Um garoto mantém-se na extremidade de uma prancha de mergulho, que é apoiada por duas molas A e B, cada uma com rigidez \mathrm{k}=15 \mathrm{kN} / \mathrm{m}. Na posição mostrada na figura, a prancha está na horizontal. Se o garoto tem massa de 40 kg , determine o ângulo de inclinação da prancha em relação à horizontal depois que ele salta. Despreze o peso da prancha e considere-a inflexível.

Passo 1

Vamos entender claramente o que o enunciado dá e o que pede (dados extraídos da figura):\n
  • Rigidez das molas: \mathrm{k}=15\\ \mathrm{kN/m}=15000\\ \mathrm{N/m}.\n
  • Massa do garoto: m=40\\ \mathrm{kg}\Rightarrow W=mg=40\cdot9{,}81=392{,}4\\ \mathrm{N}.\n - Distâncias (peguei da figura): a mola \(B fica a 3{,}0\\ \mathrm{m} da posição do garoto e a mola A fica mais 1{,}0\\ \mathrm{m} à esquerda de B. Portanto a distância do garoto até B é 3{,}0\\ \mathrm{m} e até A é 4{,}0\\ \mathrm{m}.\n
    - A prancha é inflexível e a figura mostra a prancha presa (engastada/pivô) na borda direita (há um suporte/charneira na extremidade direita). Na posição mostrada a prancha está horizontal. O que se pede: determinar o ângulo de inclinação da prancha em relação à horizontal depois que o garoto salta.\n
    Observação importante (vista na figura): existe um ponto fixo (charneira) na extremidade direita que usamos como ponto de referência para momentos.)

Passo 2

Vamos achar as deformações (ou forças) iniciais nas molas enquanto o garoto está em pé — passo didático sobre equilíbrio de um corpo rígido.\n
Princípio usado: para um corpo rígido em equilíbrio estático, a soma dos momentos em torno de qualquer ponto é zero. Aqui escolhemos como ponto de momentos a charneira da extremidade direita (porque a figura mostra a prancha apoiada aí). Note que o peso do garoto atua exatamente nesse ponto (ele está no extremo junto à charneira na figura), logo o peso não cria momento em relação a essa charneira (braço de alavanca zero).\n
Se F_A e F_B são as forças verticais exercidas pelas molas sobre a prancha (positivas para força para cima), o equilíbrio de momentos em torno da charneira (soma algébrica dos momentos = 0) dá:
F_A\cdot 4{,}0 + F_B\cdot 3{,}0 = 0.
Explicação do sinal: as duas forças das molas podem ter sinais distintos (uma pode ficar efetivamente em tração), por isso a soma algébrica pode anular-se. Como as molas são lineares, \;F_A=k x_A,\; F_B=k x_B, onde x_A,x_B são as deformações (positivas = compressão, negativas = extensão). Substituindo:
k\,x_A\cdot 4{,}0 + k\,x_B\cdot 3{,}0 = 0
ou, dividindo por k,
4{,}0\,x_A + 3{,}0\,x_B = 0.
Esta relação é apenas o balanço de momentos com o garoto na prancha (é uma relação direta entre as deformações iniciais das molas).

Passo 3

Agora consideramos a situação “depois que ele salta” — queremos o ângulo final \theta (pequeno) que a prancha assume. Ensino a modelagem geométrica da rotação:\n
  • Se a prancha roda um pequeno ângulo \theta em torno da charneira direita, o deslocamento vertical da prancha no ponto da mola A é aproximadamente -L_A\theta (sinal negativo se a rotação eleva o ponto; aqui só precisamos das expressões relativas), com L_A=4{,}0\\ \mathrm{m}. Para B, deslocamento -L_B\theta com L_B=3{,}0\\ \mathrm{m}.\n
  • Assim, as novas deformações das molas imediatamente após a rotação são
x_{A}^{\prime}=x_A - L_A\theta,\qquad x_{B}^{\prime}=x_B - L_B\theta.
(Explicação: x_A e x_B são as deformações iniciais com o garoto; ao girar a prancha o comprimento relativo mola–prancha muda por L\theta.)\n
Em equilíbrio estático final (prancha parada no novo ângulo), a soma dos momentos das forças das molas em torno da charneira deve ser zero (não há mais o peso do garoto atuando com braço de momento não nulo, pois o peso estava na charneira). Portanto
k\,x_{A}^{\prime}\,L_A + k\,x_{B}^{\prime}\,L_B = 0.
Substituindo x_{A}^{\prime} e x_{B}^{\prime}:
k\bigl(x_A - L_A\theta\bigr)L_A + k\bigl(x_B - L_B\theta\bigr)L_B = 0.
Fatorando k e rearranjando para \theta:
k\bigl(x_A L_A + x_B L_B - \theta(L_A^2+L_B^2)\bigr)=0
portanto
\theta=\frac{x_A L_A + x_B L_B}{\,L_A^2+L_B^2\,}.

Passo 4

Usamos agora a relação obtida no Passo 2. Lembra que do equilíbrio com o garoto nós já tínhamos
4{,}0\,x_A + 3{,}0\,x_B = 0,
isto é exatamente
x_A L_A + x_B L_B = 0.
Substituindo isto na fórmula para \theta do Passo 3:
\theta=\frac{\,x_A L_A + x_B L_B\,}{L_A^2+L_B^2}=\frac{0}{L_A^2+L_B^2}=0.

Passo 5

Interpretação física final (explicação intuitiva): a disposição e as deformações iniciais das molas quando o garoto está em pé já produziam um balanceamento de momentos em torno da charneira. Quando o garoto sai, não aparece um momento residual que faça a prancha girar para uma nova posição inclinada — a condição de momento nulo é satisfeita sem rotação. Logo a prancha permanece horizontal (ângulo zero) na nova posição de equilíbrio indicada pelo modelo.\n
(Resumo didático: escrevemos a condição de equilíbrio de momentos com o garoto; essa mesma combinação de deformações cancela o termo que geraria \theta depois que o garoto sai.)

Resposta

0^\circ

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