Determine a força em cada elemento da treliça e indique se esses elementos estão sob tração ou compressão. Considere que P_{1}=P_{2}=4 \mathrm{kN}.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a força em cada elemento da treliça e dizer se cada elemento está sob tração ou compressão, com P_{1}=P_{2}=4\\ \mathrm{kN}.\n\nDados importantes (retirei da figura):\n- Há três nós na linha inferior: E (esquerda), D (meio) e C (direita). As distâncias horizontais são \overline{ED}=3\\ \mathrm{m} e \overline{DC}=3\\ \mathrm{m}.\n- Há um nó superior B acima de D (verticalmente) ligado por um elemento vertical BD.\n- Os dois elementos diagonais inferiores BE e BC formam ângulo de 30^\circ com a horizontal (isso está indicado na figura nas duas bases). Ou seja, as diagonais que vão dos pontos E e C até B têm inclinação com a horizontal de 30^\circ.\n- As cargas externas são P_{1}=4\\ \mathrm{kN} aplicadas verticalmente para baixo em D e P_{2}=4\\ \mathrm{kN} aplicadas verticalmente para baixo em C.\n\nObservação importante (assunção necessária para resolver):\n- Para podermos fechar as contas da treliça com os dados fornecidos na figura, assumimos que o nó A do lado esquerdo está na mesma cota vertical do nó B, isto é, o elemento AB é horizontal (comprimento horizontal 3\\ \mathrm{m}). Essa leitura é compatível com a representação da figura (há uma marcação vertical na parede que indica a distância entre as duas fixações igual à altura do vértice). Essa hipótese simplifica o equilíbrio no nó B e é a interpretação usual desta figura em problemas de treliça. Se a posição vertical de A fosse diferente, seria preciso esse valor para encontrar as componentes de AB.\n\nNão resolvemos nada ainda; isso foi apenas a explicitação do que o enunciado pede e os dados disponibilizados/assunções usadas.
Passo 2
Estratégia e conceito usado (aula curta sobre método):\n- Vou usar o método dos nós (method of joints). A ideia: em cada nó a soma vetorial das forças é zero (equilíbrio estático). Em 2D temos duas equações por nó: \sum F_x=0 e \sum F_y=0. Como cada barra é um membro de duas forças, sua força é ao longo da barra; resolve-se incógnitas compondo-as em x e y.\n- Para decompor forças ao longo de uma barra inclinada usamos trigonometria: se a força F age ao longo de uma barra que faz ângulo \theta com a horizontal, então as componentes são F_x = F\cos\theta e F_y = F\sin\theta.\n- Convenção de sinais usada: assumimos inicialmente que toda força de barra é positiva se estiver em tração (puxa o nó). Se o resultado numérico vier negativo, então o membro está em compressão (empurra o nó).\n\nVamos começar pelos nós que têm menos incógnitas: nó C (tem só 2 barras + carga) e nó D (tem barras horizontais e a barra vertical).
Passo 3
Geometria necessária (pequena conta de trigonometria):\n- As diagonais BE e BC conectam E a B e C a B respectivamente; a diferença horizontal entre E e B (ou entre C e B) é 3\\ \mathrm{m}. O ângulo com a horizontal é 30^\circ. Assim a altura do nó B em relação à linha inferior é\n\text{BD} = 3\cdot\tan 30^\circ = 3\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\\ \mathrm{m}.
(essa altura só serve para visualizar; as equações de equilíbrio usarão as componentes trigonométricas com \cos30^\circ e \sin30^\circ).
Passo 4
Equilíbrio no nó C (método dos nós, primeiro nó simples):\n- No nó C atuam: a barra DC (horizontal para a esquerda se estiver em tração), a barra BC (inclinada, formando 30^\circ com a horizontal), e a carga P_{2}=4\\ \mathrm{kN} para baixo.\n- Suponha F_{BC} positivo se BC estiver em tração (puxando o nó C ao longo da barra em direção a B). Para equilíbio vertical:\n\sum F_y = 0 \implies F_{BC}\sin 30^\circ - P_{2} = 0.\n- Como \sin 30^\circ = 0{,}5, obtemos\nF_{BC} = \dfrac{P_{2}}{\sin 30^\circ} = \dfrac{4\\ \mathrm{kN}}{0{,}5} = 8\\ \mathrm{kN}.\n- Como F_{BC}>0 sob a convenção, BC está em tração.\n- Agora equilíbrio horizontal no nó C: a componente horizontal de BC para a esquerda deve ser equilibrada por DC. Tomando positivas as tração puxando o nó para fora,\n\sum F_x =0 \implies F_{BC}\cos 30^\circ - F_{DC} = 0
portanto
F_{DC} = F_{BC}\cos 30^\circ = 8\cdot\cos 30^\circ = 8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\\ \mathrm{kN}.\n- Como F_{DC}>0 com nossa convenção, DC está em tração (puxa o nó C para a esquerda).
Passo 5
Equilíbrio no nó D (nó do meio na linha inferior):\n- No nó D atuam: DC (já encontrada), ED (a barra horizontal esquerda), BD (barra vertical para cima) e a carga P_{1}=4\\ \mathrm{kN} para baixo.\n- Equilíbrio horizontal no nó D: as componentes horizontais são apenas DC (puxa para a direita se está em tração) e ED (puxa para a esquerda se em tração). Logo\n\sum F_x = 0 \implies F_{DC} - F_{ED} = 0 \quad\Rightarrow\quad F_{ED} = F_{DC} = 4\sqrt{3}\\ \mathrm{kN}.\nAssim ED é também em tração e tem mesmo módulo que DC.\n- Equilíbrio vertical no nó D: a única força vertical interna é a força na barra BD. Com convenção de tração positiva (puxa o nó para cima), o somatório vertical é\n\sum F_y = 0 \implies F_{BD} - P_{1} = 0 \quad\Rightarrow\quad F_{BD} = P_{1} = 4\\ \mathrm{kN}.\nLogo BD está em tração de 4\\ \mathrm{kN}.
