Dê as componentes (ou coordenadas) do vetor v \in V em relação à base \mathcal{B} em cada caso: V=\mathcal{P}_{2}, v(t)=3-2 t-t^{2} e \mathcal{B}=\left\{1,1-t,(1-t)^{2}\right\};
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as componentes (coordenadas) do vetor v\in V em relação à base \mathcal{B}.
Dados fornecidos:
O espaço vetorial é V=\mathcal{P}_{2} (polinômios de grau até 2).
O vetor (polinômio) é v(t)=3-2t-t^{2}.
A base é \mathcal{B}=\{\,1,\;1-t,\;(1-t)^{2}\,\}.
Portanto a pergunta é: quais são os escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
onde \alpha,\beta,\gamma são os números que queremos encontrar. Essas três constantes são as coordenadas de v na base \mathcal{B}.
Passo 3
Explico o que faremos: para comparar polinômios é mais fácil expandir tudo em potências de t e igualar coeficientes de 1, t e t^{2}. Isso é válido porque dois polinômios são iguais se, e só se, os coeficientes de cada potência de t são iguais.
Fazendo a checagem rápida: \alpha\cdot1+\beta(1-t)+\gamma(1-t)^{2}=0+4(1-t)-1(1-2t+t^{2}).
Expandindo: 4-4t-1+2t-t^{2}=3-2t-t^{2}, que é exatamente v(t). Então os valores estão corretos.