Uma coluna biarticulada de 2 m de comprimento de seção transversal quadrada deve ser feita de madeira. Considerando que
, e usando um coeficiente de segurança de 2,5 ao calcular a força crítica de Euler para a flambagem, determine a dimensão da seção transversal se a coluna deve suportar com segurança uma força de 100 kN.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Comprimento da coluna:
. - A coluna é biarticulada (ambas as extremidades articuladas).
- Módulo de elasticidade:
. - Tensão admissível do material:
. - Força que a coluna deve suportar com segurança:
. - Coeficiente de segurança a ser usado na flambagem (Euler):
.
- Comprimento da coluna:
-
O que o problema pede:
- Determinar a dimensão da seção transversal quadrada (lado
) da coluna tal que ela suporte com segurança a força , considerando o critério de flambagem com o coeficiente de segurança dado e também respeitando a tensão admissível do material.
- Determinar a dimensão da seção transversal quadrada (lado
Passo 2
Qual equação de flambagem usar e as variáveis envolvidas.
- Para colunas delgadas, a carga crítica de Euler é
onde:
-
é a carga crítica de flambagem (N). -
é o módulo de elasticidade (Pa). -
é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo de flambagem (m^{4}). -
é o comprimento efetivo da coluna (m). -
é o coeficiente de comprimento efetivo (depende das condições de contorno). -
Para uma coluna biarticulada (pinos nas duas extremidades) vale
. Portanto o denominador fica . -
Como temos que usar um coeficiente de segurança
ao avaliar a flambagem, o carregamento seguro devido à flambagem será
Devemos garantir que
.
Passo 3
Relacionar
com o momento de inércia
exigido pela condição de flambagem segura.
Partindo de
e substituindo
,
Isolando
,
Passo 4
Calcular numericamente o valor mínimo de
usando os dados numéricos (atenção às unidades).
-
Primeiro, converter tudo para unidades SI:
-
. -
. -
. -
.
-
-
Calcular o numerador:
- Calcular o denominador:
- Portanto
Passo 5
Relacionar
com a dimensão da seção quadrada e resolver para
.
- Para uma seção transversal quadrada de lado
(eixo passando pelo centro), o momento de inércia em relação a um eixo que corta o centro e é paralelo a um dos lados é
(Explicação curta: para retângulo base
e altura
em torno do eixo que passa pelo centro paralelo à base,
. Para quadrado
, dá
.)
- Então a condição
implica
- Substituindo
,
-
Tirando a raiz quarta (primeiro raiz quadrada duas vezes):
-
. - Logo
.
-
-
Assim obtemos
Passo 6
Verificar a condição de resistência por compressão direta (tensão admissível).
- Área da seção quadrada:
. - Com
, temos
- Tensão de compressão sob a carga
:
- Comparando com a tensão admissível
, temos . Portanto a condição de resistência direta também é satisfeita com a dimensão encontrada.
Passo 7
Conclusão e recomendação prática.
- A dimensão calculada para o lado da seção quadrada que garante flambagem segura (com
) e respeito à tensão admissível é . - Em prática de projeto costuma-se escolher uma dimensão comercialmente viável e arredondar para cima — por exemplo
seria uma escolha segura e simples.