Sendo
e
as medidas de deformações lineares em um ponto qualquer em relação a três eixos 1 , 2 e 3 ortogonais entre si, determine as deformações
e
se o fator de amplificação (
) medido nas direções
e
são, respectivamente,
e 0,001 .
são as componentes do vetor unitário na direção de
)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele nos deu:\n
- Pede: determinar as deformações de cisalhamento
e num ponto, sabendo as deformações lineares principais e medidas do fator de amplificação nas três direções fornecidas. \n - Dados (peguei estes valores diretamente do enunciado):
\n - As direções unitárias (cada vetor já é unitário conforme o enunciado) e os valores medidos do fator de amplificação
são:\n - direção
com ;\n - direção
com ;\n - direção
com .\n
- direção
- Fórmula dada no enunciado relacionando
à tensora de deformação (a partir de ): \n
onde
são as componentes do vetor unitário na direção considerada.\n
Passo 2
Entendendo a fórmula e montando a equação geral\n
- A matriz (tensora) de deformação simétrica tem entradas
nas diagonais e as deformações de cisalhamento nas posições fora da diagonal, com .\n - Para uma direção unitária
, a expansão de dá, explicitamente,\n
- Esta é uma equação linear nas incógnitas
quando e os são conhecidos. Vamos aplicar essa fórmula para cada uma das três direções dadas e obter um sistema de três equações lineares em três incógnitas.
Passo 3
Equação para a primeira direção
\n
- Calcule as combinações necessárias (peguei as componentes da primeira direção do enunciado):\n
\n
\n
\n - Substituindo na fórmula:\n
- Simplificando:\n
- Substituo os valores conhecidos
e :\n
- Calcule os termos numéricos passo a passo:\n
\n
\n
Soma das contribuições diagonais\n - Então\n
- Resolvo para
:\n
Passo 4
Equação para a segunda direção
\n
- Componentes (peguei do enunciado):\n
\n
\n
\n - Substituindo na fórmula:\n
- Simplificando:\n
- Substituo
e :\n
- Calcule os termos diagonais:\n
\n
\n Soma \n - Então\n
- Resolvo para
:\n
Passo 5
Equação para a terceira direção
e resolução para
\n
- Componentes (peguei do enunciado):\n
\n
\n
\n - Substituindo na fórmula:\n
- Substituo os valores conhecidos:
\n
Assim\n - Com
temos:\n
- Isolando a soma das cisalhantes:\n
- Já conhecemos
e . Calcule a soma parcial:\n
\n
Em decimal:\n - Então\n
- Em fração exata: