As componentes de deformação não-nulas num determinado ponto de um corpo são
e
. Determine as deformações principais e a direção da maior deformação principal em módulo.
Passo 1
O enunciado dá as componentes de deformação (num ponto do corpo) e pede as deformações principais e a direção da maior deformação principal em módulo.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
O que se pede:
- Calcular as duas deformações principais
e . - Determinar a direção (ângulo em relação ao eixo
) da deformação principal de maior módulo.
Passo 2
Entendendo as quantidades e a convenção usada (passo didático curto e essencial).
-
e são as deformações normais nos eixos e . -
é a deformação de cisalhamento de engenharia (engenheirística). Na representação do tensor de deformação simétrico, a componente de cisalhamento tensorial vale . Vou usar essa relação quando for necessário.
Isto é importante porque as fórmulas das deformações principais usamcomo componente de cisalhamento tensorial.
Passo 3
Fórmulas para as deformações principais (explicação do que cada termo significa).
As deformações principais e
(valores máximo e mínimo próprios do tensor de deformação) são dadas por:
As deformações principais
Aqui:
-
é a média das deformações normais (termo médio). -
mede a diferença de deformação normal (metade da diferença). -
é a componente de cisalhamento do tensor (metade do ).
A raiz sob o sinalé a magnitude da contribuição da diferença e do cisalhamento para separar as duas principais.
Passo 4
Calcular os termos intermediários numéricos (mostrando contas passo a passo).
Média das deformações:
Média das deformações:
Metade da diferença:
Metade do cisalhamento:
Passo 5
Calcular a raiz (o termo dentro da raiz e sua raiz quadrada).
Termo dentro da raiz:
Termo dentro da raiz:
Raiz quadrada:
Passo 6
Agora calculamos as deformações principais usando os valores obtidos.
Interpretação rápida:
é a maior deformação (extensão positiva) e
é compressiva (negativa).
Passo 7
Fórmula para a direção das deformações principais (explicação do que a fórmula dá).
O ângulo (medido a partir do eixo
, positivo no sentido anti-horário) que orienta os eixos principais satisfaz:
O ângulo
Essa fórmula vem da condição de anular a componente de cisalhamento no sistema de coordenadas rotacionado (isto é, escolher um ângulo que torne a deformação de cisalhamento zero). Note: o resultado para
tem ambiguidade de
, e os eixos principais aparecem a cada
; depois precisamos escolher o ângulo que corresponda à deformação principal desejada.
Passo 8
Calcular o ângulo numérico (passo a passo) e identificar qual dos eixos principais corresponde a
.
Calculemos :
Calculemos
Tomando arco-tangente:
portanto
Significado físico:
indica que o eixo principal correspondente a
(a maior extensão em módulo) está inclinado
no sentido horário a partir do eixo
. Em notação usual, podemos também expressar o mesmo ângulo como
ou, se preferir um ângulo entre
e
, como
para o eixo ortogonal (lembre que os eixos principais diferem por
).
Passo 9
Verificação rápida (opcional mas pedagógico): ao usar
e aplicar a transformação de deformações, obtém-se
e a componente de cisalhamento
será zero — portanto a escolha de sinal está consistente com
positivo encontrado no Passo 6.
Resposta
Direção da maior deformação principal (associada a