Componentes eletrônicos de duas marcas diferentes, A e B, foram submetidos a um teste de resistência, em que foi medido o número de horas que conseguiram funcionar sem interrupção. Os dados estão apresentados a seguir.
Tempo Frequência absoluta
A B
0-2 10 5
2-4 15 8
4-6 13 15
6-8 8 12
8-10 5 8
10-12 2 5
a) Qual é a variável em estudo? Quantos componentes de cada marca foram testados?
b) Construa gráficos histogramas, um para a marca A e outro para a marca B ;
c) Observando os gráficos histogramas, comente sobre a distribuição dos dados. Qual marca apresenta melhor desempenho e por quê?

Passo 1

Vou listar com calma o que o enunciado dá e o que pede, ponto a ponto.
  • O enunciado fornece uma tabela com classes de tempo (em horas) e as frequências absolutas dos componentes para duas marcas, A e B. As classes são 0-2,\;2-4,\;4-6,\;6-8,\;8-10,\;10-12.
  • Para cada classe temos as frequências absolutas:
    • Marca A: 10,\;15,\;13,\;8,\;5,\;2.
    • Marca B: 5,\;8,\;15,\;12,\;8,\;5.
  • Perguntas:
    a) Qual é a variável em estudo? Quantos componentes de cada marca foram testados?
    b) Construa histogramas, um para A e outro para B.
    c) Observando os histogramas, comente sobre a distribuição dos dados. Qual marca tem melhor desempenho e por quê?

Passo 2

Contagem do número de componentes testados (soma das frequências). Vou somar as frequências de cada marca (faço tudo explicando passo a passo).
  • Para a marca A:
    N_A = 10+15+13+8+5+2.
    Calculo:
    10+15=25,\quad 25+13=38,\quad 38+8=46,\quad 46+5=51,\quad 51+2=53.
    Logo N_A=53.
  • Para a marca B:
    N_B = 5+8+15+12+8+5.
    Calculo:
    5+8=13,\quad 13+15=28,\quad 28+12=40,\quad 40+8=48,\quad 48+5=53.
    Logo N_B=53.
Observação simpática: os tamanhos das amostras são iguais: cada marca testou 53 componentes.

Passo 3

Preparação prática para construir os histogramas: o que se precisa e como fazê-lo (passo-a-passo didático).
  • Definição rápida: histograma é um gráfico onde o eixo horizontal representa classes (intervalos) da variável contínua e o eixo vertical mostra a frequência (ou densidade). Cada barra é um retângulo cuja base é o intervalo da classe e cuja altura é proporcional à frequência daquela classe.
  • Como as classes têm todas a mesma largura (cada uma tem amplitude 2 horas: 2-0=2, 4-2=2, …), há duas maneiras equivalentes de colocar a altura das barras:
    1. Altura = frequência absoluta (quando se usa o eixo vertical rotulado “frequência”). Então a área das barras não é normalizada, mas como todas as larguras são iguais é perfeitamente aceitável.
    2. Altura = densidade de frequência = \dfrac{\text{frequência}}{\text{largura}}ê. A vantagem é que a área do retângulo passa a ser igual à frequência absoluta (densidade \times largura = frequência). Para comparação entre distribuições com larguras iguais ambas as formas dão o mesmo “formato”.
  • Vou preparar as informações necessárias para desenhar os histogramas: classes, frequência, largura (todas =2), densidade (frequência/2) e o ponto médio de cada classe (útil para estatísticas agrupadas).
Tabela com os cálculos (peguei as frequências da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|c|c|c} \text{Classe (h)} & \text{Ponto médio } m_i\\ (\text{h}) & \text{Freq. A } f_{A,i} & \text{Densidade A } = f_{A,i}/2\\\ \hline 0-2 & 1 & 10 & 5,0\\\\ 2-4 & 3 & 15 & 7,5\\\\ 4-6 & 5 & 13 & 6,5\\\\ 6-8 & 7 & 8 & 4,0\\\\ 8-10 & 9 & 5 & 2,5\\\\ 10-12 & 11 & 2 & 1,0\\\ \hline \end{array}
\begin{array}{c|c|c|c} \text{Classe (h)} & \text{Ponto médio } m_i\\ (\text{h}) & \text{Freq. B } f_{B,i} & \text{Densidade B } = f_{B,i}/2\\\ \hline 0-2 & 1 & 5 & 2,5\\\\ 2-4 & 3 & 8 & 4,0\\\\ 4-6 & 5 & 15 & 7,5\\\\ 6-8 & 7 & 12 & 6,0\\\\ 8-10 & 9 & 8 & 4,0\\\\ 10-12 & 11 & 5 & 2,5\\\ \hline \end{array}
Explicando como desenhar (passo-a-passo prático):
  • No eixo x marcar os intervalos 0-2,\;2-4,\;4-6,\;6-8,\;8-10,\;10-12. Cada barra ocupa a base do intervalo.
  • No eixo y escolher se vai marcar “frequência” (então coloque valores 0,2,4,6,8,10,12,\dots) ou “densidade” (valores 0,1,2,3,4,5,6,8 etc.). Como largura é 2, se marcar densidade, a altura da barra da classe será os valores que calculei na tabela (p.ex. para A, classe 2-4 altura 7,5).
  • Desenhe retângulos: para A, as alturas das barras (em frequência) são 10,15,13,8,5,2 nas respectivas classes; para B, 5,8,15,12,8,5.

