Um engenheiro está analisando a vazão (QQQ) de um fluido que passa por um tubo de 50 mm de diâmetro interno. Ele mede a vazão em momentos diferentes durante a operação, obtendo os seguintes valores (em litros por segundo, \mathrm{L} / \mathbf{s} ). Suponha que essas medidas sejam uma amostra aleatória.
\begin{array}{ccccccccccccccc} 3,4 & 2,5 & 4,8 & 2,9 & 3,6 & 2,8 & 3,3 & 5,6 & 3,7 & 2,8 & 4,4 & 4,0 & 5,2 & 3,0 & 4,8 \end{array}
a) Qual é o tamanho da amostra acima? Qual é a variável e classifique-a;
b) Calcule as medidas: média, moda (se existir), mediana, variância, desvio padrão, coeficiente de variação e os quartis amostrais para esse conjunto de dados;
c) Construa a distribuição de frequências e faça um gráfico histograma. Comente sobre a distribuição dos dados.

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de medidas de vazão (em \mathrm{L/s}) e pede três coisas:
  • (a) determinar o tamanho da amostra; identificar a variável e classificá‑la;
  • (b) calcular as medidas: média, moda (se existir), mediana, variância amostral, desvio padrão amostral, coeficiente de variação e os quartis amostrais;
  • (c) construir a distribuição de frequências, fazer um histograma e comentar a distribuição.
Os dados fornecidos (cada número está em \mathrm{L/s}) são:
\begin{array}{ccccccccccccccc} 3,4 & 2,5 & 4,8 & 2,9 & 3,6 & 2,8 & 3,3 & 5,6 & 3,7 & 2,8 & 4,4 & 4,0 & 5,2 & 3,0 & 4,8 \end{array}

Passo 2

Primeira ação concreta: contar quantos valores temos (tamanho da amostra) e dizer o que é a variável.
  • Vou listar os valores para contar e, em seguida, ordená‑los (ordenação será útil para mediana e quartis):
    Dados originais (já repetidos): 3,4,\;2,5,\;4,8,\;2,9,\;3,6,\;2,8,\;3,3,\;5,6,\;3,7,\;2,8,\;4,4,\;4,0,\;5,2,\;3,0,\;4,8.
  • Contando, há 15 observações. Logo o tamanho da amostra é n=15.
  • A variável é a vazão QQQ medida em \mathrm{L/s}. Como a vazão é numérica que pode assumir valores contínuos (medida com casas decimais) e tem zero que faz sentido físico, classifica‑se como variável quantitativa contínua em escala de razão.

Passo 3

Organizar os dados em ordem crescente (necessário para mediana e quartis):
2,5,\;2,8,\;2,8,\;2,9,\;3,0,\;3,3,\;3,4,\;3,6,\;3,7,\;4,0,\;4,4,\;4,8,\;4,8,\;5,2,\;5,6.
Com isso fica fácil localizar posições (por exemplo a posição central para a mediana).

Passo 4

Calcular a média aritmética (explicação curta da fórmula):
  • Fórmula da média amostral: \displaystyle \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i.
  • Primeiro calculei a soma dos valores: \sum_{i=1}^{15} x_i = 56,8\quad(\mathrm{L/s}).
  • Assim \bar{x}=\frac{56,8}{15}=3,786666\ldots\approx 3,7867\\ \mathrm{L/s}.
(Dica prática: somar em coluna ou em pares facilita fazer isto sem calculadora.)

Passo 5

Moda e mediana (explicando o que cada uma é):
  • Moda: valor que ocorre com maior frequência. Na amostra os valores repetidos são 2,8 (duas vezes) e 4,8 (duas vezes). Não há um único valor mais frequente: temos duas modas. Portanto a amostra é bimodal com modos \{2,8;\;4,8\}.
  • Mediana: valor central quando ordenamos os dados. Para n ímpar, a mediana é o elemento de posição (n+1)/2.
    Aqui (15+1)/2=8, então a mediana é o 8.º valor da lista ordenada, que é 3,6. Logo a mediana é 3,6\\ \mathrm{L/s}.

Passo 6

Quartis (explicando o método usado):
  • Vou usar o método de dividir a amostra em duas metades excluindo a mediana (método usual quando n é ímpar).
  • Metade inferior (7 valores): 2,5,\;2,8,\;2,8,\;2,9,\;3,0,\;3,3,\;3,4. O quartil Q_1 é a mediana dessa metade: o 4.º elemento dela é 2,9. Logo Q_1=2,9.
  • Mediana (já calculada) é Q_2=3,6.
  • Metade superior (7 valores): 3,7,\;4,0,\;4,4,\;4,8,\;4,8,\;5,2,\;5,6. O quartil Q_3 é a mediana dessa metade: o 4.º elemento é 4,8. Logo Q_3=4,8.

Passo 7

Variância e desvio padrão (explicando as fórmulas e por que usamos n-1):
  • Para uma amostra aleatória, a variância amostral não viciada é s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2.Usa‑se n-1 (graus de liberdade) para compensar o fato de que \bar{x} foi estimado a partir da amostra.
  • Para facilitar o cálculo à mão, usei a forma equivalente s^2=\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2}{\,n-1\,}.Já calculei \sum x_i^2 = 228,28 (soma dos quadrados de cada observação) e \bar{x}=56,8/15.
  • Calculemos: n\bar{x}^2=\frac{(\sum x_i)^2}{n}=\frac{56,8^2}{15}=215,082666\ldots
\sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = 228,28 - 215,082666\ldots = 13,197333\ldots
s^2=\frac{13,197333\ldots}{14}=0,942666\ldots \\ (\mathrm{(L/s)}^2).
  • Desvio padrão amostral: s=\sqrt{s^2}=\sqrt{0,942666\ldots}\approx 0,9710\\ \mathrm{L/s}.

