Um engenheiro está analisando a vazão (QQQ) de um fluido que passa por um tubo de 50 mm de diâmetro interno. Ele mede a vazão em momentos diferentes durante a operação, obtendo os seguintes valores (em litros por segundo,
). Suponha que essas medidas sejam uma amostra aleatória.
a) Qual é o tamanho da amostra acima? Qual é a variável e classifique-a;
b) Calcule as medidas: média, moda (se existir), mediana, variância, desvio padrão, coeficiente de variação e os quartis amostrais para esse conjunto de dados;
c) Construa a distribuição de frequências e faça um gráfico histograma. Comente sobre a distribuição dos dados.
b) Calcule as medidas: média, moda (se existir), mediana, variância, desvio padrão, coeficiente de variação e os quartis amostrais para esse conjunto de dados;
c) Construa a distribuição de frequências e faça um gráfico histograma. Comente sobre a distribuição dos dados.
Passo 1
O enunciado fornece uma amostra de medidas de vazão (em
) e pede três coisas:
- (a) determinar o tamanho da amostra; identificar a variável e classificá‑la;
- (b) calcular as medidas: média, moda (se existir), mediana, variância amostral, desvio padrão amostral, coeficiente de variação e os quartis amostrais;
- (c) construir a distribuição de frequências, fazer um histograma e comentar a distribuição.
Os dados fornecidos (cada número está em
) são:
Passo 2
Primeira ação concreta: contar quantos valores temos (tamanho da amostra) e dizer o que é a variável.
- Vou listar os valores para contar e, em seguida, ordená‑los (ordenação será útil para mediana e quartis):
Dados originais (já repetidos):. - Contando, há
observações. Logo o tamanho da amostra é . - A variável é a vazão
medida em . Como a vazão é numérica que pode assumir valores contínuos (medida com casas decimais) e tem zero que faz sentido físico, classifica‑se como variável quantitativa contínua em escala de razão.
Passo 3
Organizar os dados em ordem crescente (necessário para mediana e quartis):
Com isso fica fácil localizar posições (por exemplo a posição central para a mediana).
Passo 4
Calcular a média aritmética (explicação curta da fórmula):
- Fórmula da média amostral:
. - Primeiro calculei a soma dos valores:
- Assim
(Dica prática: somar em coluna ou em pares facilita fazer isto sem calculadora.)
Passo 5
Moda e mediana (explicando o que cada uma é):
- Moda: valor que ocorre com maior frequência. Na amostra os valores repetidos são
(duas vezes) e (duas vezes). Não há um único valor mais frequente: temos duas modas. Portanto a amostra é bimodal com modos . - Mediana: valor central quando ordenamos os dados. Para
ímpar, a mediana é o elemento de posição .
Aqui, então a mediana é o 8.º valor da lista ordenada, que é . Logo a mediana é .
Passo 6
Quartis (explicando o método usado):
- Vou usar o método de dividir a amostra em duas metades excluindo a mediana (método usual quando
é ímpar). - Metade inferior (7 valores):
. O quartil é a mediana dessa metade: o 4.º elemento dela é . Logo . - Mediana (já calculada) é
. - Metade superior (7 valores):
. O quartil é a mediana dessa metade: o 4.º elemento é . Logo .
Passo 7
Variância e desvio padrão (explicando as fórmulas e por que usamos
):
- Para uma amostra aleatória, a variância amostral não viciada é
Usa‑se (graus de liberdade) para compensar o fato de que foi estimado a partir da amostra. - Para facilitar o cálculo à mão, usei a forma equivalente
Já calculei (soma dos quadrados de cada observação) e . - Calculemos:
- Desvio padrão amostral:
Passo 8
Coeficiente de variação (explicando o que é):
- O coeficiente de variação (CV) mede a dispersão relativa em relação à média:
- Substituindo:
Isto indica que o desvio padrão corresponde a cerca de
da média — variabilidade moderada.
Passo 9
Construção da distribuição de frequências e preparação do histograma (escolha de classes e contagem):
- Vou seguir a regra de Sturges para o número de classes:
. Para , - A amplitude total (range) é
. Largura de classe aproximada . Para facilitar, tomo classes com largura (ajuste prático) começando em . As classes escolhidas (intervalos left‑inclusive, right‑exclusive, exceto a última) e as contagens são: - Classe 1:
→ observações: . Frequência . - Classe 2:
→ . Frequência . - Classe 3:
→ . Frequência . - Classe 4:
→ . Frequência . - Classe 5:
→ . Frequência .
Conferi que, bate com .
- Classe 1:
- Também é útil a frequência relativa
: - Classe 1:
(33,3%). - Classe 2:
(26,7%). - Classe 3:
(13,3%). - Classe 4:
(20,0%). - Classe 5:
(6,7%).
- Classe 1:
Passo 10
Como sería o histograma e interpretação visual:
- Para montar o histograma: no eixo horizontal colocar os intervalos (as classes acima) e no eixo vertical as frequências (ou densidade). Cada barra tem largura igual à classe e altura proporcional à frequência. Com as classes escolhidas, a barra mais alta será a da primeira classe (
) com frequência . - Comentário sobre a forma da distribuição:
- A média
é um pouco maior que a mediana , o que indica uma leve assimetria à direita (distribuição positivamente assimétrica): há alguns valores mais altos (como ) que puxam a média para cima. - Há evidência de bicentralidade (bimodalidade): concentrações em torno de
(classe 1) e em torno de (classe 4). O histograma tenderia a mostrar duas “alturas” notáveis, uma maior na classe 1 e uma segunda na classe 4. - Variabilidade é moderada (CV
).
- A média
- Observação prática para prova: se pedir o histograma desenhado à mão, use as classes acima, desenhe retângulos de altura proporcional a
e rotule os eixos; se pedirem densidade (quando classes têm larguras diferentes) ajustar alturas, mas aqui as larguras são iguais, então altura proporcional a basta.
Resposta
(a)
A variável é a vazão
em
; é uma variável quantitativa contínua (escala de razão).
(b)
Moda:
(bimodal). Mediana
Variância amostral
Desvio padrão amostral
Coeficiente de variação
Quartis:
(c) Distribuição de frequências (5 classes escolhidas, largura ≈
):
-
(33,3%), -
(26,7%), -
(13,3%), -
(20,0%), -
(6,7%).
Histograma correspondente: barras com alturas proporcionais a estas frequências; a distribuição mostra leve assimetria à direita (média > mediana) e indícios de bicentralidade (picos aproximados em torno dee ).