Um componente de material polimérico ( \mathrm{E}=2 \mathrm{GPa} ) com \mathrm{d}=150 \mathrm{~mm} \mathrm{e} \mathrm{L}=200 mm está fixado a uma barra de latão ( \mathrm{E}=100 \mathrm{GPa} ) com \mathrm{d}=45 \mathrm{~mm} \mathrm{e} \mathrm{L}=400 \mathrm{~mm}. Existe uma folga de 0,15 \mathrm{~mm} entre eles. Se forem inseridos e apertados parafusos para suprimir a folga, determine:
a) As tensões axiais produzidas em cada elemento.
b) A posição final da interface flange-polímero em relação ao apoio esquerdo depois de o conjunto ser montado.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Determinar as tensões axiais em cada elemento após a folga ser suprimida pelos parafusos.
  • (b) Determinar a posição final da interface flange–polímero em relação ao apoio esquerdo depois do conjunto montado.
Dados fornecidos (retirei os valores do enunciado e da figura):
\begin{aligned} &\text{Polímero:}\quad d_p=150\\ \mathrm{mm},\quad L_p=200\\ \mathrm{mm},\quad E_p=2\\ \mathrm{GPa}\\\ &\text{Latão:}\quad d_b=45\\ \mathrm{mm},\quad L_b=400\\ \mathrm{mm},\quad E_b=100\\ \mathrm{GPa}\\\ &\text{Folga:}\quad g=0{,}15\\ \mathrm{mm} \end{aligned}íã
Observações importantes sobre o problema (só identificar, sem resolver ainda):
  • As duas peças ficam apoiadas nas extremidades opostas (apoio esquerdo fixa a peça de polímero; apoio direito fixa a barra de latão) e há uma folga inicial g entre as faces internas. Ao fechar essa folga com os parafusos as faces entram em contato e as peças sofrerão deformações axiais para acomodar a eliminação da folga.
  • Haverá uma única força axial de contato P que atua em cada peça (mesmo módulo, sentidos opostos), isto é, as peças estão em série na linha de força axial.

Passo 2

Estratégia de resolução (por que este método):
  • Usaremos equilíbrio (força interna igual em ambas as peças) e compatibilidade de deformações. Em problemas de peças em série com extremidades fixas e uma folga inicial, a soma das variações de comprimento das peças deve igualar a folga eliminada.
  • Fórmulas fundamentais (vou explicá‑las e depois aplicar com números):
    1. Deformação axial (alongamento/encurtamento) de uma barra submetida a uma força axial P: \delta = \frac{P\,L}{A\,E}onde P é a força axial (N), L é o comprimento (mm), A é a área da seção transversal (mm^2) e E é o módulo de elasticidade (N/mm^2).
      Explicação: essa fórmula vem da relação \varepsilon=\sigma/E com \sigma=P/A e \delta=\varepsilon L.
    2. Tensão axial: \sigma=\frac{P}{A}onde \sigma (N/mm^2 ou MPa) é a tensão normal.
    3. Compatibilidade (soma dos encurtamentos deve igualar a folga eliminada): \delta_p + \delta_b = g.Substituindo \delta de cada peça: \frac{P L_p}{A_p E_p} + \frac{P L_b}{A_b E_b} = g.Dessa equação isolamos P.

Passo 3

Cálculo das áreas das seções (usamos a fórmula da área de um círculo A=\pi d^2/4). Cada número é colocado em TeX:
\begin{aligned} A_p &= \frac{\pi d_p^2}{4} = \frac{\pi(150)^2}{4} = \pi\cdot 5625 \approx 17671{,}46\\ \mathrm{mm}^2,\\[4pt] A_b &= \frac{\pi d_b^2}{4} = \frac{\pi(45)^2}{4} = \pi\cdot 506{,}25 \approx 1590{,}43\\ \mathrm{mm}^2. \end{aligned}
Comentário: A_p é muito maior que A_b por causa do diâmetro maior do polímero.]

Passo 4

Unidades e conversão do módulo de elasticidade para \mathrm{N/mm}^2 (MPa):
\begin{aligned} E_p &= 2\\ \mathrm{GPa} = 2000\\ \mathrm{N/mm}^2,\\[2pt] E_b &= 100\\ \mathrm{GPa} = 100000\\ \mathrm{N/mm}^2. \end{aligned}
Explicação rápida: 1\\ \mathrm{GPa}=1000\\ \mathrm{N/mm}^2 porque 1\\ \mathrm{GPa}=10^9\\ \mathrm{N/m}^2 e 1\\ \mathrm{N/mm}^2=10^6\\ \mathrm{N/m}^2.]