Passo 4

Cálculos das medidas resumo (para ajudar a interpretar os histogramas): média e variabilidade aproximadas usando dados agrupados. Vou explicar as fórmulas e calcular tudo detalhadamente.
Fórmula da média para dados agrupados:
\bar{x}=\frac{\sum_{i} f_i m_i}{\sum_i f_i},
onde f_i é a frequência da i-ésima classe e m_i é o ponto médio dessa classe. Aqui \sum_i f_i=N é o total de observações.
Cálculo para a marca A:
  • Já calculei \sum_i f_{A,i} = N_A = 53.
  • Calculo \sum_i f_{A,i} m_i: 1\cdot10 + 3\cdot15 + 5\cdot13 + 7\cdot8 + 9\cdot5 + 11\cdot2.Fazendo as contas: 10 + 45 + 65 + 56 + 45 + 22 = 243.
  • Logo \bar{x}_A = \frac{243}{53} \approx 4,585\\ \text{horas}.
Cálculo para a marca B:
  • \sum_i f_{B,i} = N_B = 53.
  • \sum_i f_{B,i} m_i: 1\cdot5 + 3\cdot8 + 5\cdot15 + 7\cdot12 + 9\cdot8 + 11\cdot5.Fazendo as contas: 5 + 24 + 75 + 84 + 72 + 55 = 315.
  • Logo \bar{x}_B = \frac{315}{53} \approx 5,943\\ \text{horas}.
Agora uma medida de dispersão (variância amostral por agrupamento, aproximação):
s^2 \approx \frac{\sum_i f_i m_i^2}{\sum_i f_i} - \bar{x}^{\,2},
onde \sum_i f_i m_i^2 é a soma das frequências vezes os quadrados dos pontos médios.
Cálculo para A:
  • Calculo \sum_i f_{A,i} m_i^2: 1^2\cdot10 + 3^2\cdot15 + 5^2\cdot13 + 7^2\cdot8 + 9^2\cdot5 + 11^2\cdot2.
10 + 135 + 325 + 392 + 405 + 242 = 1509.
  • Então s_A^2 \approx \frac{1509}{53} - (4,585)^2 \approx 28,462 - 21,024 \approx 7,439,
s_A \approx \sqrt{7,439}\approx 2,728\\ \text{horas}.
Cálculo para B:
  • \sum_i f_{B,i} m_i^2: 1^2\cdot5 + 3^2\cdot8 + 5^2\cdot15 + 7^2\cdot12 + 9^2\cdot8 + 11^2\cdot5.
5 + 72 + 375 + 588 + 648 + 605 = 2293.
  • Então s_B^2 \approx \frac{2293}{53} - (5,943)^2 \approx 43,264 - 35,324 \approx 7,940,
s_B \approx \sqrt{7,940}\approx 2,819\\ \text{horas}.
Interpretação rápida dos números: a média da marca B ( \approx 5,943 h) é maior que a média da marca A ( \approx 4,585 h). As dispersões são parecidas: s_A\approx 2,728 h e s_B\approx 2,819 h — B tem ligeiramente maior variabilidade.

