Sendo u_{1}=k\left(3 x_{1}{ }^{2}+x_{2}\right), u_{2}=k\left(2 x_{2}{ }^{2}+x_{3}\right) e u_{3}=k\left(4 x_{3}{ }^{2}+x_{1}\right), componentes do campo de deslocamento no ponto de coordenadas cartesianas ( x_{1}, x_{2}, x_{3} ), determine o fator de amplificação do segmento elementar d s que passa pelo ponto (1,1,1) na direção \left(\begin{array}{lll}1 / \sqrt{3} & 1 / \sqrt{3} & 1 / \sqrt{3}\end{array}\right).
Passo 1
O enunciado dá o campo de deslocamento com componentes
\text{deslocamento } \mathbf{u}=(u_{1},u_{2},u_{3})^{T}\text{ como indicado}.
O que se pede: a razão entre o comprimento do segmento após deformação e o comprimento antes da deformação (fator de amplificação) para um segmento infinitesimal na direção \mathbf{n} passando por (1,1,1).]
Passo 2
Breve explicação da teoria necessária (passo-a-passo, sem pressupor conhecimento):
Para um campo de deslocamento \mathbf{u}(\mathbf{x}), a matriz gradiente das deformações é \nabla\mathbf{u} com componentes \partial u_{i}/\partial x_{j}.
A deformação finita local é descrita pelo gradiente de deformação (deformação total) \mathbf{F} = \mathbf{I} + \nabla\mathbf{u}. Aqui \mathbf{I} é a identidade 3\times3.
O novo vetor infinitesimal, a partir de um vetor unitário \mathbf{n}, é \mathbf{F}\mathbf{n}. Assim o fator de amplificação exato (razão de comprimentos) é
Para pequenas deformações (quando os termos quadráticos em \nabla\mathbf{u} são desprezíveis), usamos a aproximação linear. Define-se o tensor de pequenas deformações (tensor simétrico)
Em resumo: podemos calcular a resposta exata usando \mathbf{F}, ou a resposta linearizada usando \boldsymbol{\varepsilon}. Vou mostrar os dois (o linear é o usual em problemas de pequenas deformações).
Passo 3
Calcular \nabla\mathbf{u} e avaliar em (1,1,1).
Primeiro as derivadas parciais (sempre escrever cada componente em TeX):
Este é o resultado usado em teoria das pequenas deformações: o segmento aumenta (ou diminui, dependendo do sinal de k) aproximadamente por um fator 1+7k.
Passo 7
Calcular o fator exato (sem linearizar), por completude. Primeiro calculo \mathbf{F}\mathbf{n}:
com a=\tfrac{1}{\sqrt{3}},
pois cada componente foi obtida somando os termos da linha de \mathbf{F} multiplicados por a.
O fator exato é o comprimento desse vetor (já que \|\mathbf{n}\|=1):
Note que fazer a expansão para pequeno k (usando \sqrt{1+\varepsilon}\approx 1+\tfrac{\varepsilon}{2}) recupera \lambda_{\text{lin}}=1+7k, porque \varepsilon=14k+\mathcal{O}(k^{2}) e \tfrac{\varepsilon}{2}=7k+\mathcal{O}(k^{2}).]