Sendo u_{1}=k\left(3 x_{1}{ }^{2}+x_{2}\right), u_{2}=k\left(2 x_{2}{ }^{2}+x_{3}\right) e u_{3}=k\left(4 x_{3}{ }^{2}+x_{1}\right), componentes do campo de deslocamento no ponto de coordenadas cartesianas ( x_{1}, x_{2}, x_{3} ), determine o fator de amplificação do segmento elementar d s que passa pelo ponto (1,1,1) na direção \left(\begin{array}{lll}1 / \sqrt{3} & 1 / \sqrt{3} & 1 / \sqrt{3}\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado dá o campo de deslocamento com componentes
u_{1}=k\left(3 x_{1}^{2}+x_{2}\right),\quad u_{2}=k\left(2 x_{2}^{2}+x_{3}\right),\quad u_{3}=k\left(4 x_{3}^{2}+x_{1}\right),
e pede o fator de amplificação do segmento elementar d s que passa pelo ponto (1,1,1) na direção unitária
\mathbf{n}=\begin{pmatrix}1/\sqrt{3}\\[4pt]1/\sqrt{3}\\[4pt]1/\sqrt{3}\end{pmatrix}.
Informações relevantes listadas:
\text{Ponto: }(x_{1},x_{2},x_{3})=(1,1,1),\qquad \text{direção unitária: }\mathbf{n}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)^{T},çãá
\text{deslocamento } \mathbf{u}=(u_{1},u_{2},u_{3})^{T}\text{ como indicado}.
O que se pede: a razão entre o comprimento do segmento após deformação e o comprimento antes da deformação (fator de amplificação) para um segmento infinitesimal na direção \mathbf{n} passando por (1,1,1).]

Passo 2

Breve explicação da teoria necessária (passo-a-passo, sem pressupor conhecimento):
  • Para um campo de deslocamento \mathbf{u}(\mathbf{x}), a matriz gradiente das deformações é \nabla\mathbf{u} com componentes \partial u_{i}/\partial x_{j}.
  • A deformação finita local é descrita pelo gradiente de deformação (deformação total) \mathbf{F} = \mathbf{I} + \nabla\mathbf{u}. Aqui \mathbf{I} é a identidade 3\times3.
  • O novo vetor infinitesimal, a partir de um vetor unitário \mathbf{n}, é \mathbf{F}\mathbf{n}. Assim o fator de amplificação exato (razão de comprimentos) é
\lambda_{\text{exato}}=\|\mathbf{F}\mathbf{n}\|=\sqrt{\mathbf{n}^{T}\mathbf{F}^{T}\mathbf{F}\mathbf{n}}.
  • Para pequenas deformações (quando os termos quadráticos em \nabla\mathbf{u} são desprezíveis), usamos a aproximação linear. Define-se o tensor de pequenas deformações (tensor simétrico)
\boldsymbol{\varepsilon}=\tfrac{1}{2}\big(\nabla\mathbf{u}+(\nabla\mathbf{u})^{T}\big).
Nesse caso o alongamento linear na direção \mathbf{n} é
\delta\ell/\ell \approx \mathbf{n}^{T}\boldsymbol{\varepsilon}\mathbf{n},
e o fator de amplificação aproximado é
\lambda_{\text{lin}} \approx 1+\mathbf{n}^{T}\boldsymbol{\varepsilon}\mathbf{n}.
  • Em resumo: podemos calcular a resposta exata usando \mathbf{F}, ou a resposta linearizada usando \boldsymbol{\varepsilon}. Vou mostrar os dois (o linear é o usual em problemas de pequenas deformações).