Passo 6
Equilíbrio no nó B para encontrar BE e AB:\n- No nó B atuam quatro barras: BC (já sabemos 8\\ \mathrm{kN}, em tração), BD (já sabemos 4\\ \mathrm{kN}, em tração), BE (diagonal esquerdo) e AB (elemento que liga B à parede em A). Vamos escrever as equações de equilíbrio separando componentes horizontais e verticais.\n\n- Usamos a convenção: forças positivas significam tração (puxam o nó B ao longo da barra). Lembre: a componente vertical de uma barra inclinada a 30^\circ é F\sin30^\circ e a horizontal é F\cos30^\circ.\n\nEquilíbrio vertical (\sum F_y=0):\n- Componentes verticais (positivo para cima): a componente vertical do BC (se BC está em tração) é para baixo no nó B e vale -F_{BC}\sin30^\circ.\n- A componente vertical do BE (se em tração) é também para baixo e vale -F_{BE}\sin30^\circ (pois ambos os diagonais puxam para baixo no nó B quando estão em tração).\n- A componente vertical de BD: como já encontramos F_{BD}=4\\ \mathrm{kN} em tração, no nó B essa barra puxa o nó para baixo (pois puxa ambos os extremos um em direção ao outro); portanto a contribuição vertical de BD é -F_{BD}. (Explicação rápida: BD vertical em tração puxa o nó B para baixo com força 4\\ \mathrm{kN}).\n- A componente vertical do AB (supondo AB horizontal, conforme nossa suposição) é zero.\n\nLogo\n\sum F_y = 0 \implies -F_{BC}\sin30^\circ - F_{BE}\sin30^\circ - F_{BD} = 0.\nSubstituindo valores conhecidos F_{BC}=8\\ \mathrm{kN}, F_{BD}=4\\ \mathrm{kN} e \sin30^\circ=0{,}5:\n-8\cdot 0{,}5 - F_{BE}\cdot 0{,}5 - 4 = 0 \;\Longrightarrow\; -4 -0{,}5F_{BE} -4 = 0.\nPortanto\n-8 -0{,}5F_{BE} = 0 \quad\Rightarrow\quad F_{BE} = -16\\ \mathrm{kN}.\nO sinal negativo indica que nossa hipótese inicial (força BE positiva = tração) está errada: o membro BE está, na verdade, em compressão com módulo 16\\ \mathrm{kN}.\n\nEquilíbrio horizontal (\sum F_x=0) agora para encontrar F_{AB}:\n- Componentes horizontais (positivo para a direita): do BC (tração) vem +F_{BC}\cos30^\circ (puxa B para a direita), de BE (agora sabemos que está em compressão, então no nó B empurra — isto é, a contribuição horizontal será no sentido oposto à de uma tração) vem -F_{BE}\cos30^\circ se usássemos F_{BE} com sinal algebraico; para evitar confusão vamos usar valores absolutos com o sinal já detectado: como F_{BE}=-16\\ \mathrm{kN} (aqui negativo significando compressão), a contribuição horizontal de BE no nó B usando a expressão +F_{BE}\cos30^\circ dará o sinal correto.\n- AB (assumido horizontal) tem apenas componente horizontal F_{AB} (positiva se em tração, isto é, se puxa o nó B para a esquerda ou direita dependendo do sinal).\n\nEscrevendo a equação com a convenção inicial (tração positiva):\n\sum F_x=0 \implies F_{BC}\cos30^\circ - F_{BE}\cos30^\circ + F_{AB} = 0.\nSubstituindo F_{BC}=8\\ \mathrm{kN}, F_{BE}=-16\\ \mathrm{kN} e \cos30^\circ=\sqrt{3}/2:\n8\cos30^\circ - (-16)\cos30^\circ + F_{AB} = 0 \;\Rightarrow\; (8+16)\cos30^\circ + F_{AB} = 0.\nAssim\nF_{AB} = -(24)\cos30^\circ = -24\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = -12\sqrt{3}\\ \mathrm{kN}.\nO sinal negativo significa que, com a convenção inicial (tração positiva), AB resultou negativo — ou seja, AB está em compressão com magnitude 12\sqrt{3}\\ \mathrm{kN}. Contudo, essa magnitude é numericamente 12\sqrt{3}\approx 20{,}785\\ \mathrm{kN}.\n\nObservação: esse valor é grande e convém checar a consistência com o passo anterior; é sinal de que assumir AB horizontal (como fizemos) gera um valor alto. Outra forma de apresentar os resultados é manter expressões em termos de \sqrt{3}. Nota: se, na leitura da figura original, AB não fosse estritamente horizontal, o valor de F_{AB} mudaria — por isso a importância da assunção indicada no Passo 1. Mantendo essa hipótese, o cálculo acima é coerente com as equações de equilíbrio do nó B.
Passo 7
Resumo e checagem rápida de consistência (rápida interpretação física):\n- Encontramos forças por nós simples e verificação por somatório de componentes.\n- Checagem grossa: em C e D as forças horizontais e verticais estavam internamente coerentes; em B a soma vertical ficou nula e a soma horizontal também (com os sinais encontrados). A presença de um membro em compressão (BE) é física: as diagonais do tipo mostradas normalmente se alternam tensão/compressão conforme a distribuição de cargas.\n\nAgora listamos os resultados finais com magnitudes e indicação tração/compressão (mantendo formas simbólicas exatas quando possível).