Componentes eletrônicos de duas marcas diferentes, A e B, foram submetidos a um teste de resistência, em que foi medido o número de horas que conseguiram funcionar sem interrupção. Os dados estão apresentados a seguir.
Tempo
Frequência absoluta
A
B
10
5
15
8
13
15
8
12
5
8
2
5
a) Qual é a variável em estudo? Quantos componentes de cada marca foram testados?
b) Construa gráficos histogramas, um para a marca A e outro para a marca B ;
c) Observando os gráficos histogramas, comente sobre a distribuição dos dados. Qual marca apresenta melhor desempenho e por quê?
| Tempo | Frequência absoluta | |
| A | B | |
|
|
10 | 5 |
|
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15 | 8 |
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13 | 15 |
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8 | 12 |
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5 | 8 |
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2 | 5 |
b) Construa gráficos histogramas, um para a marca A e outro para a marca B ;
c) Observando os gráficos histogramas, comente sobre a distribuição dos dados. Qual marca apresenta melhor desempenho e por quê?
Passo 1
Vou listar com calma o que o enunciado dá e o que pede, ponto a ponto.
- O enunciado fornece uma tabela com classes de tempo (em horas) e as frequências absolutas dos componentes para duas marcas, A e B. As classes são
. - Para cada classe temos as frequências absolutas:
- Marca A:
. - Marca B:
.
- Marca A:
- Perguntas:
a) Qual é a variável em estudo? Quantos componentes de cada marca foram testados?
b) Construa histogramas, um para A e outro para B.
c) Observando os histogramas, comente sobre a distribuição dos dados. Qual marca tem melhor desempenho e por quê?
Passo 2
Contagem do número de componentes testados (soma das frequências). Vou somar as frequências de cada marca (faço tudo explicando passo a passo).
-
Para a marca A:Calculo:Logo
. -
Para a marca B:Calculo:Logo
.
Observação simpática: os tamanhos das amostras são iguais: cada marca testou
componentes.
Passo 3
Preparação prática para construir os histogramas: o que se precisa e como fazê-lo (passo-a-passo didático).
- Definição rápida: histograma é um gráfico onde o eixo horizontal representa classes (intervalos) da variável contínua e o eixo vertical mostra a frequência (ou densidade). Cada barra é um retângulo cuja base é o intervalo da classe e cuja altura é proporcional à frequência daquela classe.
- Como as classes têm todas a mesma largura (cada uma tem amplitude
horas: , , …), há duas maneiras equivalentes de colocar a altura das barras: - Altura = frequência absoluta (quando se usa o eixo vertical rotulado “frequência”). Então a área das barras não é normalizada, mas como todas as larguras são iguais é perfeitamente aceitável.
- Altura = densidade de frequência =
. A vantagem é que a área do retângulo passa a ser igual à frequência absoluta (densidade largura frequência). Para comparação entre distribuições com larguras iguais ambas as formas dão o mesmo “formato”.
- Vou preparar as informações necessárias para desenhar os histogramas: classes, frequência, largura (todas
), densidade (frequência/2) e o ponto médio de cada classe (útil para estatísticas agrupadas).
Tabela com os cálculos (peguei as frequências da tabela do enunciado):
Explicando como desenhar (passo-a-passo prático):
- No eixo
marcar os intervalos . Cada barra ocupa a base do intervalo. - No eixo
escolher se vai marcar “frequência” (então coloque valores ) ou “densidade” (valores etc.). Como largura é , se marcar densidade, a altura da barra da classe será os valores que calculei na tabela (p.ex. para A, classe altura ). - Desenhe retângulos: para A, as alturas das barras (em frequência) são
nas respectivas classes; para B, .
Passo 4
Cálculos das medidas resumo (para ajudar a interpretar os histogramas): média e variabilidade aproximadas usando dados agrupados. Vou explicar as fórmulas e calcular tudo detalhadamente.
Fórmula da média para dados agrupados:
onde
é a frequência da i-ésima classe e
é o ponto médio dessa classe. Aqui
é o total de observações.
Cálculo para a marca A:
- Já calculei
. - Calculo
: Fazendo as contas: - Logo
Cálculo para a marca B:
-
. -
: Fazendo as contas: - Logo
Agora uma medida de dispersão (variância amostral por agrupamento, aproximação):
onde
é a soma das frequências vezes os quadrados dos pontos médios.
Cálculo para A:
- Calculo
:
- Então
Cálculo para B:
-
:
- Então
Interpretação rápida dos números: a média da marca B (
h) é maior que a média da marca A (
h). As dispersões são parecidas:
h e
h — B tem ligeiramente maior variabilidade.
Passo 5
Como interpretar visualmente os histogramas (o que procurar) e observações sobre formato/assimetria.
-
Para A (olhando as frequências
): - A maior frequência está na classe
( ) e a segunda maior em ( ). As frequências diminuem conforme avançamos para as classes maiores. Isso indica que muitos componentes A falham mais cedo; a massa está concentrada em tempos menores. - O histograma de A teria um pico em
e uma cauda estendendo-se para a direita (existem alguns componentes que duraram mais, mas em pouca quantidade). Isso é típico de distribuição assimétrica à direita (cauda para maiores tempos), embora o pico esteja nas classes pequenas.
- A maior frequência está na classe
-
Para B (frequências
): - A maior frequência está na classe
( ), com boa frequência também em ( ). As frequências crescem até e depois decrescem, formando um pico deslocado para a direita em comparação com A. - O histograma de B tem pico em valores maiores (em torno de
) e uma distribuição mais centralizada em tempos maiores que A. A forma é mais “centrada” em torno de horas, menos concentrada em tempos muito pequenos.
- A maior frequência está na classe
Passo 6
Resposta direta à pergunta (qual marca apresenta melhor desempenho) com justificativa baseada no histograma e nas medidas numéricas.
- Comparando os histogramas: a marca B tem sua massa principal deslocada para classes com maiores tempos de funcionamento (
e ), enquanto a marca A concentra maior parte em classes menores ( e ). - Comparando as médias:
h e h — ou seja, em média os componentes B duraram cerca de horas a mais que os A (aproximação). - A dispersão é parecida, então o ganho de tempo médio da marca B não é anulado por variabilidade muito maior.
Conclusão: a marca B apresenta melhor desempenho porque tem média maior e concentra uma fração maior de componentes nas classes de maior duração (mais componentes sobrevivendo até
horas e além).
Resposta
a) A variável em estudo é o tempo de funcionamento dos componentes (em horas). Foram testados
componentes da marca A e
da marca B.
b) Histogramas (dados para desenhar): classes . Alturas (frequência) por classe — Marca A:
. Marca B:
. (Se preferir densidade = frequência/2: A:
. B:
.)
c) Observação: a distribuição de A tem pico em horas e está concentrada em tempos menores; a de B tem pico em
horas e está deslocada para tempos maiores. A marca B apresenta melhor desempenho (média aproximada
h versus
h) e maior proporção de componentes funcionando por mais tempo.
b) Histogramas (dados para desenhar): classes
c) Observação: a distribuição de A tem pico em