Passo 5

Como interpretar visualmente os histogramas (o que procurar) e observações sobre formato/assimetria.
  • Para A (olhando as frequências 10,15,13,8,5,2):
    • A maior frequência está na classe 2-4 ( 15) e a segunda maior em 4-6 ( 13). As frequências diminuem conforme avançamos para as classes maiores. Isso indica que muitos componentes A falham mais cedo; a massa está concentrada em tempos menores.
    • O histograma de A teria um pico em 2-4 e uma cauda estendendo-se para a direita (existem alguns componentes que duraram mais, mas em pouca quantidade). Isso é típico de distribuição assimétrica à direita (cauda para maiores tempos), embora o pico esteja nas classes pequenas.
  • Para B (frequências 5,8,15,12,8,5):
    • A maior frequência está na classe 4-6 ( 15), com boa frequência também em 6-8 ( 12). As frequências crescem até 4-6 e depois decrescem, formando um pico deslocado para a direita em comparação com A.
    • O histograma de B tem pico em valores maiores (em torno de 4-6) e uma distribuição mais centralizada em tempos maiores que A. A forma é mais “centrada” em torno de 4-8 horas, menos concentrada em tempos muito pequenos.

Passo 6

Resposta direta à pergunta (qual marca apresenta melhor desempenho) com justificativa baseada no histograma e nas medidas numéricas.
  • Comparando os histogramas: a marca B tem sua massa principal deslocada para classes com maiores tempos de funcionamento ( 4-6 e 6-8), enquanto a marca A concentra maior parte em classes menores ( 0-2 e 2-4).
  • Comparando as médias: \bar{x}_A\approx 4,585 h e \bar{x}_B\approx 5,943 h — ou seja, em média os componentes B duraram cerca de 1,36 horas a mais que os A (aproximação).
  • A dispersão é parecida, então o ganho de tempo médio da marca B não é anulado por variabilidade muito maior.
Conclusão: a marca B apresenta melhor desempenho porque tem média maior e concentra uma fração maior de componentes nas classes de maior duração (mais componentes sobrevivendo até 4-8 horas e além).

Resposta

a) A variável em estudo é o tempo de funcionamento dos componentes (em horas). Foram testados 53 componentes da marca A e 53 da marca B.
b) Histogramas (dados para desenhar): classes 0-2,\;2-4,\;4-6,\;6-8,\;8-10,\;10-12. Alturas (frequência) por classe — Marca A: 10,\;15,\;13,\;8,\;5,\;2. Marca B: 5,\;8,\;15,\;12,\;8,\;5. (Se preferir densidade = frequência/2: A: 5,0,\;7,5,\;6,5,\;4,0,\;2,5,\;1,0. B: 2,5,\;4,0,\;7,5,\;6,0,\;4,0,\;2,5.)
c) Observação: a distribuição de A tem pico em 2-4 horas e está concentrada em tempos menores; a de B tem pico em 4-6 horas e está deslocada para tempos maiores. A marca B apresenta melhor desempenho (média aproximada \bar{x}_B\approx 5,943 h versus \bar{x}_A\approx 4,585 h) e maior proporção de componentes funcionando por mais tempo.

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