Sendo \varepsilon_{11}=0,002, \varepsilon_{22}=0,002 e \varepsilon_{33}=-0,002 as medidas de deformações lineares em um ponto qualquer em relação a três eixos 1 , 2 e 3 ortogonais entre si, determine as deformações \varepsilon_{12}, \varepsilon_{13} e \varepsilon_{23} se o fator de amplificação ( F A ) medido nas direções \left(\begin{array}{lll}2 / \sqrt{5} & 0 & 1 / \sqrt{5}\end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{lll}3 / \sqrt{10} & -1 / \sqrt{10} & 0\end{array}\right) \quad e \quad\left(\begin{array}{lll}1 / \sqrt{3} & 1 / \sqrt{3} & 1 / \sqrt{3}\end{array}\right) \quad são, respectivamente, 0,004,0,003 e 0,001 .
d s^{* 2}-d s^{2}=2 \varepsilon_{i j} d x_{i} d x_{j} \quad \rightarrow \quad \frac{1}{2} \frac{d s^{* 2}-d s^{2}}{d s^{2}}=\varepsilon_{i j} N_{i} N_{j} \quad \rightarrow \quad F A=\frac{1}{2} \frac{d s^{* 2}-d s^{2}}{d s^{2}}\left(N_{i}\right. são as componentes do vetor unitário na direção de d s )

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele nos deu:\n
  • Pede: determinar as deformações de cisalhamento \varepsilon_{12},\; \varepsilon_{13} e \varepsilon_{23} num ponto, sabendo as deformações lineares principais \varepsilon_{11},\varepsilon_{22},\varepsilon_{33} e medidas do fator de amplificação nas três direções fornecidas. \n
  • Dados (peguei estes valores diretamente do enunciado): \varepsilon_{11}=0,002,\; \varepsilon_{22}=0,002,\; \varepsilon_{33}=-0,002.\n
  • As direções unitárias (cada vetor já é unitário conforme o enunciado) e os valores medidos do fator de amplificação F A são:\n
    • direção \left(\dfrac{2}{\sqrt{5}},\,0,\,\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right) com F A=0,004;\n
    • direção \left(\dfrac{3}{\sqrt{10}},\,-\dfrac{1}{\sqrt{10}},\,0\right) com F A=0,003;\n
    • direção \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},\,\dfrac{1}{\sqrt{3}},\,\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) com F A=0,001.\n
  • Fórmula dada no enunciado relacionando F A à tensora de deformação \varepsilon_{ij} (a partir de d s^{*2}-d s^{2}): \n
F A=\varepsilon_{ij}N_i N_j,
onde N_i são as componentes do vetor unitário na direção considerada.\n

Passo 2

Entendendo a fórmula e montando a equação geral\n
  • A matriz (tensora) de deformação simétrica tem entradas \varepsilon_{11},\varepsilon_{22},\varepsilon_{33} nas diagonais e as deformações de cisalhamento \varepsilon_{12},\varepsilon_{13},\varepsilon_{23} nas posições fora da diagonal, com \varepsilon_{ij}=\varepsilon_{ji}.\n
  • Para uma direção unitária N=(N_1,N_2,N_3), a expansão de \varepsilon_{ij}N_iN_j dá, explicitamente,\n
F A=\varepsilon_{11}N_1^2+\varepsilon_{22}N_2^2+\varepsilon_{33}N_3^2+2\varepsilon_{12}N_1N_2+2\varepsilon_{13}N_1N_3+2\varepsilon_{23}N_2N_3.
  • Esta é uma equação linear nas incógnitas \varepsilon_{12},\varepsilon_{13},\varepsilon_{23} quando \varepsilon_{11},\varepsilon_{22},\varepsilon_{33} e os N_i são conhecidos. Vamos aplicar essa fórmula para cada uma das três direções dadas e obter um sistema de três equações lineares em três incógnitas.

Passo 3

Equação para a primeira direção \left(\dfrac{2}{\sqrt{5}},\,0,\,\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)\n
  • Calcule as combinações necessárias (peguei as componentes da primeira direção do enunciado):\n
    \;N_1=\dfrac{2}{\sqrt{5}},\; N_2=0,\; N_3=\dfrac{1}{\sqrt{5}}.\n
    \;N_1^2=\dfrac{4}{5},\; N_2^2=0,\; N_3^2=\dfrac{1}{5}.\n
    \;N_1N_2=0,\; N_1N_3=\dfrac{2}{5},\; N_2N_3=0.\n
  • Substituindo na fórmula:\n
F A_1=\varepsilon_{11}\dfrac{4}{5}+\varepsilon_{22}\cdot 0+\varepsilon_{33}\dfrac{1}{5}+2\varepsilon_{12}\cdot 0+2\varepsilon_{13}\dfrac{2}{5}+2\varepsilon_{23}\cdot 0.\n
  • Simplificando:\n
F A_1=\dfrac{4}{5}\varepsilon_{11}+\dfrac{1}{5}\varepsilon_{33}+\dfrac{4}{5}\varepsilon_{13}.\n
  • Substituo os valores conhecidos \varepsilon_{11}=0,002,\; \varepsilon_{33}=-0,002 e F A_1=0,004:\n
0,004=\dfrac{4}{5}\cdot 0,002+\dfrac{1}{5}\cdot(-0,002)+\dfrac{4}{5}\varepsilon_{13}.\n
  • Calcule os termos numéricos passo a passo:\n
    \dfrac{4}{5}\cdot 0,002=0,0016.\n
    \dfrac{1}{5}\cdot(-0,002)=-0,0004.\n
    Soma das contribuições diagonais =0,0016-0,0004=0,0012.\n
  • Então\n
0,004=0,0012+\dfrac{4}{5}\varepsilon_{13}\quad\Rightarrow\quad \dfrac{4}{5}\varepsilon_{13}=0,004-0,0012=0,0028.\n
  • Resolvo para \varepsilon_{13}:\n
\varepsilon_{13}=0,0028\cdot \dfrac{5}{4}=0,0028\times 1{,}25=0,0035.

