Uma coluna biarticulada de 2 m de comprimento de seção transversal quadrada deve ser feita de madeira. Considerando que E= 13 \mathrm{GPa}, \sigma_{\text {adm }}=12 \mathrm{MPa}, e usando um coeficiente de segurança de 2,5 ao calcular a força crítica de Euler para a flambagem, determine a dimensão da seção transversal se a coluna deve suportar com segurança uma força de 100 kN.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Comprimento da coluna: L=2{,}0\\ \text{m}.
    • A coluna é biarticulada (ambas as extremidades articuladas).
    • Módulo de elasticidade: E=13\\ \text{GPa}=13\times10^{9}\\ \text{Pa}.
    • Tensão admissível do material: \sigma_{\text{adm}}=12\\ \text{MPa}=12\times10^{6}\\ \text{Pa}.
    • Força que a coluna deve suportar com segurança: P_{\text{req}}=100\\ \text{kN}=100\times10^{3}\\ \text{N}.
    • Coeficiente de segurança a ser usado na flambagem (Euler): \text{FS}=2{,}5.
  • O que o problema pede:
    • Determinar a dimensão da seção transversal quadrada (lado a) da coluna tal que ela suporte com segurança a força P_{\text{req}}, considerando o critério de flambagem com o coeficiente de segurança dado e também respeitando a tensão admissível do material.

Passo 2

Qual equação de flambagem usar e as variáveis envolvidas.
  • Para colunas delgadas, a carga crítica de Euler é
P_{\text{cr}}=\frac{\pi^{2} E I}{(K L)^{2}},
onde:
  • P_{\text{cr}} é a carga crítica de flambagem (N).
  • E é o módulo de elasticidade (Pa).
  • I é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo de flambagem (m^{4}).
  • L é o comprimento efetivo da coluna (m).
  • K é o coeficiente de comprimento efetivo (depende das condições de contorno).
  • Para uma coluna biarticulada (pinos nas duas extremidades) vale K=1. Portanto o denominador fica L^{2}.
  • Como temos que usar um coeficiente de segurança \text{FS} ao avaliar a flambagem, o carregamento seguro devido à flambagem será
P_{\text{seg,flamb}}=\frac{P_{\text{cr}}}{\text{FS}}.
Devemos garantir que P_{\text{seg,flamb}}\ge P_{\text{req}}.

Passo 3

Relacionar P_{\text{req}} com o momento de inércia I exigido pela condição de flambagem segura.
Partindo de
\frac{P_{\text{cr}}}{\text{FS}}\ge P_{\text{req}}
e substituindo P_{\text{cr}},
\frac{1}{\text{FS}}\cdot\frac{\pi^{2} E I}{L^{2}}\ge P_{\text{req}}.
Isolando I,
I \ge \frac{P_{\text{req}}\\ \text{FS}\\ L^{2}}{\pi^{2} E}.

Passo 4

Calcular numericamente o valor mínimo de I usando os dados numéricos (atenção às unidades).
  • Primeiro, converter tudo para unidades SI:
    • P_{\text{req}}=100\times10^{3}\\ \text{N}.
    • \text{FS}=2{,}5.
    • L=2{,}0\\ \text{m}.
    • E=13\times10^{9}\\ \text{Pa}.
  • Calcular o numerador:
P_{\text{req}}\\ \text{FS}\\ L^{2}=(100\times10^{3})\times 2{,}5\times (2{,}0)^{2}=100{,}000\times2{,}5\times4=1{,}000{,}000\\ \text{N}\cdot\text{m}^{2}.
  • Calcular o denominador:
\pi^{2}E=\pi^{2}\times 13\times10^{9}\\ \text{Pa}\approx 9{,}8696\times13\times10^{9}\approx 1{,}28305\times10^{11}\\ \text{N}/\text{m}^{2}.
  • Portanto
I_{\min} \ge \frac{1{,}000{,}000}{1{,}28305\times10^{11}}\\ \text{m}^{4}\approx 7{,}79\times10^{-6}\\ \text{m}^{4}.

Passo 5

Relacionar I com a dimensão da seção quadrada e resolver para a.
  • Para uma seção transversal quadrada de lado a (eixo passando pelo centro), o momento de inércia em relação a um eixo que corta o centro e é paralelo a um dos lados é
I=\frac{a^{4}}{12}.
(Explicação curta: para retângulo base b e altura h em torno do eixo que passa pelo centro paralelo à base, I=\dfrac{b h^{3}}{12}. Para quadrado b=h=a, dá a^{4}/12.)
  • Então a condição I\ge I_{\min} implica
\frac{a^{4}}{12}\ge I_{\min}\quad\Rightarrow\quad a^{4}\ge 12\,I_{\min}.
  • Substituindo I_{\min}\approx 7{,}79\times10^{-6}\\ \text{m}^{4},
a^{4}\ge 12\times 7{,}79\times10^{-6}=9{,}35\times10^{-5}\\ \text{m}^{4}.
  • Tirando a raiz quarta (primeiro raiz quadrada duas vezes):
    • a^{2}\ge \sqrt{9{,}35\times10^{-5}}\approx 9{,}667\times10^{-3}\\ \text{m}^{2}.
    • Logo a\ge \sqrt{9{,}667\times10^{-3}}\approx 0{,}0983\\ \text{m}.
  • Assim obtemos
a\approx 0{,}098\\ \text{m}=98\\ \text{mm}.

Passo 6

Verificar a condição de resistência por compressão direta (tensão admissível).
  • Área da seção quadrada: A=a^{2}.
  • Com a\approx 0{,}0983\\ \text{m}, temos
A\approx 9{,}667\times10^{-3}\\ \text{m}^{2}.
  • Tensão de compressão sob a carga P_{\text{req}}:
\sigma=\frac{P_{\text{req}}}{A}=\frac{100\times10^{3}}{9{,}667\times10^{-3}}\\ \text{Pa}\approx 1{,}034\times10^{7}\\ \text{Pa}=10{,}34\\ \text{MPa}.
  • Comparando com a tensão admissível \sigma_{\text{adm}}=12\\ \text{MPa}, temos \sigma\le\sigma_{\text{adm}}. Portanto a condição de resistência direta também é satisfeita com a dimensão encontrada.

Passo 7

Conclusão e recomendação prática.
  • A dimensão calculada para o lado da seção quadrada que garante flambagem segura (com \text{FS}=2{,}5) e respeito à tensão admissível é a\approx 0{,}098\\ \text{m}.
  • Em prática de projeto costuma-se escolher uma dimensão comercialmente viável e arredondar para cima — por exemplo a=0{,}10\\ \text{m}=100\\ \text{mm} seria uma escolha segura e simples.

Resposta

a \approx 0{,}098\\ \text{m} (aprox. 98\\ \text{mm}; sugerido 100\\ \text{mm} comercialmente).

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