Um garoto mantém-se na extremidade de uma prancha de mergulho, que é apoiada por duas molas
e
, cada uma com rigidez
. Na posição mostrada na figura, a prancha está na horizontal. Se o garoto tem massa de 40 kg , determine o ângulo de inclinação da prancha em relação à horizontal depois que ele salta. Despreze o peso da prancha e considere-a inflexível.
Passo 1
Vamos entender claramente o que o enunciado dá e o que pede (dados extraídos da figura):\n
- Rigidez das molas:
.\n - Massa do garoto:
fica a
da posição do garoto e a mola fica mais à esquerda de . Portanto a distância do garoto até é e até é .\n
- A prancha é inflexível e a figura mostra a prancha presa (engastada/pivô) na borda direita (há um suporte/charneira na extremidade direita). Na posição mostrada a prancha está horizontal. O que se pede: determinar o ângulo de inclinação da prancha em relação à horizontal depois que o garoto salta.\n
Observação importante (vista na figura): existe um ponto fixo (charneira) na extremidade direita que usamos como ponto de referência para momentos.)
Passo 2
Vamos achar as deformações (ou forças) iniciais nas molas enquanto o garoto está em pé — passo didático sobre equilíbrio de um corpo rígido.\n
Princípio usado: para um corpo rígido em equilíbrio estático, a soma dos momentos em torno de qualquer ponto é zero. Aqui escolhemos como ponto de momentos a charneira da extremidade direita (porque a figura mostra a prancha apoiada aí). Note que o peso do garoto atua exatamente nesse ponto (ele está no extremo junto à charneira na figura), logo o peso não cria momento em relação a essa charneira (braço de alavanca zero).\n
Se e
são as forças verticais exercidas pelas molas sobre a prancha (positivas para força para cima), o equilíbrio de momentos em torno da charneira (soma algébrica dos momentos = 0) dá:
Princípio usado: para um corpo rígido em equilíbrio estático, a soma dos momentos em torno de qualquer ponto é zero. Aqui escolhemos como ponto de momentos a charneira da extremidade direita (porque a figura mostra a prancha apoiada aí). Note que o peso do garoto atua exatamente nesse ponto (ele está no extremo junto à charneira na figura), logo o peso não cria momento em relação a essa charneira (braço de alavanca zero).\n
Se
Explicação do sinal: as duas forças das molas podem ter sinais distintos (uma pode ficar efetivamente em tração), por isso a soma algébrica pode anular-se. Como as molas são lineares,
, onde
são as deformações (positivas = compressão, negativas = extensão). Substituindo:
ou, dividindo por
,
Esta relação é apenas o balanço de momentos com o garoto na prancha (é uma relação direta entre as deformações iniciais das molas).
Passo 3
Agora consideramos a situação “depois que ele salta” — queremos o ângulo final
(pequeno) que a prancha assume. Ensino a modelagem geométrica da rotação:\n
- Se a prancha roda um pequeno ângulo
em torno da charneira direita, o deslocamento vertical da prancha no ponto da mola é aproximadamente (sinal negativo se a rotação eleva o ponto; aqui só precisamos das expressões relativas), com . Para , deslocamento com .\n - Assim, as novas deformações das molas imediatamente após a rotação são
(Explicação:
e
são as deformações iniciais com o garoto; ao girar a prancha o comprimento relativo mola–prancha muda por
.)\n
Em equilíbrio estático final (prancha parada no novo ângulo), a soma dos momentos das forças das molas em torno da charneira deve ser zero (não há mais o peso do garoto atuando com braço de momento não nulo, pois o peso estava na charneira). Portanto
Em equilíbrio estático final (prancha parada no novo ângulo), a soma dos momentos das forças das molas em torno da charneira deve ser zero (não há mais o peso do garoto atuando com braço de momento não nulo, pois o peso estava na charneira). Portanto
Substituindo
e
:
Fatorando
e rearranjando para
:
portanto
Passo 4
Usamos agora a relação obtida no Passo 2. Lembra que do equilíbrio com o garoto nós já tínhamos
isto é exatamente
Substituindo isto na fórmula para
do Passo 3:
Passo 5
Interpretação física final (explicação intuitiva): a disposição e as deformações iniciais das molas quando o garoto está em pé já produziam um balanceamento de momentos em torno da charneira. Quando o garoto sai, não aparece um momento residual que faça a prancha girar para uma nova posição inclinada — a condição de momento nulo é satisfeita sem rotação. Logo a prancha permanece horizontal (ângulo zero) na nova posição de equilíbrio indicada pelo modelo.\n
(Resumo didático: escrevemos a condição de equilíbrio de momentos com o garoto; essa mesma combinação de deformações cancela o termo que geraria depois que o garoto sai.)
(Resumo didático: escrevemos a condição de equilíbrio de momentos com o garoto; essa mesma combinação de deformações cancela o termo que geraria