Passo 4

Equação para a segunda direção \left(\dfrac{3}{\sqrt{10}},\,-\dfrac{1}{\sqrt{10}},\,0\right)\n
  • Componentes (peguei do enunciado):\n
    \;N_1=\dfrac{3}{\sqrt{10}},\; N_2=-\dfrac{1}{\sqrt{10}},\; N_3=0.\n
    \;N_1^2=\dfrac{9}{10},\; N_2^2=\dfrac{1}{10},\; N_3^2=0.\n
    \;N_1N_2=-\dfrac{3}{10},\; N_1N_3=0,\; N_2N_3=0.\n
  • Substituindo na fórmula:\n
F A_2=\dfrac{9}{10}\varepsilon_{11}+\dfrac{1}{10}\varepsilon_{22}+0\cdot\varepsilon_{33}+2\varepsilon_{12}\left(-\dfrac{3}{10}\right)+0+0.\n
  • Simplificando:\n
F A_2=\dfrac{9}{10}\varepsilon_{11}+\dfrac{1}{10}\varepsilon_{22}-\dfrac{6}{10}\varepsilon_{12}.\n
  • Substituo \varepsilon_{11}=0,002,\; \varepsilon_{22}=0,002 e F A_2=0,003:\n
0,003=\dfrac{9}{10}\cdot 0,002+\dfrac{1}{10}\cdot 0,002-\dfrac{6}{10}\varepsilon_{12}.\n
  • Calcule os termos diagonais:\n
    \dfrac{9}{10}\cdot 0,002=0,0018.\n
    \dfrac{1}{10}\cdot 0,002=0,0002.\n Soma =0,0020.\n
  • Então\n
0,003=0,0020-\dfrac{6}{10}\varepsilon_{12}\quad\Rightarrow\quad -\dfrac{6}{10}\varepsilon_{12}=0,003-0,0020=0,001.\n
  • Resolvo para \varepsilon_{12}:\n
\varepsilon_{12}=-\dfrac{0,001}{6/10}=-\dfrac{0,001}{0,6}=-\dfrac{1}{600}\approx -0,0016667.

Passo 5

Equação para a terceira direção \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},\,\dfrac{1}{\sqrt{3}},\,\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) e resolução para \varepsilon_{23}\n
  • Componentes (peguei do enunciado):\n
    \;N_1=N_2=N_3=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.\n
    \;N_1^2=N_2^2=N_3^2=\dfrac{1}{3}.\n
    \;N_1N_2=N_1N_3=N_2N_3=\dfrac{1}{3}.\n
  • Substituindo na fórmula:\n
F A_3=\dfrac{1}{3}(\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33})+\dfrac{2}{3}(\varepsilon_{12}+\varepsilon_{13}+\varepsilon_{23}).\n
  • Substituo os valores conhecidos: \varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33}=0,002+0,002-0,002=0,002.\n
    Assim \dfrac{1}{3}(\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33})=\dfrac{1}{3}\cdot 0,002=0,000666\dots\n
  • Com F A_3=0,001 temos:\n
0,001=0,000\overline{6}+\dfrac{2}{3}(\varepsilon_{12}+\varepsilon_{13}+\varepsilon_{23}).\n
  • Isolando a soma das cisalhantes:\n
\dfrac{2}{3}(\varepsilon_{12}+\varepsilon_{13}+\varepsilon_{23})=0,001-0,000\overline{6}=0,000333\overline{3}.\n
\Rightarrow \varepsilon_{12}+\varepsilon_{13}+\varepsilon_{23}=0,000333\overline{3}\cdot\dfrac{3}{2}=0,0005.\n
  • Já conhecemos \varepsilon_{12}=-\dfrac{1}{600} e \varepsilon_{13}=0,0035. Calcule a soma parcial:\n
    \varepsilon_{12}+\varepsilon_{13}=-\dfrac{1}{600}+0,0035.\n
    Em decimal: -0,001666\overline{6}+0,0035=0,001833\overline{3}.\n
  • Então\n
\varepsilon_{23}=0,0005-(\varepsilon_{12}+\varepsilon_{13})=0,0005-0,001833\overline{3}=-0,001333\overline{3}.\n
  • Em fração exata: \varepsilon_{23}=-\dfrac{1}{750}\approx -0,0013333.

Resposta

\varepsilon_{12} = -\dfrac{1}{600}\approx -0,0016667\n
\varepsilon_{13} = \dfrac{7}{2000}=0,0035\n
\varepsilon_{23} = -\dfrac{1}{750}\approx -0,0013333

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