As componentes de deformação não-nulas num determinado ponto de um corpo são \varepsilon_{x}=0,00180, \varepsilon_{y}=-0,00108 e \gamma_{x y}=-0,00220. Determine as deformações principais e a direção da maior deformação principal em módulo.

Passo 1

O enunciado dá as componentes de deformação (num ponto do corpo) e pede as deformações principais e a direção da maior deformação principal em módulo.
Dados fornecidos:
\varepsilon_{x}=0,00180,\qquad \varepsilon_{y}=-0,00108,\qquad \gamma_{xy}=-0,00220.
O que se pede:
  • Calcular as duas deformações principais \varepsilon_{1} e \varepsilon_{2}.
  • Determinar a direção (ângulo em relação ao eixo x) da deformação principal de maior módulo.

Passo 2

Entendendo as quantidades e a convenção usada (passo didático curto e essencial).
  • \varepsilon_{x} e \varepsilon_{y} são as deformações normais nos eixos x e y.
  • \gamma_{xy} é a deformação de cisalhamento de engenharia (engenheirística). Na representação do tensor de deformação simétrico, a componente de cisalhamento tensorial vale \varepsilon_{xy}=\dfrac{\gamma_{xy}}{2}. Vou usar essa relação quando for necessário.
    Isto é importante porque as fórmulas das deformações principais usam \dfrac{\gamma_{xy}}{2} como componente de cisalhamento tensorial.

Passo 3

Fórmulas para as deformações principais (explicação do que cada termo significa).
As deformações principais \varepsilon_{1} e \varepsilon_{2} (valores máximo e mínimo próprios do tensor de deformação) são dadas por:
\varepsilon_{1,2}=\frac{\varepsilon_{x}+\varepsilon_{y}}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{\varepsilon_{x}-\varepsilon_{y}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\gamma_{xy}}{2}\right)^{2}}.
Aqui:
  • \dfrac{\varepsilon_{x}+\varepsilon_{y}}{2} é a média das deformações normais (termo médio).
  • \dfrac{\varepsilon_{x}-\varepsilon_{y}}{2} mede a diferença de deformação normal (metade da diferença).
  • \dfrac{\gamma_{xy}}{2} é a componente de cisalhamento do tensor (metade do \gamma_{xy}).
    A raiz sob o sinal \sqrt{\cdot} é a magnitude da contribuição da diferença e do cisalhamento para separar as duas principais.

Passo 4

Calcular os termos intermediários numéricos (mostrando contas passo a passo).
Média das deformações:
\frac{\varepsilon_{x}+\varepsilon_{y}}{2}=\frac{0,00180+(-0,00108)}{2}=\frac{0,00072}{2}=0,00036.
Metade da diferença:
\frac{\varepsilon_{x}-\varepsilon_{y}}{2}=\frac{0,00180-(-0,00108)}{2}=\frac{0,00288}{2}=0,00144.
Metade do cisalhamento:
\frac{\gamma_{xy}}{2}=\frac{-0,00220}{2}=-0,00110.

Passo 5

Calcular a raiz (o termo dentro da raiz e sua raiz quadrada).
Termo dentro da raiz:
\left(0,00144\right)^{2}+\left(-0,00110\right)^{2}=0,0000020736+0,0000012100=0,0000032836.
Raiz quadrada:
\sqrt{0,0000032836}\approx 0,00181209.

Passo 6

Agora calculamos as deformações principais usando os valores obtidos.
\varepsilon_{1}=0,00036+0,00181209=0,00217209\approx 0,002172.
\varepsilon_{2}=0,00036-0,00181209=-0,00145209\approx -0,001452.
Interpretação rápida: \varepsilon_{1} é a maior deformação (extensão positiva) e \varepsilon_{2} é compressiva (negativa).

Passo 7

Fórmula para a direção das deformações principais (explicação do que a fórmula dá).
O ângulo \theta (medido a partir do eixo x, positivo no sentido anti-horário) que orienta os eixos principais satisfaz:
\tan(2\theta)=\frac{\gamma_{xy}}{\varepsilon_{x}-\varepsilon_{y}}.
Essa fórmula vem da condição de anular a componente de cisalhamento no sistema de coordenadas rotacionado (isto é, escolher um ângulo que torne a deformação de cisalhamento zero). Note: o resultado para 2\theta tem ambiguidade de \pm 180^\circ, e os eixos principais aparecem a cada 90^\circ; depois precisamos escolher o ângulo que corresponda à deformação principal desejada.

Passo 8

Calcular o ângulo numérico (passo a passo) e identificar qual dos eixos principais corresponde a \varepsilon_{1}.
Calculemos \tan(2\theta):
\tan(2\theta)=\frac{-0,00220}{0,00180-(-0,00108)}=\frac{-0,00220}{0,00288}=-0,763888\ldots
Tomando arco-tangente:
2\theta=\arctan(-0,763888\ldots)\approx -37,35^\circ,
portanto
\theta\approx -18,68^\circ.
Significado físico: \theta\approx -18,68^\circ indica que o eixo principal correspondente a \varepsilon_{1} (a maior extensão em módulo) está inclinado \approx 18,68^\circ no sentido horário a partir do eixo x. Em notação usual, podemos também expressar o mesmo ângulo como 360^\circ-18,68^\circ=341,32^\circ ou, se preferir um ângulo entre 0^\circ e 180^\circ, como 161,32^\circ para o eixo ortogonal (lembre que os eixos principais diferem por 90^\circ).

Passo 9

Verificação rápida (opcional mas pedagógico): ao usar \theta\approx -18,68^\circ e aplicar a transformação de deformações, obtém-se \varepsilon_{x'}=\varepsilon_{1} e a componente de cisalhamento \gamma_{x'y'} será zero — portanto a escolha de sinal está consistente com \varepsilon_{1} positivo encontrado no Passo 6.

Resposta

\varepsilon_{1}=0,002172
\varepsilon_{2}=-0,001452
Direção da maior deformação principal (associada a \varepsilon_{1}): \theta\approx -18,68^\circ (ou seja, 18,68^\circ no sentido horário a partir do eixo x).

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