Dê as componentes (ou coordenadas) do vetor v \in V em relação à base \mathcal{B} em cada caso:
V=\mathcal{P}_{2}, v(t)=3-2 t-t^{2} e \mathcal{B}=\left\{1,1-t,(1-t)^{2}\right\};

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as componentes (coordenadas) do vetor v\in V em relação à base \mathcal{B}.
Dados fornecidos:
  • O espaço vetorial é V=\mathcal{P}_{2} (polinômios de grau até 2).
  • O vetor (polinômio) é v(t)=3-2t-t^{2}.
  • A base é \mathcal{B}=\{\,1,\;1-t,\;(1-t)^{2}\,\}.
Portanto a pergunta é: quais são os escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
v(t)=\alpha\cdot 1+\beta\cdot(1-t)+\gamma\cdot(1-t)^{2}?

Passo 2

Vamos colocar incógnitas para as componentes. Escrevo
v(t)=\alpha\cdot 1+\beta\cdot(1-t)+\gamma\cdot(1-t)^{2},
onde \alpha,\beta,\gamma são os números que queremos encontrar. Essas três constantes são as coordenadas de v na base \mathcal{B}.

Passo 3

Explico o que faremos: para comparar polinômios é mais fácil expandir tudo em potências de t e igualar coeficientes de 1, t e t^{2}. Isso é válido porque dois polinômios são iguais se, e só se, os coeficientes de cada potência de t são iguais.

Passo 4

Calculo (1-t)^{2} e escrevo as somas:
(1-t)^{2}=1-2t+t^{2}.
Agora substituo na combinação linear:
\alpha\cdot 1+\beta\cdot(1-t)+\gamma\cdot(1-2t+t^{2}).

Passo 5

Agrupo termos por potências de t. O termo constante (coeficiente de 1) é
\alpha+\beta+\gamma.
O coeficiente de t (note o sinal) é
-(\beta+2\gamma).
O coeficiente de t^{2} é
\gamma.
Portanto a combinação dá o polinômio
(\alpha+\beta+\gamma)+\bigl(-(\beta+2\gamma)\bigr)t+\gamma t^{2}.

Passo 6

Agora igualo coeficientes com v(t)=3-2t-t^{2}. Isso gera o sistema de equações:
\begin{cases} \alpha+\beta+\gamma=3,\\[4pt] -(\beta+2\gamma)=-2,\\[4pt] \gamma=-1. \end{cases}]

Passo 7

Resolvo o sistema passo a passo. Da terceira equação já vem
\gamma=-1.
Substituo na segunda equação:
-(\beta+2(-1))=-2 \quad\Rightarrow\quad -(\beta-2)=-2.
Isto é
-\beta+2=-2 \quad\Rightarrow\quad -\beta=-4 \quad\Rightarrow\quad \beta=4.

Passo 8

Substituo \beta=4 e \gamma=-1 na primeira equação:
\alpha+4+(-1)=3 \quad\Rightarrow\quad \alpha+3=3 \quad\Rightarrow\quad \alpha=0.

Passo 9

Fazendo a checagem rápida: \alpha\cdot1+\beta(1-t)+\gamma(1-t)^{2}=0+4(1-t)-1(1-2t+t^{2}).
Expandindo: 4-4t-1+2t-t^{2}=3-2t-t^{2}, que é exatamente v(t). Então os valores estão corretos.

Resposta

(0,4,-1)

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