Passo 3

Calcular \nabla\mathbf{u} e avaliar em (1,1,1).
Primeiro as derivadas parciais (sempre escrever cada componente em TeX):
\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}}=k\cdot 6x_{1},\quad \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}}=k,\quad \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{3}}=0,
\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{1}}=0,\quad \frac{\partial u_{2}}{\partial x_{2}}=k\cdot 4x_{2},\quad \frac{\partial u_{2}}{\partial x_{3}}=k,
\frac{\partial u_{3}}{\partial x_{1}}=k,\quad \frac{\partial u_{3}}{\partial x_{2}}=0,\quad \frac{\partial u_{3}}{\partial x_{3}}=k\cdot 8x_{3}.
Agora avalio em (1,1,1) (aí substituo x_{1}=x_{2}=x_{3}=1):
\nabla\mathbf{u}\big|_{(1,1,1)}= \begin{pmatrix} 6k & k & 0\\[4pt] 0 & 4k & k\\[4pt] k & 0 & 8k \end{pmatrix}.
Então a matriz gradiente de deformação total é
\mathbf{F}=\mathbf{I}+\nabla\mathbf{u}\big|_{(1,1,1)}= \begin{pmatrix} 1+6k & k & 0\\[4pt] 0 & 1+4k & k\\[4pt] k & 0 & 1+8k \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular o tensor de pequenas deformações \boldsymbol{\varepsilon} (necessário para a aproximação linear):
\boldsymbol{\varepsilon}=\tfrac{1}{2}\big(\nabla\mathbf{u}+(\nabla\mathbf{u})^{T}\big) = \begin{pmatrix} 6k & \tfrac{k}{2} & \tfrac{k}{2}\\[4pt] \tfrac{k}{2} & 4k & \tfrac{k}{2}\\[4pt] \tfrac{k}{2} & \tfrac{k}{2} & 8k \end{pmatrix}.
Verifiquei cada elemento: por exemplo \varepsilon_{12}=\tfrac{1}{2}(k+0)=\tfrac{k}{2}, etc.]

Passo 5

Calcular o alongamento linear na direção \mathbf{n}=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)^{T}.
Seja a=\tfrac{1}{\sqrt{3}}. Então
\mathbf{n}^{T}\boldsymbol{\varepsilon}\mathbf{n} = a^{2}\big(\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33}\big) +2a^{2}\big(\varepsilon_{12}+\varepsilon_{13}+\varepsilon_{23}\big).
Substituindo os valores:
\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33}=6k+4k+8k=18k,
\varepsilon_{12}+\varepsilon_{13}+\varepsilon_{23}=\tfrac{k}{2}+\tfrac{k}{2}+\tfrac{k}{2}=\tfrac{3k}{2}.
Logo
\mathbf{n}^{T}\boldsymbol{\varepsilon}\mathbf{n} = a^{2}\big(18k + 2\cdot\tfrac{3k}{2}\big) = a^{2}(18k+3k)=a^{2}\cdot 21k.
Como a^{2}=1/3, segue
\mathbf{n}^{T}\boldsymbol{\varepsilon}\mathbf{n}=\tfrac{1}{3}\cdot 21k=7k.

Passo 6

Concluir a aproximação linear do fator de amplificação:
Pelo que vimos em Passo 2,
\lambda_{\text{lin}}\approx 1+\mathbf{n}^{T}\boldsymbol{\varepsilon}\mathbf{n}=1+7k.
Este é o resultado usado em teoria das pequenas deformações: o segmento aumenta (ou diminui, dependendo do sinal de k) aproximadamente por um fator 1+7k.

Passo 7

Calcular o fator exato (sem linearizar), por completude. Primeiro calculo \mathbf{F}\mathbf{n}:
com a=\tfrac{1}{\sqrt{3}},
\mathbf{F}\mathbf{n}=a\begin{pmatrix}1+7k\\[4pt]1+5k\\[4pt]1+9k\end{pmatrix},
pois cada componente foi obtida somando os termos da linha de \mathbf{F} multiplicados por a.
O fator exato é o comprimento desse vetor (já que \|\mathbf{n}\|=1):
\lambda_{\text{exato}}=\|\mathbf{F}\mathbf{n}\| = a\sqrt{(1+7k)^{2}+(1+5k)^{2}+(1+9k)^{2}}.
Faço as contas dentro da raiz:
(1+7k)^{2}+(1+5k)^{2}+(1+9k)^{2}=3+42k+155k^{2}.
Multiplicando por a^{2}=1/3
\lambda_{\text{exato}}=\sqrt{1+14k+\tfrac{155}{3}k^{2}}.
Note que fazer a expansão para pequeno k (usando \sqrt{1+\varepsilon}\approx 1+\tfrac{\varepsilon}{2}) recupera \lambda_{\text{lin}}=1+7k, porque \varepsilon=14k+\mathcal{O}(k^{2}) e \tfrac{\varepsilon}{2}=7k+\mathcal{O}(k^{2}).]

Resposta

\lambda_{\text{exato}}=\sqrt{1+14k+\tfrac{155}{3}k^{2}}\n
\lambda_{\text{aprox (pequenas deformações)}}=1+7kçõ

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