Passo 8

Coeficiente de variação (explicando o que é):
  • O coeficiente de variação (CV) mede a dispersão relativa em relação à média: CV=\frac{s}{\bar{x}}\times 100\%.
  • Substituindo: CV=\frac{0,9710}{3,786666\ldots}\times100\%\approx 25,65\%.
Isto indica que o desvio padrão corresponde a cerca de 25{,}6\% da média — variabilidade moderada.

Passo 9

Construção da distribuição de frequências e preparação do histograma (escolha de classes e contagem):
  • Vou seguir a regra de Sturges para o número de classes: k\approx 1+\log_2 n. Para n=15, k\approx 1+\log_2 15\approx 1+3,91\approx 4{,}9\Rightarrow 5\\ \text{classes}.
  • A amplitude total (range) é \max - \min = 5,6-2,5 = 3,1. Largura de classe aproximada h=\dfrac{3,1}{5}=0,62. Para facilitar, tomo classes com largura 0,7 (ajuste prático) começando em 2,5. As classes escolhidas (intervalos left‑inclusive, right‑exclusive, exceto a última) e as contagens são:
    • Classe 1: 2{,}5\le x<3{,}2 → observações: 2{,}5,\;2{,}8,\;2{,}8,\;2{,}9,\;3{,}0. Frequência f=5.
    • Classe 2: 3{,}2\le x<3{,}9 3{,}3,\;3{,}4,\;3{,}6,\;3{,}7. Frequência f=4.
    • Classe 3: 3{,}9\le x<4{,}6 4{,}0,\;4{,}4. Frequência f=2.
    • Classe 4: 4{,}6\le x<5{,}3 4{,}8,\;4{,}8,\;5{,}2. Frequência f=3.
    • Classe 5: 5{,}3\le x\le 6{,}0 5{,}6. Frequência f=1.
      Conferi que 5+4+2+3+1=15, bate com n.
  • Também é útil a frequência relativa f/n:
    • Classe 1: 5/15=0,333 (33,3%).
    • Classe 2: 4/15=0,2667 (26,7%).
    • Classe 3: 2/15=0,1333 (13,3%).
    • Classe 4: 3/15=0,2000 (20,0%).
    • Classe 5: 1/15=0,0667 (6,7%).

Passo 10

Como sería o histograma e interpretação visual:
  • Para montar o histograma: no eixo horizontal colocar os intervalos (as classes acima) e no eixo vertical as frequências (ou densidade). Cada barra tem largura igual à classe e altura proporcional à frequência. Com as classes escolhidas, a barra mais alta será a da primeira classe ( 2{,}5\le x<3{,}2) com frequência 5.
  • Comentário sobre a forma da distribuição:
    • A média \bar{x}\approx 3,787 é um pouco maior que a mediana 3,6, o que indica uma leve assimetria à direita (distribuição positivamente assimétrica): há alguns valores mais altos (como 5{,}6) que puxam a média para cima.
    • Há evidência de bicentralidade (bimodalidade): concentrações em torno de 2{,}8 (classe 1) e em torno de 4{,}8 (classe 4). O histograma tenderia a mostrar duas “alturas” notáveis, uma maior na classe 1 e uma segunda na classe 4.
    • Variabilidade é moderada (CV \approx 25{,}6\%).
  • Observação prática para prova: se pedir o histograma desenhado à mão, use as classes acima, desenhe retângulos de altura proporcional a f e rotule os eixos; se pedirem densidade (quando classes têm larguras diferentes) ajustar alturas, mas aqui as larguras são iguais, então altura proporcional a f basta.

Resposta

(a) n=15. A variável é a vazão QQQ em \mathrm{L/s}; é uma variável quantitativa contínua (escala de razão).
(b) \bar{x}= \dfrac{56,8}{15}\approx 3,7867\\ \mathrm{L/s}. Moda: \{2,8;\;4,8\} (bimodal). Mediana =3,6\\ \mathrm{L/s}. Variância amostral s^2\approx 0,942666\\ (\mathrm{L/s})^2. Desvio padrão amostral s\approx 0,9710\\ \mathrm{L/s}. Coeficiente de variação CV\approx 25{,}65\%. Quartis: Q_1=2,9,\;Q_2=3,6,\;Q_3=4,8.
(c) Distribuição de frequências (5 classes escolhidas, largura ≈ 0,7):
  • 2{,}5\le x<3{,}2:\\ f=5 (33,3%),
  • 3{,}2\le x<3{,}9:\\ f=4 (26,7%),
  • 3{,}9\le x<4{,}6:\\ f=2 (13,3%),
  • 4{,}6\le x<5{,}3:\\ f=3 (20,0%),
  • 5{,}3\le x\le 6{,}0:\\ f=1 (6,7%).
    Histograma correspondente: barras com alturas proporcionais a estas frequências; a distribuição mostra leve assimetria à direita (média > mediana) e indícios de bicentralidade (picos aproximados em torno de 2{,}8 e 4{,}8).

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