)\ge 0 para todo x\in\mathbb{R}.
    • Isso garante que não existem “probabilidades negativas”.
  2. Normalização: a integral da densidade sobre toda a linha real deve ser 1:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
  • Intuitivamente, a soma (ou integral) de todas as probabilidades tem que ser 100%, ou seja 1.
Vou checar as duas condições, uma de cada vez.

Passo 3

Checando a não-negatividade:
  • Para x\le 0 ou x>2 temos f(x)=0, que é não-negativo.
  • Para x em (0,2] temos f(x)=2x+3. Esta é uma função linear com coeficiente angular 2>0, logo é crescente. O menor valor nessa faixa ocorre quando x se aproxima de 0 pela direita, e vale \lim_{x\to0^+}(2x+3)=3. Em x=2 vale 2\cdot2+3=7. Portanto em (0,2] temos f(x)\ge 3>0.
    Conclusão: \,f(x)\ge 0 para todo x, logo a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

Agora a normalização: calcular a integral de f em toda a reta. Como f(x)=0 fora de (0,2], basta integrar em [0,2] (o valor em x=0 não altera a integral):
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{0}^{2} (2x+3)\,dx.
Calculo passo a passo da integral:
  • A primitiva de 2x é x^{2}, porque \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x.
  • A primitiva de 3 é 3x, porque \dfrac{d}{dx}(3x)=3.
    Portanto uma primitiva de 2x+3 é x^{2}+3x. Avaliando de 0 a 2:
\int_{0}^{2} (2x+3)\,dx = \bigl[x^{2}+3x\bigr]_{0}^{2} = (2^{2}+3\cdot 2) - (0^{2}+3\cdot 0) = 4+6 = 10.
Logo \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 10.

Passo 5

Interpretação e conclusão: a integral total deu [10), não deu 1. Assim a segunda condição para ser pdf (normalização) NÃO é satisfeita. Mesmo sendo não-negativa, a função não é uma densidade porque a massa total de probabilidade é 10, não 1.
Uma observação prática (para a prova): para transformar f numa pdf basta normalizá-la dividindo por 10. Ou seja, a função
g(x)=\begin{cases} \dfrac{2x+3}{10}, & 0<x\le 2,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário}, \end{cases}á
é uma densidade, porque é não-negativa e integra (1].
Força aí — estava tudo certo na verificação, só faltou a normalização.]

Resposta

Não — \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 10 \neq 1.

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