Passo 5

Montagem da equação de compatibilidade e resolução para P:
\frac{P L_p}{A_p E_p} + \frac{P L_b}{A_b E_b} = g
Isolando P:
P = \frac{g}{\dfrac{L_p}{A_p E_p} + \dfrac{L_b}{A_b E_b}}.
Agora substituímos os valores numéricos (vou calcular cada termo com cuidado):
\begin{aligned} \frac{L_p}{A_p E_p} &= \frac{200}{17671{,}46\times 2000} \approx 5{,}6569\times 10^{-6}\\ \mathrm{mm/N},\\[4pt] \frac{L_b}{A_b E_b} &= \frac{400}{1590{,}43\times 100000} \approx 2{,}5147\times 10^{-6}\\ \mathrm{mm/N}. \end{aligned}
Somando:
\frac{L_p}{A_p E_p} + \frac{L_b}{A_b E_b} \approx 8{,}1716\times 10^{-6}\\ \mathrm{mm/N}.
Portanto
P=\frac{0{,}15}{8{,}1716\times 10^{-6}}\approx 18356\\ \mathrm{N}.
Interpretação: P é a força axial de contato (compressiva) que aparece quando a folga é eliminada.]

Passo 6

Cálculo das tensões axiais em cada elemento usando \sigma=P/A.
Para o polímero:
\sigma_p=\frac{P}{A_p}=\frac{18356}{17671{,}46}\approx 1{,}0388\\ \mathrm{N/mm}^2 = 1{,}0388\\ \mathrm{MPa}.
Como a peça foi encurtada (compressão), a tensão é compressiva; portanto podemos escrever \sigma_p\approx -1{,}04\\ \mathrm{MPa}.
Para o latão:
\sigma_b=\frac{P}{A_b}=\frac{18356}{1590{,}43}\approx 11{,}543\\ \mathrm{N/mm}^2 = 11{,}543\\ \mathrm{MPa},
ou seja \sigma_b\approx -11{,}54\\ \mathrm{MPa} (compressão).
Comentário intuitivo: a barra mais rígida (latão, E grande) tem área menor, então para a mesma força a tensão no latão é maior; o polímero, apesar de E menor, tem área muito maior resultando em tensão menor.

Passo 7

Verificação calculando as deformações e os encurtamentos (confere que a soma é a folga):
\begin{aligned} \varepsilon_p &= \frac{\sigma_p}{E_p}=\frac{1{,}0388}{2000}=5{,}194\times 10^{-4},\\\ \delta_p &= \varepsilon_p L_p = 5{,}194\times 10^{-4}\times 200 \approx 0{,}1039\\ \mathrm{mm}. \end{aligned}
\begin{aligned} \varepsilon_b &= \frac{\sigma_b}{E_b}=\frac{11{,}543}{100000}=1{,}1543\times 10^{-4},\\\ \delta_b &= \varepsilon_b L_b = 1{,}1543\times 10^{-4}\times 400 \approx 0{,}0462\\ \mathrm{mm}. \end{aligned}
Soma:
\delta_p+\delta_b \approx 0{,}1039+0{,}0462=0{,}1501\\ \mathrm{mm}\approx g,
boa concordância (arredondamentos explicam o 0{,}0001\\ \mathrm{mm} de diferença).

Passo 8

Determinar a posição final da interface flange–polímero em relação ao apoio esquerdo.
  • Posição inicial da interface (antes de apertar) é a extremidade direita do polímero: x_{\text{inicial}}=L_p=200\\ \mathrm{mm}.
  • Após montagem, a extremidade direita do polímero encurta em \delta_p, portanto a posição final é x_{\text{final}}=L_p-\delta_p \approx 200 - 0{,}1039 = 199{,}8961\\ \mathrm{mm}.
Interpretação: a face do polímero deslocou‑se para a esquerda (em relação à parede esquerda fixa) em 0{,}1039\\ \mathrm{mm}.

Resposta

a) \sigma_{\text{polímero}} \approx -1{,}04\\ \mathrm{MPa},\quad \sigma_{\text{latão}} \approx -11{,}54\\ \mathrm{MPa}íã
b) Posição final da interface \approx 199{,}896\\ \mathrm{mm} (a partir do apoio esquerdo).

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